弹性力学第6章

1、第六章第六章 杆系结构的有限元法杆系结构的有限元法6.1 6.1 有限元法概述及虚功原理有限元法概述及虚功原理 6.2 6.2 杆单元、平面桁架有限元法杆单元、平面桁架有限元法6.3 6.3 平面梁单元平面梁单元6.4 6.4 平面刚架有限元法平面刚架有限元法6.5 6.5 空间问题概述空间问题概述6.1 6.1 有限元法概述及虚功原理有限元法概述及虚功原理 工程实际问题工程实际问题数学模型：微分方程数学模型：微分方程求解微分方程求解微分方程解析解法解析解法数值解法数值解法差分法差分法有限元有限元边界元边界元工程数值计算方法工程数值计算方法： 差分法差分法特点：适用于直交边界，多用于流体问题特

2、点：适用于直交边界，多用于流体问题 有限元法（有限单元法）有限元法（有限单元法）特点：特点：通用性强通用性强，可处理复杂结构问题可处理复杂结构问题1. 边界元法边界元法特点：计算量小、精度高，特别适用于处理特点：计算量小、精度高，特别适用于处理特殊问题特殊问题目前国际流行的几个大型有限元软件：目前国际流行的几个大型有限元软件： MSC （NASTRAN，MAC） ANSYS ABQUS SAP 系列系列 ADINA （ 机械机械 、动力分析）、动力分析） ASKA （ 核能、航空、机械核能、航空、机械 ） SAMIS （汽车）（汽车） STRUCAD （ 海洋工程、船舶）海洋工程、船舶） 有限

3、元的发展有赖于计算机的发展，各种有有限元的发展有赖于计算机的发展，各种有限元软件有限元软件有2000多个。多个。有限元法的基本步骤：有限元法的基本步骤：结构离散化为结构离散化为有限元网格有限元网格引入约束条件引入约束条件后处理后处理解方程组解方程组建立总刚度矩阵建立总刚度矩阵及外载向量及外载向量虚位移：虚位移：可能的、假想的、微小的位移可能的、假想的、微小的位移。特点特点：1) 允许的位移：满足连续条件和约束条件允许的位移：满足连续条件和约束条件2) 假想的：有无穷多个，真实位移是其中之一假想的：有无穷多个，真实位移是其中之一3) 微小的：无穷小，可以标以变分号微小的：无穷小，可以标以变分号d

4、 d4) 4) 在虚位移过程中，原有的力和应力场保持不变在虚位移过程中，原有的力和应力场保持不变虚功：虚功：外力外力在虚位移上做的在虚位移上做的功。功。有限元法的基础有限元法的基础虚功原理虚功原理iiufd d 在外力作用下的弹性体，对于由任何平在外力作用下的弹性体，对于由任何平衡位置算起的虚位移，其虚应变能等于外力衡位置算起的虚位移，其虚应变能等于外力虚功，即虚功，即虚功原理虚功原理: WdVVTd dd d dd 虚应变虚应变d dW 外力虚功外力虚功 xyyx xyyx TTVdVfu d d d d 6.2 6.2 杆单元、平面桁架有限元法杆单元、平面桁架有限元法有限元法：将结构离散为

5、许多个单元，研究每个单有限元法：将结构离散为许多个单元，研究每个单元力和位移的关系，综合得到整个结构元力和位移的关系，综合得到整个结构力和位移的力和位移的关系（线性方程），然后求解。关系（线性方程），然后求解。材料力学受拉压杆材料力学受拉压杆杆单元杆单元材料力学受弯曲杆材料力学受弯曲杆梁单元梁单元弹性力学平面问题弹性力学平面问题二维单元二维单元弹性力学空间问题弹性力学空间问题三维单元三维单元桁架的每一个单元都是杆单元。桁架的每一个单元都是杆单元。xyijl将位移作为基本未知量将位移作为基本未知量。节点位移写成列阵形式节点位移写成列阵形式：一、一、局部坐标系下局部坐标系下单元刚度矩阵单元刚度矩阵

