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文档简介
1、第二节第二节 点的坐标与向量的坐标点的坐标与向量的坐标一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、向量的坐标及向量线性运算的二、向量的坐标及向量线性运算的 坐标的表示坐标的表示三、向量的模、方向角和投影三、向量的模、方向角和投影一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系1、空间直角坐标系的基本概念、空间直角坐标系的基本概念xyz由三条互相垂直的数轴按右手规则由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系. . 坐标原点坐标原点 O . O . 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)过空间一定点过空间一定点 O,O 坐标面坐标面 卦限卦限( (八个
2、八个) )面xoy面面yozzox面面xyzo向径向径 对应对应11坐标轴上的点坐标轴上的点 P, Q , R ; P, Q , R ;坐标面上的点坐标面上的点 A , B , C . A , B , C .点点 M M特殊点的坐标特殊点的坐标: :有序数组有序数组 对应对应11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB), 0 ,(zxC(称为点称为点 M 的坐标的坐标)原点原点 O(0,0,0) ; O(0,0,0) ;rrM在直角坐标系下在直角坐标系下),(zyx),(zyxO坐标面坐标面: :xyzo面面yox0 z面面yoz0 x面
3、面zox0 y坐标轴坐标轴: 轴轴x 00zy轴轴y 00zx轴轴z 00yx八个卦限上点八个卦限上点 M(x,y,z) 的特点的特点: 0, zyx第第I I卦限上:卦限上:0, 0 zyx第第IIII卦限上:卦限上:0, 0, 0 zyx第第IIIIII卦限上:卦限上:0, 0, 0 zyx第第IVIV卦限上:卦限上:0 z 第第V V、VIVI、VIIVII、VIIIVIII卦限上的点依次卦限上的点依次把第把第I I、IIII、IIIIII、IVIV卦限中卦限中z z改为:改为:xyzo 1MPNQR 2M?|21 MMd2221|2NMNMd 2、空间两点间的距离、空间两点间的距离设设
4、 M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) 为空间上的两点为空间上的两点, ,|22221NMPNPM |,|121xxPM |,|12yyPN |,|122zzNM .)()()(|21221221221zzyyxxMMd 空间两点间距离公式空间两点间距离公式解解 ),(xMd2223 ,13 ),(yMd2222 , 8 ),(zMd到到 y 轴轴 ; 到到 z 轴轴 ;到到 原点原点.2232 ,13 OMd 222232 ,17 例例1 1 求点求点 M(2,3,2) M(2,3,2) 到到 x x 轴的距轴的距离离. .例例 求点求点 M(x,y,z) 到各坐标轴
5、、各坐标面的距离到各坐标轴、各坐标面的距离.考虑考虑 求点求点 M(x,y,z) 关于坐标原点、各坐标轴、各关于坐标原点、各坐标轴、各坐标面的对称点坐标面的对称点.例例 求点求点 M(x,y,z) 到各坐标轴、各坐标面的距离到各坐标轴、各坐标面的距离.到到 x 轴的距离:轴的距离:),(xMd到到 y 轴的距离:轴的距离:),(yMd到到 z 轴的距离:轴的距离:),(zMd到到 xoy 平面的距离:平面的距离:, | zd 到到 yoz 平面的距离:平面的距离:|,| xd 到到 zox 平面的距离:平面的距离:. | yd ,22zy ,22zx ,22yx 考虑考虑 求点求点 M(x,y
6、,z) 关于坐标原点、各坐标轴、各关于坐标原点、各坐标轴、各坐标面的对称点坐标面的对称点.x0zyM点的对称点点的对称点关于关于xoy面面:(x,y,z) (x,y,-z)关于关于x轴轴:(x,y,z) (x,-y,-z)Q0关于原点关于原点:(x,y,z) (-x,-y,-z)M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)解解可设可设P点坐标为点坐标为(x,0,0),2223)2( x 1PP,22PP2221)1(2 x112 x即即222 x,1 x故所求点为故所求点为 (1,0,0) 或或 (1,0,0) .解得解得二、向量的坐标及向量线性运算的坐标的表示
7、二、向量的坐标及向量线性运算的坐标的表示在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下, ,那那么么xoyzMBCijkA设点设点 M M 的坐标为的坐标为 M (ax , ay , M (ax , ay , az),az),a NMONOM OCOBOAN任意向量任意向量 可用向径可用向径 OM OM 表示表示. .a, iaOAx , jaOBy ,kaOCz kajaiaazyx a此式称为向量此式称为向量 的标准分解式的标准分解式,akajaiazyx,称为向量称为向量 沿三个坐标轴方向的分向量沿三个坐标轴方向的分向量.1. 向量的坐标表示向量的坐标表示kajaiaazyx 的的称为向量称为向量
8、 aaaazyx,坐标坐标.(coordinates)的的称称为为向向量量 aaaaazyx),( 坐标表示式坐标表示式.若点若点M的坐标为的坐标为(x, y, z), 则矢径:则矢径:).,(zyxOM 向量的分解表达式说明:任何向量可以表向量的分解表达式说明:任何向量可以表示为示为 的线性组合,组合系数的线性组合,组合系数 就是该向量的坐标就是该向量的坐标.zyxaaa,kji,2. 向量线性运算的坐标的表示向量线性运算的坐标的表示,),(, ),(为为实实数数设设 zyxzyxbbbbaaaa , ),(zzyyxxbabababa 则则,),(zzyyxxbabababa . ),(z
9、yxaaaa ,0 时时当当 a平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例: :abab .zzyyxxababab 解解例例1 设设 M1 (1, 3, 4), M2(2, 1, 3), 求求 ,21 OMOM,21 OMOM.21 MM 21MM 21OMOM 21OMOM),7, 4, 3()3, 1, 2()4, 3, 1( ),1, 2, 1()3, 1, 2()4, 3, 1( ).1, 2, 1()4, 3, 1()3, 1, 2( .),(,),(2122221111的的坐坐标标表表示示式式的的向向量量为为终终点点为为起起点点以以求求 MMzyxMzyxM例例. ),(121
10、212zzyyxx 21MM例例2 2 已知两点已知两点 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2)及及实数实数 1, 1, 在直线在直线ABAB上求一点上求一点 M , M ,使使.MBAM 解解 设设 M 的坐标为的坐标为(x, y, z), 如下图如下图ABMo 11得得 ),(zyx即即AMMB AMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOB OM OBOA (MAB)1,1,1(212121 zzyyxx)1,1,1(),(212121 zzyyxxzyx说明说明 由由得定比分点公式得定比分点公式: :,12
11、1 xxx,121 yyy.121 zzz,1时时当当 点点 M 为为 AB 的中点的中点 ,于是得中点公式于是得中点公式: :ABMo,221xxx ,221yyy .221zzz 三、向量的模、方向角和投影三、向量的模、方向角和投影1. 1. 向量的模向量的模,),(zyxa 设设向向量量,aOM 作作xoyzM,),(zyxM 的的坐坐标标为为则则点点 |a|OM),(zyx222zyx 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式例例1 1 设设求以向量求以向量的平行四边形的对角线的长度的平行四边形的对角线的长度. 为边为边nm,2,kjnjim 故对角线的长度分别为故对角线的长度分别为.
