1.2第一节多元函数的基本概念ppt课件

1、推广推广第六章第六章 多元函数微分学多元函数微分学一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: : 善于类比善于类比, , 区别异同区别异同第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、一、 Rn 空间的有关概念空间的有关概念二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性一、一、 Rn 空间的有关概念空间的有关概念 1、n维空间维空间 Rn用用Rn表示表示n元有序实数组元有序实数组(x1, x2, xn)的全体构成的全体构成的集合的集合.即即 Rn= (x1, x2, xn)| xkR , k

2、=1,2, n .定义了线性运算的集合定义了线性运算的集合 Rn 称为称为 n 维维(实实)空间空间.元素元素 x = (x1, x2, xn) 称为称为 Rn中的一个点或中的一个点或n维维向量向量,数数 xk 称为称为 x 的第的第 k 个坐标或第个坐标或第 k 个分量个分量. 0= (0,0,0) 称为称为Rn的坐标原点的坐标原点. 说明：说明：设设x =(x1, x2, xn), y =(y1, y2, yn)Rn , , R.1) Rn 中中x与与y的线性运算的线性运算 x + y 定义为定义为: x+ y =( x1+ y1, x2+ y2, , xn+ yn). 2) Rn 中两点

3、中两点 x 与与 y 之间距离为之间距离为:|yx 当当 n=1,2,3时时, 分别为数轴、平面、空间两点间的距离分别为数轴、平面、空间两点间的距离.)()()(2222211nnxyxyxy 3) 设设 a =(a1,a2,an) 为为 Rn中的定元中的定元, 假设假设 |xa|0, 则称变元则称变元 x 在在 Rn中趋于定元中趋于定元 a , 记为记为 x a .x a 的充要条件是的充要条件是 xk ak ( k=1,2,n) .2、平面的有关概念、平面的有关概念1) 邻域邻域 设设P0(x0, y0)是是xoy平面上的一个点平面上的一个点, 是某是某一正数一正数, 与点与点P0(x0,

4、 y0)距离小于距离小于 的点的点P(x, y)的全的全体体, 称为点称为点P0的的 邻域邻域, 记为记为U(P0, ),0P ),(0 PU|0 PPP.)()(| ),(2020 yyxxyx( (圆邻域圆邻域) )P0点的去心点的去心邻域邻域, 记为记为),(0 PU。),(0 PU。|00 PPP.)()(0| ),(2020 yyxxyx说明：若不需要强调邻域半径说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成U(P0).U(P0). )(0oPPU 00PP点点 P0 P0 的去心邻域记为的去心邻域记为2) 内点、边界点和聚点内点、边界点和聚点设点集设点集E R2, 点点P R2

5、 . EP 1) 若存在点若存在点 P 的一个邻域的一个邻域U(P,) , 则称点则称点P为为E的内点的内点.显然显然E的内点属于的内点属于E.若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域U(P)E = ,则称则称P 为为E 的外点的外点. 2) 若在点若在点 P 的任一邻域内都既有的任一邻域内都既有E的内点也有的内点也有E的外点的外点,则称则称 P 为为 E 的边界点的边界点 .P E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为E 的边界的边界, 记作记作E.3) 若对任意给定的若对任意给定的0, 点点P 的去心邻域的去心邻域),(0 PU。内总有内总有说明：说明： a) 内点一定是聚点；内点一定是聚点

6、；b) 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；( 聚点可以属于聚点可以属于 E, 也可以不属于也可以不属于E )E 中的点中的点, 则称点则称点 P 是是 E 的聚点的聚点.3) 开集与闭集开集与闭集设点集设点集 E R2假设假设 E 中每一点都是内点中每一点都是内点, 则称则称 E 是是R2中的开集中的开集.若若E的余集的余集Ec是是R2中的开集中的开集, 则称则称 E是是R2中的闭集中的闭集.(假设假设 E E , 则称则称 E 为闭集为闭集)41),(221 yxyxE例如例如 即为开集即为开集41),(222 yxyxE即为闭集即为闭集41),(223 yxyxE而而既非开集也非闭集既非