6、Kiujui，j 节点对杆件的作用力分别记为节点对杆件的作用力分别记为：xiFxjF节点力写成列阵形式：节点力写成列阵形式： TxjxiFF F Tjiuu axjxiFF ，节点位移与节点力关系：节点位移与节点力关系：FaK 建局部坐标系建局部坐标系 。yxo 即为局部坐标系下单元刚度矩阵，待求。即为局部坐标系下单元刚度矩阵，待求。K1. 位移插值函数（形函数）位移插值函数（形函数）单元内位移用单元内位移用 表示，与节点位移有以下关系：表示，与节点位移有以下关系：)(xu形函数矩阵：形函数矩阵：aN jjiiuxNuxNxu)()()( )()(xNxNji N二力杆应变是常数，故位移是线性

7、变化的，则有二力杆应变是常数，故位移是线性变化的，则有必须满足：必须满足：lxxNi 1 )( lxxxNi001)( lxxxNj100)(lxxNj )(2. 本构关系（应力本构关系（应力-应变关系）应变关系）B 为应变几何矩阵。为应变几何矩阵。应变：应变：应力应力：S为应力矩阵：为应力矩阵：aBa llxxu11)( aSaDBD E lElESx NB上节课内容上节课内容aN jjiiuxNuxNxu)()()(lxxNi 1 )( )jxNxl 11ll aBa DDBaSa lElESxyijliujuxiFxjF3. 利用虚功原理导出利用虚功原理导出得：得：d TTTVVd dd

8、 d aB DBaaFK由虚功原理由虚功原理:dTVVWdddd dTTVVd dd d aFdTVV B DBaF由由 的任意性，得的任意性，得ad daBaDB aBd dd d FaK dTVV KB DB 1111lEA其中其中A为杆的横截面面积。上式可写成为杆的横截面面积。上式可写成iiijjijjKKKK K 表示在表示在i节点产生单位位移时在节点产生单位位移时在i节点加的力，节点加的力， 表示在表示在j节点产生单位位移时在节点产生单位位移时在i 节点加的力。节点加的力。 的物理意义可由取的物理意义可由取 得到。得到。,iijjKK 1,0,0,1TT aaiiKijK ll11B

9、E D1/ 1/1/ 1/lEll All 12321NluuEA21()EAuuNl1(1)1211uEAFNul 1(1)22 11uEAFNul(1)11(1)221111uFEAulF (2)22(2)331111uFEAulF 12(1)1F(1)2F(1)32(2)2F(2)3F(2)(1)11(1)221111uFEAulF (2)22(2)331111uFEAulF 1122331101111011uFEAuFluF 12312(1)1F(1)2F(1)32(2)2F(2)3F(2)21(1)(2)22232 1111uuEAFFFuul 为了组集成整体刚度矩阵，为了组集成整体

10、刚度矩阵，需将上面的单刚转换为整体坐标需将上面的单刚转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵。系下的单元刚度矩阵。局部坐标与整体坐标的关系局部坐标与整体坐标的关系：cossinsincosxxyyxy 二、二、整体坐标系下的整体坐标系下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵ijxyxy Teiijjuvuv a整体坐标系下的整体坐标系下的单元节点位移和节点力可分别写成：单元节点位移和节点力可分别写成： TexiyixjyjFFFF Fcossinuuv 0000iiiejjjuvucsuucsv aT a坐标变换关系：坐标变换关系：eT FT Fcosc sins eTFF cossinuuv T：转换矩阵：转换

11、矩阵ITT Tijxyxy cossinxxyFFFcos sinxxyxFFFF e aT a坐标变换关系：坐标变换关系：eT FT FeTeee FT KTaK aeT KT KTeTFF FaK cossinuuv T：转换矩阵：转换矩阵sc t ttT00 tttt00111100TTelEAK ttttttttTTTTlEA 22scscscscscTtt22222222ccsccscsscssEAlccsccscsscss 为什么第为什么第1、3行和为零行和为零?为什么第为什么第2、4行和为零？行和为零？引入记号：引入记号：则则整体坐标系下的整体坐标系下的单元刚度方程：单元刚度方程

