第四章第4讲万有引力定律及其应用—2021高中物理一轮复习学案

1、第4讲万有引力定律及其应用nZHI SHI SHU LI ZI CE GONG GU知识梳理自测巩固知识点1开普勒三定律开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个 焦点 上。开普勒第二定律： 行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都a3相等，即韦=匕a3(1)对于椭圆轨道，公式平=k中的a是半长轴，即长轴的一半，注意椭圆轨道的对称性；a3(2)对于圆轨道，公式 ？= k中的a是轨道半径，圆周上的任何位置，万有引力等于向心力;a3.一 _ (3)公式7= k中的k 一个只与中心天体的质

2、量有关的量，与行星的质量无关。知识点2万有引力定律1 .内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，引力的大小跟它们质量的乘积成正比, 跟它们距离的平方成反比。2 .公式：F=Gm11m2-, G 为万有引力常量， G= 6.67 X 10 11 N m2/kg2_。3 .适用条件：适用于相距很远，可以看作质点的物体之间的相互作用。质量分布均匀的球体可以认为质量集中于球心，也可用此公式计算，其中 r为两球心之间的距离。思考：卡文迪许把他的实验说成是可以“称量地球的质量”。阅读教材，怎样通过推导公式来证明卡文迪许的实验是能够称量地球质量的。 2 n.,c2答案若忽略地球自转的影响， 则mg=G惇，由此

3、得到M=gG-。地球表面的重力加速度g和地球半径R在卡文迪许之前就已知道，卡文迪许通过实验测得了引力常量G,所以就可以算出地球的质量Mo知识点3人造卫星表达式：应用万有引力定律分析天体运动的方法Mmv22,2jr 26-= ma= m- = mrw2= _mr(T )2_应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算。基本特征：把天体运动看成是匀速圆周 运动，其所需的向心力由天体间的万有引力 提供。知识点4宇宙速度1 .第一宇宙速度(环绕速度)指人造卫星近地环绕速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具 有的速度，是人造卫星的最小发射速度，也是最大的线速度，其大小为vi= 7

4、.9 km/s。2 .第二宇宙速度在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或飞到 其他行星上去所必需的最小发射速度。其大小为V2= 11.2 km/s。3 .第三宇宙速度在地面上发射物体，使之能够脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，其大小为V3= 16.7 km/s。思考：发射卫星，要有足够大的速度才行，请思考：(1)不同星球的第一宇宙速度是否相同？如何计算第一宇宙速度？(2)把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？答案(1)不同。围绕星球表面运转卫星的线速度即为第一宇宙速度。(2)越大。思维诊断：(1)当两物体间的距离趋

5、近于0时，万有引力趋近于无穷大。(X )(2)牛顿根据前人的研究成果得出了万有引力定律，并测量得出了万有引力常量。(X )(3)人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。(V )(4)在地球上，若汽车的速度达到7.9k m/s,则汽车将飞离地面。(V )(5) “嫦娥三号”探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则周期较小的轨道半径一定较小。(V )自测巩固ZI CE GONG GU1 . (2019江西抚州七校联考)(多选)2018年7月是精彩天象集中上演的月份，“水星东大距” “火星冲日“月全食”等天象先后扮靓夜空，可谓精彩纷呈。发生于北京时间月28日凌晨

6、的“月全食”，相对于 2018年1月31日发生的“月全食”来说， 7月的全食 阶段持续时间更长。已知月球绕地球的运动轨道可看成椭圆，地球始终在该椭圆轨道的一个焦点上，则相对于1月的月球而言，7月的月球（CD ）A.绕地球运动的线速度更大B.距离地球更近C.绕地球运动的线速度更小D.距离地球更远解析本题考查开普勒第二定律的应用。地球绕着太阳公转，月球又绕着地球公转， 发生月食的条件是地球处于月球和太阳中间，挡住了太阳光，月全食持续的时间长短和太阳、地球、月球三者的位置关系密切相关，7月这次月全食的时间比较长是由于月球和地球的距离比较远，所以7月的月球离地球更远， 根据开普勒第二定律可知此时月球绕