7、开集也非闭集.0| ),( yxyx是有界点集；是有界点集；是无界点集是无界点集称为无界点集称为无界点集否则否则为有界点集为有界点集则称则称成立成立对一切对一切即即不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定点使一切点使一切点若存在正数若存在正数对于点集对于点集EEEPKAPKAPAEPKE,|,|, 41| ),(22 yxyx例如例如 4) 有界集与无界集有界集与无界集5) 区域、闭区域区域、闭区域设非空点集设非空点集D R2, 假设假设 D 中任意两点都中任意两点都可用一完全属于可用一完全属于 D 的折线相连的折线相连 , 则称则称 D 是连通的是连通的.连通的开集称为开区域连通的开集

8、称为开区域 , 简称区域简称区域 ;开区域连同它的边界一起称为闭区域开区域连同它的边界一起称为闭区域.例如例如.41| ),(22 yxyx12xyo0| ),( yxyxxyo开区域开区域.41| ),(22 yxyx0| ),( yxyx闭区域闭区域3、 n维空间维空间Rn中邻域、区域等概念中邻域、区域等概念,|),(00nRPPPPPU 邻域：邻域：在在R3R3空间中空间中, , ),()(0zyxPU ,( (球邻域球邻域) )zzyyxx 202020)()()(内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似定义二、多元函数的概念二、多元函数的概念

9、引例引例 1) 圆柱体的体积圆柱体的体积2) 定量理想气体的压强定量理想气体的压强.,2hrV , )(为为常常数数RVTRp 0, 0),( hrhr, 0),(0TTVTV hr定义定义 映射映射f : D R称为定义在称为定义在 D 上的上的 n 元函数元函数 , 设非空点集设非空点集D Rn,记作记作DPPfu , )(或或点集点集 D 称为函数的定义域称为函数的定义域 ; 数集数集)(DP,Pfuu 称为函数的值域称为函数的值域 .特别地特别地 , 当当 n = 2 时时, 有二元函数有二元函数2R),(),( Dyxyxfz当当 n = 3 时时, 有三元函数有三元函数3R),()

10、,( Dzyxzyxfu),(21nxxxfu 多元函数中也有自变量、因变量等概念多元函数中也有自变量、因变量等概念.多元函数由对应法则多元函数由对应法则 f f 和定义域和定义域D D 两要素确定。两要素确定。 规定规定 多元函数的自然定义域是使算式所表达的函数多元函数的自然定义域是使算式所表达的函数有意义的有意义的x1,x1, xn, xn所对应的点所对应的点P(x1,P(x1, xn), xn)的全的全体体 . . xzy221yxz 定义域为圆域定义域为圆域 .1),(22 yxyx图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面. .1o例如例如 1. 1. 二元函数二元函数2.

11、 三元函数三元函数 )arcsin(222zyxu 定义域为单位闭球定义域为单位闭球 .1),(222 zyxzyx二元函数的几何意义：二元函数的几何意义：空间点集空间点集 (x, y, z)| z =f (x, y), (x, y) D称为二元称为二元函数的图形函数的图形, 一般为空间曲面一般为空间曲面 .例例1 (1) 1 (1) 求求 的定义域的定义域)ln(),(yxyxf .0| ),( yxyxD (2) 求求 的定义域的定义域)ln(1),(yxyxf .1, 0| ),( yxyxyxD且且 (3) 求求 的定义域的定义域)ln(1),(yxyxf .1| ),( yxyxD例

12、例2 2 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 01|3|222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 例例3 3 求函数的定义域求函数的定义域 (r R) (r R)222222221),(zyxRrzyxzyxu .| ),(22222RzyxrzyxD 例例4 4 设设,000),(222222 yxyxyxxyyxf).1,1(yxf求求.)1,1(22yxxyyxf 例例5 5 知知 求求 . .,),(22yxyxxyf ),(yxf二元函数也有复合函数二元函数也有复合函数.2),(2xyyx