12、：iiiuv aiiijiijjjijj KKaFaFKKjjjuv axiiyiFF FxjjyjFF FuiviujvjFxiFyiFxjFyjjiijjjiiKKKK 22scscsc三、总刚度矩阵的构成三、总刚度矩阵的构成 为简单起见，考虑只有两个为简单起见，考虑只有两个单元组成的系统。单元组成的系统。123Px1Py1Px2Py2Px3Py3对于单元对于单元和和，分别有，分别有：(1)(1)(1) FKa(2)(2)(2) FKa对于整个系统，应成立对于整个系统，应成立：111112132212223231323333 FaKKKFKKKaKKKFa FKa位移之间的关系：位移之间的

13、关系：考虑节点处的平衡条件，取节点作为分离体考虑节点处的平衡条件，取节点作为分离体。1节点节点Px1Py1Px2Py2Px3Py3(1)11 aa(1)(2)222aaaFx1(1)Fy1(1)Fx2(1)Fx2(2)Fx3(2)Fy2(1)Fy2(2)Fy3(2)2节点节点3节点节点(2)33 aa123Px1Py1Px2Py2Px3Py3由各节点平衡，得由各节点平衡，得各单元各单元平衡平衡方程可写成方程可写成：(1)(2)122300 FPFFF(1)(1)(1)111112(1)(1)2212223000000 FaKKFKaa(2)1(2)(2)222232(2)(2)32333300

14、0000 aFKKaKKFa相加后，得总刚度方程：相加后，得总刚度方程：(1)(1)111112(1)(1)(2)(2)2212222232(2)(2)32333300 PaKKPKKKKaKKPa总刚度方程的特点总刚度方程的特点：总刚度矩阵是对称矩阵；总刚度矩阵是对称矩阵；总刚度矩阵是带状稀疏矩阵；总刚度矩阵是带状稀疏矩阵；位移列阵位移列阵 和外载荷列阵和外载荷列阵 中的对应量总是一个已知，一个未知。中的对应量总是一个已知，一个未知。总刚矩阵是奇异的。总刚矩阵是奇异的。 11Tuv a 11TxyPP P（代表平衡方程）（代表平衡方程）例例1 如图三杆桁架，如图三杆桁架，E=A=1，求：求：

15、u1，v1，u2，v2，u3，v3所所满足的方程。满足的方程。 解：单元解：单元：i=3，j=1， =0，l=1，EA/l=1，123xP1 1 y22222222eccsccscsscssEAlccsccscsscss K01 sc 0000010100000101111133133）（KKKK123xP1 1 y单元单元：i=1，j=2， =1350 ，l=1/sin ，EA/l= sin ，22222222eccsccscsscssEAlccsccscsscss K 1111111111111111221222211211）（KKKK123xP1 1 y单元单元：i=3，j=2， =90

16、0，l=1，EA/l=1，22222222eccsccscsscssEAlccsccscsscss K10 sc 1010000010100000322233233）（KKKK组集，得总刚矩阵组集，得总刚矩阵123xP1 1 y 0000010100000101111133133）（KKKK 1111111111111111221222211211）（KKKK 1010000010100000322233233）（KKKK 333231232221131211KKKKKKKKK11222333311111102 22 22 22 20111002 22 22 2110002 22 211012

17、 2101xxyuPvFuvFuFv 010000001221221221221221221 总刚度方程：总刚度方程：四、约束处理及方程求解四、约束处理及方程求解 总刚矩阵是奇异阵，不能总刚矩阵是奇异阵，不能直接求解，需进行约束处理，直接求解，需进行约束处理，去掉刚体位移。去掉刚体位移。0332 vuu处理方法一：处理方法一：在总刚方程中，去掉在总刚方程中，去掉u2， u3， v3对应的行列，即得对应的行列，即得123xP1 1 y11222333311111102 22 22 22 201111002 22 22 22 211110002 22 22 22 211111012 22 22 2

