第四章泊松过程3

1、复合泊松过程复合泊松过程本节主要讲述复合泊松过程的有关性质及应用本节主要讲述复合泊松过程的有关性质及应用非齐次泊松过程的定义及性质非齐次泊松过程的定义及性质本章复习及作业本章复习及作业3 泊松过程推广泊松过程推广一一.复合泊松过程的有关性质及应用复合泊松过程的有关性质及应用定义定义 设设 N(t),t0 是参数为是参数为 的的Poisson过程过程, Yk.k=1,2,是一列独立同分布的随机变量是一列独立同分布的随机变量,且与且与N(t),t0独立独立0,)()(1tYtXtNkk令称称 X(t),t0为复合为复合Poisson过程过程.若将N(t)表示0,t)内的随机点数, Yk表示第k个随

2、机点所携带的某种(能)量,则总量为)(1)(tNkkYtX即 X(t),t0为复合Poisson过程定理1 设 X(t),t0为复合Poisson过程.则 X(t),t0的一维特征函数为)1)();(ufteut其中f(u)是Yn(n=1,2,)的特征函数 若22E)(,E)(,EnXnXnYttDYttmY则101,10002000( )10000,1( ),( ),( )tXtnnttYYtxf xE YD Yu：（）n n例例：考考虑虑复复合合泊泊松松过过程程假假定定= = 5 5，服服从从如如下下的的分分布布密密度度其其他他求求 11()()bjuxjbujuaauedxeebaju

3、ba定理定理2：设：设X(t)，t0是复合泊松过程，则是复合泊松过程，则X(t)，t0是平稳的独立增量过程是平稳的独立增量过程.证明分两步，一证其独立增量性，二证其平稳增证明分两步，一证其独立增量性，二证其平稳增量性量性证明：独立增量性证明：独立增量性012120 ,tttx xR 0121012120011220101212( ( )- ( ), ( )- ( )= ( ( )= , ( )= , ( )= ),( )- ( ), ( )- ( )iiiP X tX tx X tX txPN ti N ti N tiX tX tx X tX tx 120120100111112220= +1

4、= +1=( ( )= , ( )= , ( )= , ( )= ,)iinniiin in iP N ti N tiYx N ti N tiYx 120120110101212120= +1= +1=( ( )- ( )= - , ( )- ( )= - ,)iinniiin in iPN tN ti iYx N tN ti iYx 120120110101212120=+1= +1=( ( )- ( )= - ,) ( ( )- ( )= - ,)iinniiin in iPN tN ti iYx P N tN ti iYx 1201012110101212120= +10= +1=( (

5、 )- ( )= - ,)( ( )- ( )= - ,)iinniin iiin iP N tN ti iYxP N tN ti iYx 101212= ( ( )- ( ) ( ( )- ( )P X tX tx P X tX tx平稳增量性平稳增量性0 , ( )- ( )s t X t X s 的特征函数是的特征函数是t-s的函数的函数.( )-( )( )-( )( )= = ( )- ( )ju X t X sju X t X suE eE E eN t N s( )=( )+1=0=( )- ( )= ) ( ( )- ( )= )N tll N sjuYkE eN t N sk

6、 P N t N sk=1=0=() ( ( )- ( )= )kiijuYkE eP N t N sk- ( - )( - )( ( )-1)=0( ( - )=( )=!kkt st s f ukt sfueek例例1：求复合泊松过程的相关函数：求复合泊松过程的相关函数( ) ( )=( )( ( )- ( )+ ( )EX s X tEX s X t X sX s=( )( ( )- ( )+E ( ) ( )EX s X t X sX s X s22111122211=( ) ( ( )- ( )+( ) ( )=( - )+()=() +EX s E X t X sEX s X ss

7、EYt s EYsEYsEYst EYsEY应用复合泊松过程的简单应用应用复合泊松过程的简单应用例：某人负责订阅杂志，设前来订阅的顾客是一天例：某人负责订阅杂志，设前来订阅的顾客是一天内平均到达率为内平均到达率为8的泊松过程的泊松过程.他们分别以概率他们分别以概率1/2,1/3,和和1/6订阅订阅1季度、季度、2季度和季度和3季度的杂志，季度的杂志，其选择是相互独立的其选择是相互独立的.每次订阅每次订阅1季度时，该负责人季度时，该负责人可得可得1元手续费元手续费.令令X(t)表示在表示在0,t)内此人所得的手内此人所得的手续费，试求续费，试求EX(t),DX(t),以及相应的特征函数以及相应的

