圆弧和椭圆弧的绘制

1、222Ryx 圆上的点关于X轴、Y轴以及x=y,x=-y对称，只要实现1/8圆的扫描转换就可以利用对称性得到完整的圆（8对称点算法，圆心不在原点的处理见教材）。最容易想到的算法如下最容易想到的算法如下： 根据圆的基本方程，可以沿x轴，x从0到 ，以单位步长计算对应的y值来得到圆周上每点的位置： 该算法每一步均包含浮点乘法和开方运算，且所绘制的像素间间隔不一，随着x的增加，间隔越来越大。 为了方便起见，可以只考虑中心在原点、半径为整数R的圆：2/2R 一种消除不等间距的方法是使用极坐标来计算圆周上的点角度角度DDADDA法产生圆弧法产生圆弧。l算法的要点l1）以角度为参数，写出圆弧的参数方程。l

2、2）按均匀的（角度）间隔，计算出圆弧上点的坐标，用这些点（绘图时要对坐标值取整）的连线来代替圆弧。l设以原点为圆心，半径R，圆弧的起始角ts，终止角te，则参数方程为l选取适当的角度增量dt，令t以步长dt从ts变到te，l总步数：n=(te-ts)/dt.lti=ts+dt*i, i=0,1,n.l算出相应的圆弧上的点，画点(或连成线)即可。l问题： dt的选取tsinRytcosRxdt的一种取法的一种取法l如图，设Pi(xi,yi)和Pi1 (xi+1,yi+1)对应的参数分别为t和t+dt，显然，l|dx|=xi+1-xi| =r|cos(t+dt)-cost|=r|-sint|dtr

3、dtl同理，|dy|=yi+1-yi| rdtl为使|dx| 1 &dy| 1， 可取dt 1/r.OPiPi+1l和角度DDA法产生圆弧类似l1）以角度为参数，写出椭圆弧的参数方程。l2）按均匀的（角度）间隔，计算出椭圆弧上点的坐标，用这些点（绘图时要对坐标值取整）的连线来代替椭圆弧。l角度DDA法产生圆弧的算法使用了三角函数和浮点运算，运算速度依然很慢，与直线绘制算法相似，理想的圆绘制算法也是只需要作一些简单的整数和判别运算，常见的有中点画圆法中点画圆法的具体算法见教材中点判别法生成椭圆中点判别法生成椭圆 设椭圆的方程为： 将其化为： F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=01222

4、2byaxxy 由于椭圆的对称性，我们只讨论第1象限椭圆弧的生成。Oab|k|11）算法的要点xyOab|k|1i) |k|1的情况设当前点为P（xp,yp), 则下一点在两个候选点S(xp+1,yp)和T (xp+1,yp1)中选择。 判别规则: 设M为S 和T的中点a)若M在椭圆内(上方), 则选S;b)否则选T。PTSPTS(a)(b)xyOab|k|1i) |k|1的情况设当前点为P（xp,yp), 则下一点在两个候选点S(xp,yp-1)和T (xp+1,yp1)中选择。 判别规则: 设M为S 和T的中点a)若M在椭圆内(左侧), 则选T;b)否则选S。PTSPTS(a)(b)2）判

5、别式的计算设当前点Pi的坐标为(xi,yi)，两个候选点为S(xi+1,yi)和T(xi+1,yi-1),中点M(xi+1, yi-0.5)，判别式为di=b2(xi+1)2+a2(yi-0.5)2-a2b2 a)若di0（见右上图）,则下一点Pi+1(xi+1,yi+1)应该选S (xi+1,yi),di+1=b2(xi+1+1)2+a2(yi+1-0.5)2-a2b2 = b2(xi+2)2+a2(yi-0.5)2-a2b2PTS先讨论先讨论k di+1- di= b2(2 xi+3) b)若di0,则Pi+1(xi+1,yi+1)应该选T (xi+1,yi-1),di+1=b2(xi+1

6、+1)2+a2(yi+1-0.5)2-a2b2 = b2(xi+2)2+a2(yi-1.5)2-a2b2 =di+1- di= b2(2 xi+3)-a2(2 yi-2)PTS3) 判别式的初值 由于椭圆弧的起点P(0,b), 因此，点M(1,b-0.5), 判别式 d0=F(1,b-0.5) =b2+a2(b-0.5)2-a2b2 =b2+a2(-b+0.25)PM椭圆方程椭圆方程: F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=04) 由上半部分转入下半部分的判断椭圆方程椭圆方程: F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=0yaxbyyyaxb2222022方法1：b2xa2y？方法2：求出椭圆上 的点1 y),(yxx x设P（xi,yi)，则M(xi+0.5,yi-1),判别式：Di=F(xi+0.5,yi-1),a） 若Di0,则下一点选S（ xi,yi-