18、2 2100010000101xxyuPvFuvFuFv 0022112212212212212212212212211211Pvvu0332 vuu解得：解得：112, 2(12) , uPvPvP 处理方法二：不必将方程降阶，把对应的对角线元素改处理方法二：不必将方程降阶，把对应的对角线元素改为为1 1，其余改为，其余改为0 0，即得，即得112233111010002 22 22 21110002 22 22 20001000011101002 22 22 200000100000001uvPuvuv 0332 vuu11121111212222221212ininiiiiiniinnn

19、innnnkkkkuFkkkkuFkkkkuFkkkkuF 1112111121222222120010ininiinnninnnnkkkkuFkkkkuFuukkkkuF 1112111121222222120000100niiniiiinnnnnnniikkkuFk ukkkuFk uuukkkuFk u iiuu 处理方法三：处理方法三： 不必将方程降阶，把对应的对角线元素改为大数，不必将方程降阶，把对应的对角线元素改为大数，其余不变，如上例中把其余不变，如上例中把u2， u3， v3对应的对角线元素对应的对角线元素改为改为1010。11210231031011111102 22 22

20、22 201111002 22 22 22 2011110002 22 22 20111110102 22 22 22 2100010000001010uvPuvuv 21010 u31010 u31010 v 1）处理方法一：可用于手工计算；编程计算）处理方法一：可用于手工计算；编程计算稍麻烦，但可降低问题阶数。稍麻烦，但可降低问题阶数。 2）处理方法二：由于方程不作降阶处理，编）处理方法二：由于方程不作降阶处理，编程方便，一般用于计算机程序计算。程方便，一般用于计算机程序计算。3）处理方法三：编程很方便，但方程性态不）处理方法三：编程很方便，但方程性态不好，对精度有影响。不推荐使用。好，对

21、精度有影响。不推荐使用。斜约束问题斜约束问题123xP1 1 y123xP1 1 y 000001010000010122211211csKKKK 1P=1P=1P=1123EA=1求：求：v1 、 u2 、 u3 、 v3解：解：sin = s cos = c sin = 1 cos = 0222332330000010100000101KKKK sin = 0 cos = 1sin = s cos = c2332ccsKBcss 3321vuuv3s2222111222212222ccsccsKKcsscsssKKccsccscsscss 33311311KKKKcs/02cs 3s 00

22、)(2Bsc )(Bscs 1)(2 BssP PPs Pc 332332211001011022110022122100221221221012212212212211yxxFFFPvuvuvu五、求杆中的内力、应力及支座反力五、求杆中的内力、应力及支座反力 通过约束处理及方程求解，即可得到各节点位移，通过约束处理及方程求解，即可得到各节点位移，然后将其代入总刚方程，可得支座反力。然后将其代入总刚方程，可得支座反力。0 1000 0 001 221221221221221 221 单元的内力和应力求法如下：单元的内力和应力求法如下：0000iiNxjjijjjjuvcsFFKKucsv 00

23、1100ecsEAlcs acos ()sin ()jijiEAuuvvl cos ()sin ()NjijiFEuuvvAl u v EAlFuN eTaKaKF escsclEAa 有限元法求解步骤有限元法求解步骤：一、离散化一、离散化将求解区域变成有限元模型将求解区域变成有限元模型 1. 选定单元类型，划分有限元网格，给节点、单元编号选定单元类型，划分有限元网格，给节点、单元编号 2. 选定整体坐标系，给定单元尺寸、材料常数选定整体坐标系，给定单元尺寸、材料常数二、单元分析二、单元分析建立单元平衡方程建立单元平衡方程 1. 在单元内选定位移插值函数（在单元内选定位移插值函数（N）；）；