8、特征函数.例：考虑保险公司的全部赔偿例：考虑保险公司的全部赔偿.假设参加人寿保险者不假设参加人寿保险者不幸死亡的人数幸死亡的人数N(t)是具有强度为是具有强度为的泊松过程的泊松过程.用用Yn描描述第述第n个死亡者（即保险值个死亡者（即保险值Yn是独立同分布的）是独立同分布的）.令令X(t)表示表示0,t)内，保险公司必须付出的全部赔偿内，保险公司必须付出的全部赔偿.令令YnE(a),试求试求0,t)内保险公司的平均赔偿额，方差和内保险公司的平均赔偿额，方差和特征函数特征函数.( )af uaju定义定义 假设随机过程假设随机过程N=N(t)：t0是一独立增量过是一独立增量过程程.设设(t)：0

9、,+)(0,+)是一个取正值的确定性是一个取正值的确定性(可可测测)函数，如果函数，如果( )( )( ( )( )( )( ),0,!km tm sm tm sP N tN sketskNk这里函数0( )( ),tm td 则称则称N=N(t)：t0是一个强度为是一个强度为(t)的的非齐次泊松过非齐次泊松过程程.( )=( )= ( )XXmtDtm t研究非齐次泊松过程的数字特征，研究非齐次泊松过程的数字特征，可以证明可以证明二二.非齐次泊松过程非齐次泊松过程 称计数过程称计数过程 N N( (t t), ), t t 00为具有跳跃强度函为具有跳跃强度函数数 ( (t t) )的的非齐

10、次泊松过程非齐次泊松过程，如果满足，如果满足(1)(1)N N(0)=0;(0)=0;(2)(2)N N( (t t) )是独立增量过程是独立增量过程; ;(3)(3)(2)()()()(1)()(hotXhtXPhohttXhtXP 例例设非齐次泊松过程设非齐次泊松过程N(t)的跳跃强度的跳跃强度( )=0.5(1+cos)tt求求N(t)的均值和方差函数的均值和方差函数.1( )= ( )=0.5( +sin)m tD ttt 某路公共汽车从早晨某路公共汽车从早晨5 5时到晚上时到晚上9 9时时有车发出，乘客流量为有车发出，乘客流量为 ( (t t)()(t t=0=0为早晨为早晨5 5时

11、，时，t t=16=16为晚上为晚上9 9时时) ) 假设乘客数在不相重叠时间间隔内是相假设乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的，求互独立的，求1212时至时至1414时有时有20002000人来站人来站乘车的概率，并求这两小时内来站乘车乘车的概率，并求这两小时内来站乘车人数的数学期望。人数的数学期望。1613),13(4001400133,140030 ,400200)(tttttt 解解 12 12时至时至1414时为时为t t 7,97,9在在0,0,t t 内到达的乘车人数内到达的乘车人数N N( (t t) )服从参数服从参数为为 ( (t t) )的的非齐次泊松过程非齐次泊松过程

12、1212时至时至1414时乘车人数的数学期望为时乘车人数的数学期望为1212时至时至1414时有时有20002000人来站乘车的概率为人来站乘车的概率为9977(9)(7)(9)(7)( )14002800XXE NNmms dsds20002800(2800) (9)(7)20002000!P NNe例例：设某设备的使用年限为设某设备的使用年限为10年，在前年，在前5年内平均年内平均2.5年需要维修一次，后年需要维修一次，后5年平均年平均2年需维修一次，求年需维修一次，求在使用期限内只维修过在使用期限内只维修过1次的概率。次的概率。解解：因为维修次数与使用时间有关，所以该过程：因为维修次数与

13、使用时间有关，所以该过程是非齐次泊松过程，强度函数为是非齐次泊松过程，强度函数为1,052.5( )1,5102ttt 则1051000011(10)( )4.52.52mt dtdtdt94.524.59(10)(0)1!2P NNee例例： 两个独立泊松过程的和是非为泊松过两个独立泊松过程的和是非为泊松过程？两个独立泊松过程的差是非为泊松过程？两个独立泊松过程的差是非为泊松过程？是否是复合泊松过程？程？是否是复合泊松过程？1212121212,(1), (1),1,2,1,2,3( ),0( ),0nnnnY YYP YP YnY nN t tN t t ：设是相互独立的随机变量序列，且且

14、与和解相互独立，12( )0, 1( )0, 1nnN ttYN ttY若表示(内 取的个数，表示(内 取- 的个数,12( )( )121( )( )( )PoissonNtNtnnX tN tN tY则是一复合过程.例例： 设设0,t内进入某一计数器的质点数为内进入某一计数器的质点数为N(t)，N(t),t0是一强度为是一强度为的泊松过程，的泊松过程，再设到达计数器的每一个质点被记录下来的再设到达计数器的每一个质点被记录下来的概率为概率为p p, ,Y Y( (t t) )是是0,0,t t 内记录下来的质点数内记录下来的质点数. .试证试证Y(t),t0是一复合泊松过程，并求其均是一复合