7、地球运动的线 速度更小，故A、B错误，C、D正确。2 .在距地面不同高度的太空有许多飞行器。其中“天舟一号”距地面高度约为393 km,哈勃望远镜距地面高度约为 612 km, “张衡一号”距地面高度约为500 km。若它们均可视为绕地球做圆周运动，则 （A ）A. “天舟一号”的加速度大于“张衡一号”的加速度B.哈勃望远镜的线速度大于“张衡一号”的线速度C. “天舟一号”的周期大于哈勃望远镜的周期D.哈勃望远镜的角速度大于“张衡一号”的角速度GMmr2mf, v=、/G"，哈勃望远镜的线速度小于 “张衡一号 引力提供飞行器的向心力， GMmnmHr, T= 1/4需，镜的周期，故

8、C错误；根据万有引力提供飞行器的向心力，的线速度，故 B错误；根据万有“天舟一号”的周期小于哈勃望远GMm2nmor22r,解析根据万有引力提供飞行器的向心力，GM2m=ma, a=GrM1, “天舟一号”的加 速度大于“张衡一号”的加速度，故A正确；根据万有引力提供飞行器的向心力,勃望远镜的角速度小于 “张衡一号”的角速度，故D错误。11 3 .（多选）已知火星的质量约为地球质量的9,火星的半径约为地球半径的20下列关于92火星探测器的说法中正确的是 （CD ）A.发射速度只要大于第一宇宙速度即可B.发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C.发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D.火星探

9、测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的解析根据三个宇宙速度的定义， 可知选项A、B错误，选项C正确；已知M火=譬,9R地向v火，GM火./GMm J2 "后丁谛R 火=贝U = " I -、/王-,选项 D 正确。2v地 丫 R火丫 R地3HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO核心考点重点突破* 考点一中心天体质量和密度的估算1. “ g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径Ro(1)由GM?= mg,得天体质量 M=gR。(2)天体密度2, “T、r”M M 3gk V = rT=4TGR°33成法：测出卫星绕中心天体做

10、匀速圆周运动的半径r和周期To,Mm由Gp= mT2(2)若已知天体的半径R,则天体的密度M _M3 <3P= V=4_3= GT2R3°产3兀(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度p= GT20故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。*例1 (2019广东广州天河区二模)假定太阳系一颗质量均匀且可看成球体的小行星，起初自转可以忽略。现若该行星自转加快，当其自转的角速度增加为3时，该行星表面“赤道”上的物体对星球的压力减小至原来的2o已知引力常量 G,则该星球密度 p为3(B )9一9一A, 87GB- 47Go 22

11、3 33C- 27GD- 37G解析本题考查行星密度的求解问题。忽略行星的自转影响时，该行星表面的物体受到的万有引力等于重力，即 GM¥=mg,自转不可忽略时，万有引力提供重力及物体随行星自转的向心力，则自转角速度为 3时有GMmtmg+mco2r,行星的密度为 尸产，解得p r 34 3371r规律总结:万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F有两个效果：一是重力 mg,二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。(1)在赤道上：MmGR2=mgi+ mw 2R。(2)在两极上：MmG-R2-=mg2o(3)在一般位置:万有引力GMm等于重力mg与向心力F向的矢量和。 R越靠近

12、南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMm-=mgoR类题演练1(2020四川成都七中诊断)(多选)中国已经开发出了低轨道太空测试设备，目前安装在了“天宫二号”上进行测试。若该设备能将飞行器P送到火星附近使其绕火星做匀速圆周运动。如图所示，火星相对飞行器的张角为0,火星半径为 R,飞行器绕火星做匀速圆周运动的轨道半径为r,已知引力常量为 Go下列说法正确的是(BD )A.若测得飞行器周期和火星半径 R,可得到火星的质量B.若测得飞行器周期和轨道半径r,可得到火星的质量C.若测得飞行器周期和张角 &可得到火星的质量D.若测得飞行器周期和张角

13、9,可得到火星的平均密度解析本题考查根据卫星环绕中心天体做圆周运动，求解中心天体的质量、密度。设火星的质量为M,平均密度为 伊飞行器的质量为 m,周期为To对于飞行器，根据万有引力提供向心力有GMm=mr422,得M = 4D 所以若测得飞行器周期和轨道半径r,可得到r2T2GT2火星的质量，选项 B正确；由几何关系得R= rsin上所以M =24f03若测得飞行器周期、火星半径R和张角0,可得到火星的质量， 选项A、C错误;火星的平均密度 p：M43R33D正确。GT* 2 sinGMmr2越高越慢（2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球