24、2. 定义应变位移和应力应变关系（定义应变位移和应力应变关系（B、D）；）； 3. 用虚功原理推导单元平衡方程（用虚功原理推导单元平衡方程（Ka =F）；）； 4. 求每个单元的单元刚度矩阵；（求每个单元的单元刚度矩阵；（K）三、整体分析三、整体分析形成和求解整体平衡方程形成和求解整体平衡方程 1. 组集成整体刚度矩阵、载荷向量，形成整体平衡方程组集成整体刚度矩阵、载荷向量，形成整体平衡方程 2. 进行约束处理并求解平衡方程，得到节点位移；进行约束处理并求解平衡方程，得到节点位移； 3. 后处理计算，根据需要计算应力、反力等。后处理计算，根据需要计算应力、反力等。 6.3 6.3 平面梁单元平

25、面梁单元本节只讨论平面梁的弯曲问题，且本节只讨论平面梁的弯曲问题，且局部坐标系与整体坐标系一致。局部坐标系与整体坐标系一致。 每个节点考虑两个未知量每个节点考虑两个未知量v， ，规定规定 转角以转角以 x 轴转向轴转向 y 轴方向为正，轴方向为正，广义节点位移列阵：广义节点位移列阵：ijlxyivjvij Teiijjvv a TeyiiyjjFMFM F 每个节点的广义力为剪力每个节点的广义力为剪力F 和弯矩和弯矩M，其符号规定，其符号规定与与v和和 转角一致，广义节点力列阵：转角一致，广义节点力列阵：一、梁一、梁单元单元的的单元刚度矩阵单元刚度矩阵节点位移与节点力有以下关系：节点位移与节点

26、力有以下关系：eee KaF1. 位移插值函数（形函数）位移插值函数（形函数） 由于由于 ，只要找出，只要找出v(x)与广义节点位移关系即可，与广义节点位移关系即可，取取v(x) 为三次多项式：为三次多项式：dvdx 23( )v xabxcxdxejjiixNvxNxNvxNxvNa )()()()()(4321ivv )0(iv )0(jvlv )(jlv )(23123( )132xxNxll形函数：形函数：222( )(12)xxNxxll23323( )32xxNxll242( )()xxNxxll322166)(lxlxxN 222341)(lxlxxN 322366)(lxlxx

27、N 22432)(lxlxxN 0)(0)(0)0(1)0(1111 lNlNNN0)(0)(1)0(0)0(2222 lNlNNN0)(1)(0)0(0)0(3333 lNlNNN1)(0)(0)0(0)0(4444 lNlNNN2. 梁的应变和应力梁的应变和应力由梁的平截面假定，有由梁的平截面假定，有( )( )eeyvxyx NaBa)(xvyy exvNa )( 1234( )( )( )( )ByNy NxNxNxNx 其中其中：126 2( )(1)xNxll 22( )(32)xNxll 31( )( )NxNx 42( )(31)xNxll 1234( )( )( )( )SE

28、yNEy NxNxNxNx 其中：其中：( )eeEEyNx aSa 应力：应力：3. 平面梁的单元刚度矩阵平面梁的单元刚度矩阵与杆单元类似，有与杆单元类似，有dd2eTTVVVEyVKB SNNd0lTEIx NN11121314222324333444iiijjijjkkkkkkkkkk KKKKd0( )( )llmlmkEINxNxx 其中其中： AdAyI2 ) ) lTAxAyE02ddNN积分，得积分，得311212kEI lH 2244kEI lH 3311kk 4422kk 21236kEI lH 1412kk 1311kk 3414kk 2452kEI lH则单刚为：则单刚

29、为：2323435234eHHHHHHHKHHH 2312kk 二、单元组集与二、单元组集与求解求解平面梁的单元组集与求解与平面桁架的情况类似。平面梁的单元组集与求解与平面桁架的情况类似。例例2 如图，两梁如图，两梁E相同，相同，I1=2I2= 2I，求节点求节点2处的位移、转角及支座反力。处的位移、转角及支座反力。123l Pl 解：解：1）先求节点）先求节点2处的位移、转角处的位移、转角 由于两端固定，则节点由于两端固定，则节点1、3处的位移、转角均为处的位移、转角均为0， 因此在最后方程求解时，只需要因此在最后方程求解时，只需要K22的系数。的系数。 单元单元1， i=1，j=2 lEI

