立体几何的体积和表面积辅导讲义讲解

1、学科教师辅导教案学员姓名授课老师授课日期及时段课时数2016年高一2h辅导科目次课第5页（共16页）空间几何体的表面积和体积基础知识”自主学习H知识梳理1. 空间几何体的结构特征多面体仃)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.棱台可由平仃于底面的平面截棱锥得到，其上、卜底面疋相似多边形旋转体(1) 圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到(2) 圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.(3) 圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平仃于底面的平面截圆锥得到(4) 球可以

2、由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.2. 三视图与直观图三视图画法规则：长对正，高平齐，宽相等直观图空间几何的直观图：常用斜二测画法来画.基本步骤是：(1) 原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中X轴，V轴的夹角为45。(或135。)，轴与x轴和y轴所在平面垂直.(2) 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于X轴和z轴的线段在直观图中保持原长度丕变,平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.3.柱、锥、台和球的表面积和体积f名称几何体表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S=S+2S表面积侧底V=Sh锥体（棱锥和圆锥）S=S+S表面积侧底V=下列说法正确的是（）A. 相等的角在直

3、观图中仍然相等B. 相等的线段在直观图中仍然相等C. 正方形的直观图是正方形D. 若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案D解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变.2. 某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱答案A解析由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱（放倒看）都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.3. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A.4nB.3nC.2nD.n答案C解析底面圆半径为1,髙为1,侧面积S=2nrh=2nX1X1=2

4、n.故选C.4. 将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D_ABC的体积为（）Sh台体（棱台和圆台）S=S+S+S表面积侧上下V=3（S上+s下+尸）h球S=4nR2V=nR3【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“V”或“X”）（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.（X）（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.（X）（3）用斜二测画法画水平放置的ZA时，若ZA的两边分别平行于x轴和y轴，且ZA=90°,则在直观图中,ZA=45°.（X）（4）正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.（X）（5）

5、圆柱的侧面展开图是矩形.（V）（6）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.（V）a3A石C.12a32D.12a3AC答案D解析O是AC的中点，连接DO,BO,ADC,ABC都是等腰直角三角形.因为DO=BO=22a,a,BD=a,所以ABDO也是等腰直角三角形.又因为DO丄AC,DO丄BO,ACHBO=O,所以DO丄平面ABC,即DO就是三棱锥DABC的髙.因为SABC=|a2,所以三棱锥DABC的体积为|x|xa222a=¥3,故选D.题型分类*深度剖析题型一空间几何体的结构特征例1给出下列命题： 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则

6、其三个侧面也两两垂直; 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱; 存在每个面都是直角三角形的四面体; 棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号.答案解析不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体AC中的三棱锥CABC,四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知.思维升华（1）解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模

7、型中进行判断；（2）解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.祝称】丿1狐1给出下列命题： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线; 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3答案A解析不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形

8、”，如图1所示；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.题型二空间几何体的三视图和直观图例2（1）一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（2）正三角形AOB的边长为a建立如图所示的直角坐标系xOy,则它的直观图的面积是思维点拨（1）由上向下看，可见线段都应画出；（2）与x轴平行或重合的线段长度不变，与y轴平行或重合的线段长度为原来的±'解析（1）该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体

9、，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.（2）画出坐标系xO'y'，作出AOAB的直观图O'A'B'（如图）.D'为O'A的中点.易知D'B'=2DB（D为OA的中点）,a2=16a2.思维升华（1）三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”；（2）解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点

10、，注意两个图形中关键线段长度的关系.跟踪训练2A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱（1）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）如图，矩形O'A'B'C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=6cm,O'C=2cm,则原图形是（）A.正方形B.矩形C.菱形D.般的平行四边形答案（1）B（2）C解析（1）如图，几何体为三棱柱.(2)如图，在原图形OABC中，应有OD=2O'D'=2X'2=2cm,CD=C'D'=2cm.OC=“JOD2+CD2=：(4*

11、2)2+22=6cm,AOA=OC,故四边形OABC是菱形.题型三空间几何体的表面积与体积例3（1）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为A.17TTTB.5C271D3（2）个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）第5页（共16页）A12C.6D.7第9页(共16页)(3)有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为一思维点拨(1)由侧视图，可想到几何体为两圆柱的组

12、合体；(2)考虑实、虚线的意义.答案(1)C(2)A(3)1：2：3解析(1)由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体.其中左面圆柱的髙为4cm,底面半径为2cm,右面圆柱的髙为2cm,底面半径为3cm,则组合体的体积V=nX22X4+nX32X2=16n+18n=34n(cm3)，原毛坯体积V2=nX32X6=54n34n10(2)该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体,54n(cm3)，则所求比值为飞n=畀作截面如图所示，有2r1=a，a/.r1=2，S1=4nrj=过球心作正方体的对角面得截面如图所示，有2r=2a, 球与正方体的各条棱的切点在各棱的中点,违_丫2=2a，S?=4