13、f 例例6 6 知知 求求 . .),(yxf,),(22yxyxxyf .)1()1(),(222xyxyxf 例例7 7 . )(,2), 1(, )(1),(2xfyyyFyxfxyxF求求设设 . 1)(2 xxf多元函数也有单值性与多值性的概念多元函数也有单值性与多值性的概念. . 2222Rzyx 例如例如),( (222RyxyxD ,222yxRz .222yxRz 或或单值分支单值分支 一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不再适用在多元函数中不再适用. .但有界性的定义仍适用：设有但有界性的定义仍适用：设有n n

14、元函数元函数y=f(x),y=f(x),其定其定义域为义域为D DRn,Rn,集合集合X XD.D.若垂存在正数若垂存在正数M,M,使对使对x xX X，有，有|f(x)|f(x)|M,M,则称则称f(x)f(x)在在X X上有界上有界,M,M称为称为f(x)f(x)在在X X上的一个界上的一个界. .三、多元函数的极限三、多元函数的极限说明：说明：(1) 定义中定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP (2) 二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限也叫二重极限.)()(0| ),(2020 yyxxyxP证证022 yxxy故有故有. 0),(lim)0,0(),( yxfyx,0

15、0),( yxf,时时当当yx 2202221yx 2221yx ,2 总有总有, )0(),(2222 yxyxxyyxf证明：证明：.0),(lim)0,0(),( yxfyx例例1 1 设设若当点若当点 P(x, y) 以不同方式趋于以不同方式趋于P0 (x0, y0) 时时,函数趋于函数趋于不同值或有的极限不存在不同值或有的极限不存在 , 则可以断定函数极限不存则可以断定函数极限不存在在.例例2 2 设设),(lim)0,0(),(yxfyx , 00, 0),(222222yxyxyxxyyxf证明证明: 不存在不存在解解 设设 P(x , y) 沿直线沿直线 y = k x 趋于点

16、趋于点 (0, 0) ,则有则有),(limyxfkxyx 022220limxkxxkx ,12kk k 值不同极限不同值不同极限不同 ,故故 不存在不存在. .),(lim)0,0(),(yxfyx确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：方法一方法一 点点P(x, y)沿某条特殊路径趋向于沿某条特殊路径趋向于P0(x0, y0), 若极限值不存在若极限值不存在, 则可断言极限不存在则可断言极限不存在.方法二方法二 点点P(x, y)沿不同路径趋向于沿不同路径趋向于P0(x0, y0), 若若极限值存在但不相等极限值存在但不相等, 则可断言极限不存在则可断言极限不存在.点点P(x, y)

17、沿某些特殊路径沿某些特殊路径 (如如 y = kx ) 趋向于趋向于P0(x0, y0), 若极限值与若极限值与k有关有关, 则可断言极限不存在则可断言极限不存在.从极限定义可知从极限定义可知, , 多元函数的极限与一元函数极限多元函数的极限与一元函数极限相同相同, , 二元函数的极限运算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似.sinlim)2(;sinlim)1()0,0(),()0,2(),(yxyyxyyxyx例例3 3 求求.11lim)0 , 0(),(xyxyyx 例例4 4 求求.lim22),(),(yxyxyx 例例5 5 求求四、多元函数的连续性四、多元函数

18、的连续性若函数在若函数在D D上各点处都连续上各点处都连续, ,则称此函数在则称此函数在D D上连续上连续. .例例1 1 函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在点在点(0,0)极限不存在极限不存在,故函数在点故函数在点(0,0)处不连续处不连续点点(0,0)为其间断点为其间断点例例2 2 函函数数11),(22 yxyxf1| ),(22 yxyx在在 上间断上间断.多元基本初等函数：多元基本初等函数：由多元函数极限的四则运算可得多元函数的由多元函数极限的四则运算可得多元函数的四则运算连续性及复合函数的连续性四则运算连续性及复合函数的连续性.,arcsin,arcs

19、in,sin,sin,log,log,yxyxyxaayxCaayx 这些函数看作多元函数这些函数看作多元函数, 叫做多元基本初等函数叫做多元基本初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数个式子所表示的多元函数叫多元初等函数.例例3 3 求求解解3131 原式原式.31 ).()(lim,)(,)(,)(,