30、lEIlEIlEIHHHHjj81212242234332)1()1(22KK单元单元2， i=2，j=3(2)3223(2)(2)2234212664iiEIEIHHllHHEIEIll KK组集，得组集，得32(1)(2)2222222366612EIEIllEIEIll KKK32(1)2222412128EIEIllEIEIll K232223666120EIEIvPllEIEIll 解方程，得解方程，得3222,3366PlPlvEIEI 123l Pl 方法方法1：先计算各个单元的单刚，然后组集成总刚，：先计算各个单元的单刚，然后组集成总刚，由总刚方程直接求得支座反力。由总刚方程直

31、接求得支座反力。方法方法2：计算：计算 K12(1)， 由单元由单元1的单元刚度方程，求得的单元刚度方程，求得固定端固定端1 处的支座反力；计算处的支座反力；计算 K32(2) ，由单元，由单元2的单元的单元刚度方程，求得固定端刚度方程，求得固定端3 处的支座反力。处的支座反力。2）求支座反力）求支座反力 求得节点求得节点2处的位移、转角后，即可求支座反力，有处的位移、转角后，即可求支座反力，有两种解法：两种解法：KaF 111211212222 KKaFKKaF2121aKF (逆时针逆时针)(顺时针顺时针)yFPMPl11610, 1133PlMPFy337 ,11533 22115343

32、323211 vvHHHHHHHHMFy EIPlEIPllEIlEIlEIlEI6633412122423223 PlP3310116求求1点反力：点反力：三、三、梁的等效外载梁的等效外载ijijsyiFq(x)(a) 梁的外载梁的外载syjF(b) 等效外载等效外载1. 等效外载的概念与计算公式等效外载的概念与计算公式 梁单元一般要承受单元载荷梁单元一般要承受单元载荷(即梁中的分布载荷和集中载荷即梁中的分布载荷和集中载荷)，而有限元法中的刚度方程是广义节而有限元法中的刚度方程是广义节点位移与广义节点力之间的关系，点位移与广义节点力之间的关系，因此，必须将梁中的载荷变成等效因此，必须将梁中的

33、载荷变成等效的节点载荷。的节点载荷。由虚功原理，得由虚功原理，得eTsellPdxxxqdxxvxqaaNd dd dd d )()()()( lTsdxxxqP)()(NsiMsiM得得即即：2. 几个特殊外载：几个特殊外载：1）均匀分布载荷）均匀分布载荷 q(x)= - - q lTsdxxxq)()(NP lsyidxxNxqP)()(1 lsidxxNxqM)()(2 lsyjdxxNxqP)()(3 lsjdxxNxqM)()(42qlPsyi 122qlMsi 2qlPsyj 212sjqlM ql画出的是载荷画出的是载荷的真实方向的真实方向2）集中力载荷）集中力载荷 q(x)=

34、- -Pd d (x - -a)ijlabP当当a = b = l/2时，时，注：梁的等效节点载荷与超静定梁的反力正好差一符号。注：梁的等效节点载荷与超静定梁的反力正好差一符号。)231()(33221lalaPaPNPsyi )23()(33223lalaPaPNPsyj 222)(labPaPNMsi 224)(lbaPaPNMsj 2PPsyi 2PPsyj 8PlMsi 8PlMsj lTsdxxxq)()(NP 在求有横向外载梁的内力时，梁中的弯矩有两部分在求有横向外载梁的内力时，梁中的弯矩有两部分组成：一部分是在节点被加约束条件下的弯矩组成：一部分是在节点被加约束条件下的弯矩M0(