13、nr22=2na2.3 正方体的各顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面如图所示，有2r3='.Ra,：.r3=a,：.S3=4nr"2=3na2.综上可得，S1：S2：S3=1：2：3.思维升华（1）解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；（2）由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法.匪'示训练3（1）一个空间几何体的三视图如图所示，贝y该几何体的表面积为（）B.32+8；!7C.48+8佰（2）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平

14、面ABD丄平面CBD,形成三棱锥C_ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为（）A.48D.80D乎答案（1）C（2）C解析（1）由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2,下底长为4,髙为4；另两个侧面是矩形，宽为4,长为勺42+12=羽.所以S=42+2心+畀(2+4)心&+4"12=48+8帀.表2（2）因为C在平面ABD上的射影为BD的中点O,在边长为1的正方形ABCD中，AO=co=£ac=¥，所以侧视图的面积等于saoc=2co.ao=*

15、65;x¥=1故选C.易错警示系列11三视图识图中的易误辨析典例：将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为（第13页（共16页）图I图2易误分析（1）不能正确把握投影方向、角度致误；（2）不能正确确定点、线的投影位置；（3）不能正确应用实虚线区分可见线与非可见线.解析侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到BC,应画为虚线由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B.答案B温馨提醒（1）因对三视图的原理认识不到位，区分不清选项A和B,而易误选A;（2）因对三视图的画法要求不明而误选C或D.在画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画

16、，被遮住的部分的轮廓线用虚线画；（3）解答此类问题时，还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图，在复习时要明确三视图的含义，掌握“长对正、宽相等、高平齐”的要求思想方法感悟堤高方法与技巧1. 三视图的画法特征：“长对正、宽相等，髙平齐”，即正视图和侧视图一样髙，正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽.2. 求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法（1）转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.（2）求体积的两种方法：割补法：求一些不规则几何体的体积

17、时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的髙或几何体的髙，特别是在求三角形的髙和三棱锥的髙时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形（或三棱锥）的髙，而通过直接计算得到髙的数值.失误与防范1. 画三视图应注意的问题（1）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.（2）确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同.2. 求空间几何体的表面积应注意的问题（1）求组合体的表面积时，要注意

18、各几何体重叠部分的处理.（2）底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错练出高分1.下列结论中正确的是（）A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线答案D解析当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B错误；若六棱锥的所有棱都

19、相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形2.五棱柱中,知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误.不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有（A.20B.15C.12D.10答案D解析如图,AC.AD.同理从B，3.已知底面边长为1,在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条:C，D，E点出发的对角线均有两条，共2X5=10（条）.侧棱长为、运的正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的各顶点均在同一3(个球面上，则该球的体积为（）32nA丁B.4nC.2nD普答案D解析正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连

20、线的中点，所以球的半径r=（于）2+（¥）2=1，球的体积#=乎冯=乎.故选D.4. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A.72cm3答案B解析V=V三棱柱+VB.90cm3C.108cm3D.138cm3该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示.长方体=*X4X3X3+4X3X6=18+72=90(cm3).5. 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，贝y该几何体的侧视图为（A故D不正确；中间的故A不正确.答案B解析由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形,棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的

21、方向应该从左上到右下,6. 若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，贝y这个圆柱的侧面积与表面积的比值为答案盘解析设圆柱的底面半径为r,髙为h则则h=2，则h=2r/n，则S侧=2"=4心兄S全=4“祈+2g故圆柱的侧面积与表面积的比值为4nr+；nr2=怎穿.7.个几何体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是答案8n解析由三视图知该几何体是半径为2的球被截去四分之一后剩下的几何体，则该几何体的体积第10页（共16页）V=4XnX23X3=8兀8.如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点，设三棱锥F_ADE的体积

22、为V1，答案1：24解析设三棱锥FADE的髙为h则V1乩.AEsinZDAE3h2=(2h；|(2AD)(2AE)sinZDA/24-1第15页(共16页)9.如图所示的三个几何体，一个是长方体，一个是直三棱柱，一个是过圆柱上、下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，若这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形，求它们的表面积之比.解由题意可知这三个几何体的髙都相等，设长方体的底面正方形的边长为a髙也等于a故其表面积为S=6a2.直三棱柱的底面是腰长为a的等腰直角三角形，髙为a,故其表面积为S2=XaXaXaX(a+a+'2a)Xa=(3+；2)a2.4圆柱的底面是半径为a的圆的4,髙为a,

23、故其表面积为S3=4na2+4na2+a2+a2+?X2naXa=(n+2)a2.所以它们的表面积之比为S1：S2：S3=6a2:(3+运)°2:(n+2)a2=6:(3+、U)：(n+2).10.已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20cm和30cm,且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.解如图所示，三棱台ABCA1B1C1中，O、01分别为两底面中心，D、D1分别为BC和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜髙.厂由题意知AB=20，AB=30，则OD=53，OD=3，由S侧=5上+S下，得1x(20+30)X3DD1=41x(202+