14、的半径，其运行线速度约为7.9 km/so（3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。例2 （2019重庆一中月考）如图所示，卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用T、a、v、S分别表示卫星的周期、加速度、速度、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关 系式正确的是（A ）A. Ta>TbB. aA>aBC. va>vbD. Sa=Sb解析本题考查开普勒第二定律与万有引力定律的应用。根据万有引力提供向心力可得GMm =应 嗅4ama可知线速度为v =、/G,周期为丁 =、唇!，加速度为a =r2 r T2: r, GM詈,A的轨道半径较大，则 VA<VB, Ta>Tb

15、, aA<aB,故A正确，B、C错误；由开普勒第二 定律可知绕同一中心天体运动的卫星与中心天体连线在相等时间内扫过的面积相等，A、 B不是同一轨道，所以 A、B与地心连线在单位时间内扫过的面积不同，故D错误。类题演练2（2019四川泸州一诊）2018年6月14日1时06分，探月工程“嫦娥四号”任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球约6.5万千米的地月拉格朗日 L2点的Halo轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星，地月 L2是个“有趣”的位置，在这里中继星绕地球转动的周期与月球绕地球转动的周期相同，下列说法正确的是（D ）/、/曲球 ,月球TX/A.B.C.

16、D.“鹊桥”中继星绕地球转动的角速度比月球绕地球转动的角速度大“鹊桥”中继星与地心的连线及月球与地心的连线在相同时间内分别扫过的面积相“鹊桥”中继星绕地球转动的向心加速度比月球绕地球转动的向心加速度小“鹊桥”中继星绕地球转动的向心力由地球和月球的万有引力共同提供解析本题考查卫星运行规律。 根据题意知“鹊桥”中继星绕地球转动的周期与月球绕地球转动的周期相同，根据3=沪口 “鹊桥”中继星绕地球转动的角速度与月球绕地球转 动的角速度相等，故 A错误；“鹊桥”中继星与地心的连线及月球与地心的连线在相同时 间内分别转过的角度相等，但是因“鹊桥”中继星轨道半径大于月球轨道半径，可知在相同时间内分别扫过的面

17、积不相等，故B错误；“鹊桥”中继星的轨道半径比月球绕地球的轨道半径大，根据 a=co2r知，相等时，“鹊桥”中继星绕地球转动的向心加速度比月球绕 地球转动的向心加速度大，故C错误；“鹊桥”中继星在地月连线延长线上，同时受地球及月球的万有引力，则绕地球转动的向心力由地球和月球的万有引力共同提供，故D正确。JIE DUAN PEI YOU CHA QUE BU LOU阶段培优查缺补漏多星运动模型（一）双星模型绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统， 如图所示，双星系统模型有以下特点:Gmim2Gmim2各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 L2 = micJ门，L2 =m

18、2cJ（2）两颗星的周期及角速度都相同，即Ti=T2, 31=32（3）两颗星的半径与它们之间的距离关系为ri +r2= L，一 一一、，一.，一一， ,一mi r2（4）两颗星到圆心的距离ri、r2与星体质量成反比，即 m=（5）双星的运动周期T = 2Ng mLL24九3（6）双星的总质重公式 mi + m2=小丁 2 GI* 例3 （2019吉林省实验中学八模）某双星系统由a、b两颗星体组成，这两颗星绕 它们连线上的某一点做匀速圆周运动。这两颗星之间的距离为L, a星绕它们连线上的某点每秒转动n圈，a、b两颗星的轨道半径之差为Ar（a星的轨道半径大于 b星的轨道半径），引力常量为G。则（

19、A ）e ,-4 "n2L3A. a、b两颗星的质量之和为 GB. a、b两颗星的质量之比为匕手l - zxrC. b星的角速度为2 4 L + ArL ArD. a、b两颗星的轨道半径之比为LL Ar解析本题考查双星问题。设a、b两颗星的质量分别为mi、m2,轨道半径分别为ri、,一 一111-,ri L+ Ar2,由题息 ri>r2,贝U ri+r2=L, ri - r2= Ar,解得 ri = 2(L+ Ar), r2=2(L N),则,=l Ar选项D错误；两星围绕它们连线上的某点运动的角速度相同，a星绕它们连线上的某点每秒之和mi + m2=4/2L3,选项A正确;G