35、x) （用材力方法或查表）；另一部分是由节点位移（用材力方法或查表）；另一部分是由节点位移ae产产生的弯矩生的弯矩Ms(x)，由单元平衡方程求得。即有：，由单元平衡方程求得。即有：3. 有横向外载时梁的内力计算有横向外载时梁的内力计算)()()(0 xMxMxMs 其中其中eAeAsEIdAEyydAxMaNaN 2)( sMEI1 sMEIEIv1 ql 2220612lxlxqlMlP lxlxlFlxlxFM2)43(820)4(8012/2ql12/2ql24/2qlFl/8Fl/8Fl/822322232,)2(,)2(lbaPMlblaPPlabPMlalbPPsjsyjsisyi

36、 lxaxlbbllPaaxaxlalPbM21021222208,28,2PlMPPPlMPPsjsyjsisyi lxlxlPlxlxPM2)43(820)4(808,22,222qlMqlPqlMqlPsjsyjsisyi 2220612lxlxqlMMlbaaMMlabPMlabbMMlabPsjsyjsisyi2323)2(,6)2(,6 lxaxlbbllMaaxabxlalMbM630262204,234,23MMMlPMMMlPsjsyjsisyi lxllxMlxlxMM232522021320PijlbaqMijll/2l/2ijlMijlbaPijll/2l/2 12/2

37、/12/2/224323343232qlqlqlqlvvHHHHHHHHHHjjii 12/24qlHj EIqlj483 esjMxEIEIN4( ) N aqlqlxxEIllEIl322(31)(31)4824 qlAB求：求：B点的转角，最大弯矩。点的转角，最大弯矩。ql 1324)(2lxqlxMs 2220612)(lxlxqlxM 2224518)(lxlxqlxM8)0(2qlM lxxM850)( 21289)85(qllM 82maxqlM 6.4 6.4 平面刚架有限元法平面刚架有限元法一、一、局部坐标系下局部坐标系下单元刚度矩阵单元刚度矩阵节点位移和节点力列阵：节点位移

38、和节点力列阵：局部坐标系下的局部坐标系下的单元平衡方程：单元平衡方程： Tjjjiiivuvu a jyjxjiyixiMFFMFF FFaK 局部坐标系下局部坐标系下单元刚度矩阵：单元刚度矩阵：记：记：lEAH 1 432153432321100000000HHHHHHHHHHHHHK jjjiiivuvu 1. 1. 坐标变换矩阵坐标变换矩阵 cossinsincosvuvvuu二、整体坐标系下的单元刚度矩阵二、整体坐标系下的单元刚度矩阵 cos c sin s记记：即有即有： 10000cssc vuvucsscvu10000则：则：整体坐标系下的整体坐标系下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵：

39、即：即：ejijiTaaa00aaa TKTKTe jjTjiTijTiiTjjjiijiiKKKKKKKK引入引入： 2221212122211)()(cHsHscHHscHHsHcHk cHsH222k则则 单刚可以具体写为：单刚可以具体写为：eK 4221HTiikkkK 4221HTjjkkkK 5221HTijkkkKTijjiKK 三、有分布外载时的平面刚架三、有分布外载时的平面刚架1. 整体坐标系下的等效节点外载整体坐标系下的等效节点外载局部坐标系下，单元上作用分布外载：局部坐标系下，单元上作用分布外载： lxxqxqxqyx 0)()()(由虚功原理，得等效节点外载由虚功原理，

40、得等效节点外载 lxsxixdlxxqF)1)( lxsxjxdlxxqF)( lysyixdxNxqF)()(1 lysyjxdxNxqF)()(3 lysixdxNxqM)()(2 lysjxdxNxqM)()(4记局部坐标系下的等效节点外载为：记局部坐标系下的等效节点外载为：整体坐标系下的等效节点外载为整体坐标系下的等效节点外载为：由坐标变换，有：由坐标变换，有： TsjsyjsxjsisyisxisMFFMFF F TsjsyjsxjsisyisxisMFFMFF F sTTsTsF00FTF TsxisyisxisyisisxjsyjsxjsxjsjcFsFsFcFMcFsFsFcF