24、302)，解得。卩斗点在直角梯形O1ODD1中，O1O=7;DD2-(OD-O1D1)2=3,所以棱台的髙为4翻cm.螺Me1、如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217点G,E,F,H分别是棱PB,AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH丄平面ABCD,BC平面GEFH.(1) 证明：GHEF；若EB=2，求四边形GEFH的面积.证明因为BC平面GEFH,BCU平面PBC,且平面PBCQ平面GEFH=GH,所以GH/BC.同理可证EFHBC，因此GH/EF(2) 解如图，连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.因为PA=PC,O是AC的中点，所以

25、PO丄AC,同理可得PO丄BD.又BDHAC=O,且AC,BD都在底面内，所以PO丄底面ABCD.又因为平面GEFH丄平面ABCD,且PO平面GEFH,所以PO平面GEFH.因为平面PBDQ平面GEFH=GK，所以PO/GK，且GK丄底面ABCD,从而GK丄EF.所以GK是梯形GEFH的髙.由AB=8,EB=2得EB:AB=KB:DB=1：4,从而KB=1DB=2OB，即K为OB的中点.再由PO/GK得GK=tPO,即G是PB的中点，且GH=BC=4.由已知可得OB=42,PO='PB2-OB2=6832=6,所以GK=3.故四边形GEFH的面积S=G"严F.gk=4：|8X

26、3=18.思维升华高考对该部分的考查重点是空间的平行关系和垂直关系的证明，一般以解答题的形式出现，试题难度中等，但对空间想象能力和逻辑推理能力有一定的要求，在试卷中也可能以选择题或者填空题的方式考查空间位置关系的基本定理在判断线面位置关系中的应用.2、如图，在三棱锥SABC中，平面SAB丄平面SBC,AB丄BC,AS=AB.过A作AF丄SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BC丄SA.证明(1)由AS=AB,AF丄SB知F为SB中点,贝UEF/AB,FG/BC,又EFHFG=F,ABHBC=B,(2)由平面SAB丄平面SBC,且AF丄SB,因

27、此平面EFG/平面ABC.知AF丄平面SBC,贝UAF丄BC.又BC丄AB,AFHAB=A，贝BC丄平面SAB,又SAU平面SAB,因此BC丄SA.3、在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACCA都为矩形.若AC丄BC,证明：直线BC丄平面ACC1A1；设D,E分别是线段BC,CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面AMC?请证明你的结论.证明因为四边形ABBA和ACC1A1都是矩形，所以AA丄AB,AA1±AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交的直线，所以AA丄平面ABC.因为直线BCU平面ABC,所以AA丄BC.又由已知，AC丄BC,AA1和AC为平面A

28、CCA内两条相交的直线，所以BC丄平面ACCAV乩C,(2)解取线段AB的中点M,连接AM,MC，AC，AC.设点O为A1C，AC1的交点.由已知，点O为AC1的中点.连接MD,OE,则MD,OE分别为ABC,ACC1的中位线，所以MD綊1AC,OE綊1AC,因此MD綊OE.连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形，则DE/MO.因为直线DE平面A1MC,MOU平面AMC,所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.4、(2016年北京高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC丄平面ABCD,AB/DC,DC丄AC求证：DC丄平面PAC；(II)求

29、证：平面PAB丄平面PAC；(III)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F,使得PA/平面CEF?说明理由.解：(I)因为PC丄平面ABCD，所以PC丄DC.又因为DC丄AC,所以DC丄平面PAC.(II) 因为AB/DC,DC丄AC,所以AB丄AC.因为PC丄平面ABCD，所以PC丄AB.所以AB丄平面PAC.所以平面PAB丄平面PAC.(III) 棱PB上存在点F，使得PA/平面CEF.证明如下：取PB中点F，连结EF,CE,CF.又因为E为AB的中点，所以EF/PA.又因为PA#平面CEF，所以PA/平面CEF.5、(2016年全国III卷高考)如图，四棱锥PABC中，PA丄平面ABCD,ADPBC,AB二AD二AC二3,PA二BC二4,M为线段AD上一点，AM二2MD,N为PC的中点.(II)求四面体N-BCM的体积.(I)证明MNP平面PAB；解析江I)由已知得盘眩=|.辺=»取貯的中点八连接应河,由潭为FC中点知科财G7N=3C=23井昨分y.AD!；!BC,故7X平行且尊于AM,四边形AMXT为平行四边形于是AfN'AT.(II)因为PA丄平面ABCD,N为PC的中点,因対卫二平面PABfA£Tcr平面PAB?所以J.A'平面FJg所以N到平面ABCD的距离为2PA9分取BC的中点E，连结AE.由