20、转动n圈，角速度为 0=2武，则b星的角速度也为2击，选项C错误；根据万有引力提供 向心力可知 号詈=miri32=m2r2扇，整理可得G m：j m2=+用= 4/n2L,解得质量由G；2m2= m1汨:m2 32r2,可得 a、b两颗星的质量之比为®=2=L,选项B错误。m2 ri l+ Ar（二）三星模型1 .直线模型如图所示，三颗质量相等的行星， 一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上。两行星转动的方向相同，角速度、线速度的大22小相等。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：GmL + Gm= maoQf m J 中o-72

21、.三角形模型如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。三颗行星转动的方向相同，角速度、线速度的大小相等。每颗行星运行所需向心力都由2其余两颗行星的万有引力的合力来提供：GmLx2Xcos 30 =ma其中 L=2rcos 30 °。了沔 1a .例4 （20i9甘肃静宁一中二模）（多选）三颗质量均为 M的星球分别（可视为质点）位于边长为L的等边三角形的三个顶点上。如图所示，如果他们中的每一颗都在相互的引力O作用下沿等边三角形的外接圆轨道运行，引力常量为G,下列说法正确的是（BD ）A .其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小为B.其中一

22、个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心C.它们运行的轨道半径为当LD.它们运行的线速度大小为解析本题考查多星系统问题。根据万有引力定律，任意两个星体间的引力大小为= GMLy,每个星球所受的合力为F合=2Fcos 30 =3GML22根据几何关系可知,合力的方向指向圆心。，故A错误，B正确；由几何知识可知星球做圆周运动的轨道半径R= -L-2cos 30W3L,故C错误；根据万有引力的合力提供向心力可知, 32F合=”已，可得R,故D正确。13GMLM2 NIAN GAO KAO MO NI XUN LIAN2年高考模拟训练1. （2019全国卷I, 21）（多选）在星球M上将一轻弹簧

23、竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度 a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体 Q完成同样的过程，其 a- x关系M的半径是星球N的3如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球倍，则（AC ）A. M与N的密度相等C. Q下落过程中的最大动能是P的4倍D. Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍M表面的重力加速度解析B错：如图，当 x=0时，对P： mpgM = mp 3ao,即星球gM = 3ao; 对 Q: mogN = moao,N表面的重力加速度 gN= ao。kxo当P、Q的加速度a=0

24、时，对P有mPgM = kxo则mP= 一;3aoQ 有 mogN= k 2xo,贝U2kxomQ =,即 mQ=6mP。aoA对：卞据mg=G#m得，星球质量M =gG-,则星球的密度3g4tGR'所以M、PMgM Rn3、，1/N的密度之比'=版嬴=彳>< 3=1。C对：当P、Q的加速度为零时，P、Q的动能最大，机械能守恒，对 P有：mpgMxo =Ep 弹+ EkP,即 EkP= 3mPaoxoEp 弹；对 Q 有：mQgN 2xo= 4Ep 弹+ EkQ,即 EkQ= 2mQaoxo 4Ep弹= 12mPaoxo 4Ep 弹=4X (3mpaoxo Ep弹)

25、=4EkP。D错：P、Q在弹簧压缩到最短时，其位置关于加速度a=0时的位置对称，故 P下落过程中的最大压缩量为 2xo, Q为4xo。2. （2019全国卷n, 14）2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引D解析由万有引力公式MmF = G/可知，探测器与地球表面距离 h越大，F越小,排除B、C;而F与h不是一次函数关系，排除A。3. （2019全国卷m, 15）金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v

26、火。已知它们的轨道半径 R金R地R火，由此可以判定（A ）B. a火a地a金D. v火v地v金A. a金a地a火C. v地v火v金解析行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识:由G=ma得向心加速度RGM2由G"R2" = mR得速度v =由于R金VR地VR火所以 a金2地2火，v金 v地丫火，选项 A 正确。4. （2019北京，18）2019年5月17日，我国成功发射第 45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星（同步卫星）。该卫星（D ）A.入轨后可以位于北京正上方B.入轨后的速度大于第一宇宙速度C.发射速度大于第二宇宙速度D.若发射到近地圆轨道所需能量较少解析A错：同步卫星只能位于赤道正上方。b错：由GMm=m'知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度（近地卫星的速度）。C错：同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度。D对：若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少。5. （2019天津，1）2018年1