15、泊松过程，并求其均值函数和方差函数及值函数和方差函数及 P(Y(t)=0)1,0nnXn第 个质点被记录下来解：设，n=1,2,，第 个质点未被记录下来123,0-1XXXp则相互独立同服从参数为 的分布，( )21,1,2,( ),N tnnnnEXp EXp nY tX 且 ( )0PoissonY tt 从而，是一复合过程.( )1( ( )0)(0)N tnnP Y tPX( ),( )YYm tpt D tpt( )0101( ) (0( )( ) (0)N tnknkptnknP N tk PXN tkP N tk PXe 先求条件分布,再对 求导。|( )kP hWsh X tn

16、s 设在设在0, t内事件内事件A已经发生已经发生n次，次，求第求第k次次(kn) 事件事件A发生的时间发生的时间Tk的条的条件概率密度函数件概率密度函数.解解tTk0sTns+h()kkksTshTshTshX shk当 充分小时，有|( ),( )( ),(),( )( ),( )()( ) ( )()( )kkkkkP sTsh X tnP sTsh X tnP X tnP sTsh X shk X tnP X tnP sTsh X tX shnkP X tnP sTsh P X tX shnkP X tn 令令h0，则有则有|( ) ( )() ( ) ( )() ( )()( ) (

17、 )() ( )kkkkP s Ts h X tnhP s Ts h P X tX s hn khP X tnP Ts hP Ts P X tX s hn khP X tnF s hF s P X tX s hn khP X tn |( )()11( )( )( | )( )( ) ()()()!()(1)!1(1)!()!kkT X tTn kt sksntn kkkP X tX snkfs nfsP X tntsesnketkennssknktt（Bata分布）分布） 设设X1(t), t 0和和X2(t), t 0是两个相互是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均独立的泊松过程，它

18、们在单位时间内平均出现的事件数分别为出现的事件数分别为 1和和 2。记。记 为过程为过程X1(t)的第的第k次事件到达时间次事件到达时间,记记 为过程为过程X2(t)的第的第1次事件到达时间，求次事件到达时间，求 即第一个泊松过程第即第一个泊松过程第k次事次事件发生比第二个泊松过程第件发生比第二个泊松过程第1次事件发生次事件发生早的概率。早的概率。(1)kT(2)1T(1)(2)1kP TT解解 设设 的取值为的取值为x， 的取值为的取值为y， (2)1T(1)kT1(1)2(2)11112(),0( )(1)!0,0,0( )0,0kkxTyTxexfxkxeyfyy则则f(x, y)为为

19、与与 的联合概率密度的联合概率密度由于由于X1(t)与与X2(t)独立，故独立，故(1)(2)1( , )kDP TTf x y dxdy(1)kT(2)1T(1)(2)1( , )( )( )kTTf x yfx fyyxy=xD 1212(1)(2)111120()110112()(1)!(1)!kkxyxkxkkP TTxeedydxkxedxk 例例 假设乘客按照参数为假设乘客按照参数为的的Poisson过程来到一个火车站乘坐某次火车，过程来到一个火车站乘坐某次火车，若火车在时刻若火车在时刻t启动，试求在启动，试求在0,t内到内到达火车站的乘客等待时间总和的数学达火车站的乘客等待时间总

20、和的数学期望期望TktTkk设是第 个乘客到达火车站的时刻，则其等待时间为解0N(t)t在 ， 内到达火车站的乘客数为( )()N tktTk=1等待时间总和为EEY XEY利用全期望公式( )( )E()EE()( )N tN tkktTtTN tk=1k=10E()( )( )nkntTN tnP N tn k=1011E()( )( )nnknkktTN tnP N tn 01E()( )( )nknkntTN tnP N tn( )01E()( )nknkntUP N tn01E( )nknkntUP N tn01()2!ntntntnten211()2(1)!ntntten22t例例

21、：甲乙两路公共汽车都通过某一车站：甲乙两路公共汽车都通过某一车站.两路公共汽两路公共汽车的到达分别独立地服从车的到达分别独立地服从10分钟一辆（甲），分钟一辆（甲），15分分钟一辆（乙）的泊松分布钟一辆（乙）的泊松分布.假定车总不会满员，试问：假定车总不会满员，试问：(1)可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需等待时间的概率分布及其均值等待时间的概率分布及其均值.(2)只可乘坐乙路公共汽车的乘客在此车站等车的时只可乘坐乙路公共汽车的乘客在此车站等车的时候，恰好有两辆甲路公共汽车通过的概率候，恰好有两辆甲路公共汽车通过的概率.例例（设备的故障率）假定某一设备发生故障的次数服（设备的故障率）假定某一设备发生故障的次数服从非齐次泊松过程，下图给出了自购入这个设备从非齐次泊松过程，下图给出了