41、M sxFsyF三、三、平面刚架有限元算例平面刚架有限元算例l P123l 例例 如右图所示刚架，截面为矩形，如右图所示刚架，截面为矩形，b=0.5m, h=1m, l=5m, E=30GPa, P=104 kN, 节点位移节点位移u1 , v1 , 1 。解解：)2()1(jjTiiKKK TP00 F 100001010000010000101000004332143321HHHHHHHHHH 431324332100000000HHHHHHHHHH 433321321200HHHHHHHHH三、三、平面刚架有限元算例平面刚架有限元算例l P123l 例例 如右图所示刚架，截面为矩形，如右

42、图所示刚架，截面为矩形，b=0.5m, h=1m, l=5m, E=30GPa, P=104 kN, 节点位移节点位移u1 , v1 , 1 。解解：25 . 0m bhAm4110467. 0 u43241121m bhIm2110325. 0 v3110495. 0 00200111433321321PvuHHHHHHHHH llqqcos qsin ql/2ql/2ql2/12ql2/12L=l/cos ql/2ql/2 cos122ql cos122ql tan21ql tan21qlql/2 tan21ql cos2ql6.56.5空间问题概述空间问题概述v空间桁架问题空间桁架问题

43、1111LEAK ),cos( ),cos( ),cos(zxyxxxxzxyxx wvuwvuuxzxyxxxzxyxx eexzxyxxxzxyxxjiuuTaaa 0 0 0 0 0 0 TKTKTe FTFTe v空间刚架问题空间刚架问题 TjyjxjiyixiMFFMFF F Tjjjiiivuvu a TzjyjxjzjyjxjziyixiziyixiMMMFFFMMMFFF F Tzjyjxjjjjziyixiiiiwvuwvu a平面：平面：平面：平面：313/00012/00012/zyEA lEIlEIl k3/0004/0004/kyzGJlEIlEIl k4/0002/

44、0002/kyzGJlEIlEIl k222000006/06/0zyEIlEIl k121212232324 TiijjijjiTT kkkkkkKKKKkkkkkk lEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAzykyyzz4040006012600012000002323称称对对作业作业如右图所示刚架，截面为如右图所示刚架，截面为矩形，矩形，b=0.5m, h=1m, l=5m, E=30GPa, P=800 kN, q=480 kN/m, 节点位移节点位移u1 , v1 , 1 及梁中弯矩。及梁中弯矩。l P123ql/2 l/2 四、铰连接四、铰连接的梁单元的梁单元 梁单元的广义

45、节点位移为位移梁单元的广义节点位移为位移v和转角和转角 。刚性连接节点：位移刚性连接节点：位移v 和转角和转角 均连续；均连续；铰连接节点：位移铰连接节点：位移v连续，但转角连续，但转角 不连续，在该节点没不连续，在该节点没有一个唯一的有一个唯一的 作为未知量，需将其释放，用矩阵分块作为未知量，需将其释放，用矩阵分块技巧处理。技巧处理。2323435234yisyiiiisijyjsyijjsjFPvHHHHMMHHHvFPHHHMM 12312设梁的设梁的j端为铰节点，端为铰节点， j不能作为不能作为未知量需将其释放未知量需将其释放。由于由于j端为铰节点，端为铰节点，Mj=0。引入：。引入：

46、23211343232HHHHHHHHH K31253HHH K2112T KK1iijvv a1yiiyjFMF F1syiscisyjPMP P 20jM F 2ssjM P12312224H K 2j a11111212122220ss PaKKFKKaP11111s K aFP其中：其中：11111122221 KKKKK11112222sss PPKKP具体写为具体写为：23211343232HHHHHHHHH K11.50.51.5sjsyisyissisisjsyjsjsyjMPPlMMMPMPl P21122220s K aK aP11112211s K aK aPF ) )12222