12、11, 3 对角线的长为解解mn|,|,|nmnm ),1 ,1,1( nm),1,3,1( nm, 3| nm,11| nm2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦,0),( zyxa给给定定oyzxa 与三坐标轴正向所成的与三坐标轴正向所成的夹角夹角 , , 称为称为 的方向角的方向角.aa方向角的余弦称为其方向余弦方向角的余弦称为其方向余弦. . ,0( ,0 . )0 cosax ,222zyxx cosay ,222zyxy cosaz .222zyxz 方向余弦的坐标表达式方向余弦的坐标表达式:方向余弦通常用来方向余弦通常用来表示向量的方向表示向量的方向. .,0 ,0 .0 xyz
13、o 1M 2M 非零向量非零向量 的方向角的方向角 , , , , 21MM)2,2,2(1M和和的模、方向余弦和方向角的模、方向余弦和方向角. . 计算向量计算向量例例1 1 已知两点已知两点, )0,3,1(2M21MM解解,21 ,23 )20 , )2,1,1( (21 MM211|21 MM, 2 ,21cos ,21cos ,22cos ,32 ,3 .43 解解注意:与已知向量平行的单位向量有两个注意:与已知向量平行的单位向量有两个, 一个与一个与 同向同向,一个反向一个反向a222)6(76| a,11 |0aaa ,116117116kji 或或|0aaa .11611711
14、6kji 1coscoscos222 方向余弦的性质方向余弦的性质a特殊地:与特殊地:与 同向的单位向量同向的单位向量ae|aa ).cos,cos,(cos ),(zyxaaaa 当已知当已知 的模与方向角时的模与方向角时, 由由 ,cos| aax ,cos| aay cos|aaz 可求出其坐标可求出其坐标. )0, 1 , 3( a).2 , 2, 2()4 , 2, 2(或或例例5 5依次为依次为,4,3 求点求点 A A 的坐标的坐标. . 设点设点 A 位于第一卦限位于第一卦限,向径向径 OA 与与 x 、 y 轴的夹角轴的夹角 ,6| AO且且. )3,23,3(解解,3,6
15、则有则有 222coscos1cos , 0 , 3cos| aax, 1cos| aay, 0cos| aaz. )0, 1 , 3( a. 0cos 解解,4,3 则则有有 222coscos1cos ,21cos ,41 )3,1(21 zyxPP则则设点设点P2的坐标为的坐标为(x,y,z),21cos x 21 ; 2 x20cos y 23cos z 22 , 2 y, 2, 4 zz21 故点故点P2的坐标为的坐标为 ).2 , 2, 2()4 , 2, 2(或或例例5 5依次为依次为,4,3 求点求点 A A 的坐标的坐标. . 设点设点 A 位于第一卦限位于第一卦限,向径向径
16、 OA 与与 x 、 y 轴的夹角轴的夹角 ,6| AO且且解解,4,3 则则有有 222coscos1cos ,41 且点且点 A 在第一卦限在第一卦限,21cos )cos,cos,(cos6 )21,22,21(6 ),3,23,3( AO故点故点 A A 的坐标为的坐标为 . )3,23,3(3. 向量的投影向量的投影1) 空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过点 A 作轴 u 的垂直平面,交点 A 即为点 A 在轴 u 上的投影. 2) 向量在向量上的投影向量在向量上的投影过过 M 点作平面垂直于点作平面垂直于b所所在的直线并交该直在的直线并交该直线于点线于点M ,则称则称有向线段有向线段 MO为向量为向量a在在向向量量b上的投影向量上的投影向量. M NaMOb 2) 向量在向量上的投影向量在向量上的投影M beNaMOb MObeMO| ,)cos|(|bea 即即. ),(cos|Prj baaabbeOM)cos|(| ),(zyxaaaa 在三个坐标轴上的分向量分别为:在三个坐标轴上的分向量分别为:,kajaiazyx在三个坐标轴上的投影分别为:在三个坐标轴上的投影分别为:.Prj,Prj,Prjzzyyxxaaaaaa ,kajaiazyx 解解pnma 34)
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