电磁场与电磁波课后习题及答案

1、17电磁场与电磁波课后习题解答给定三个矢量A、B和C如下：Ae+e2-e3xyzB-e4+eyzCe5e2xz求：(1)a；(2)A-B；(3)AB；(4)0；(5)A在B上的分量；(6)AxC；AllAB(7)A(BxC)和(AxB)C；(8)(AxB)xC和Ax(BxC)。Ae+e2e3123解(1)a.xye+ee一A|A|12+22+(-3)2x714y714乙应A-B|(e+e2-e3)-(-e4+e)|=(Ixyzyzx(3)AB=(e+e2-e3)(-e4+e)11xyzyzAB-1111<238AB所以(2)(4)由cos0ABAB14"17Acos0ABeee

2、xyz(6)AxC12-3-<50-2eeexyz(7)由于BxC0-4150-2eeexyzAxB12-30-41e8+e5+e20xyz-e10一e1一e4xyz4-e13-e10xyzA在B上的分量AB(8)e+e6-e4-J53yz111biaA(BxC)(e+e2e3)(e8+e5+e20)-42xyzxyz(AxB)C(-e10-e1-e4)(e5-e2)-42xex-105yey-10zez-4-2135.5，得0cos-i(-AB=e55e44e11xyz由此可见RR=(e4e)(e2+e+e8)=01223xzxyz故APPP为一直角三角形。123(2)三角形的面积S=

3、1RxR1=Rlx|R1=17x而=17.132I1223I2I122312求P'(-3,1,4)点到P(2,-2,3)点的距离矢量R及R的方向。r=e3+e+e4，r=e2e2+e3，P'xyzPxyz贝UR=rr=e5e3eP'PPP'xyz且R与x、y、z轴的夹角分别为p'p木(eR0=cos-1(xRppeR=COS-1(y一RP'P木(eR0=COS-1(zzcpp)32.31120.47)=COS-1(-o=99.73)=Rp'p给定两矢量A=e2+e3-e4和B=e4-e5+e6，求它们之间的夹角和A在Bx*yzxyz上的分

4、旦量。eeexyz12-38520三角形的三个顶点为P(0,1,-2)、P(4,1,-3)和P(6,2,5)。123(1) 判断APPP是否为一直角三角形；(2) 求三角形的面积。解(1)三个顶点P(0丄-2)、P(4,1,-3)和P(6,2,5)的位置矢量分别为123r=ee2，r=e4+e-e3，r=e6+e2+e51yz2xyz3xyzR=r一r=e4一e，R=r-r=e2+e+e8，1221xz2332xyzR=rr=-e6ee73113xyz)=cos-17)=131解A与B之间的夹角为=cos-1(ABABB-31A在B上的分量为AB=A|B=77=-3,532给定两矢量A=e2+

5、e3e4和B=e6e4+e，求AxB在C=ee+e上xyzxyzxyz的分量。ex26ey34ez41=e13+e22+e10xyz卓=14.43证明：如果AB=AC和AxB=AxC，则B=C；解由AxB=AxC，则有Ax(AxB)=Ax(AxC)，即(AB)A(AA)B=(AC)A(AA)C由于AB=AC，于是得到(AA)B=(AA)C故B=C如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p=AX而P=AxX，P和P已知，试求X。解由P=AxX，有AxP=Ax(AxX)=(AX)A(AA)X=pA(AA)XpAAxPX=AA2兀在圆柱坐标中，一点

6、的位置由(4,一,3)定出，求该点在：(1)直角坐标中的坐标；(2)3所以AxB在C上的分量为(AxB)故得球坐标中的坐标。解(1)在直角坐标系中x=4cos(2v'3)=2、y=4sin(2“3)=2运、z=3故该点的直角坐标为(-2,2j3,3)。(2)在球坐标系中r=J42+32=5、0=tan-i(4J3)=53.1、Q=2兀/3=120故该点的球坐标为(5,53.1,120)。25用球坐标表示的场E=e25，rr2(1) 求在直角坐标中点(3,4,5)处的|E|和E；(2) 求在直角坐标中点(3,4,5)处E与矢量B=e2e2+e构成的夹角。xyz解(1)在直角坐标中点(3,

7、4,5)处，r2=(3)2+42+(5)2=50，故1225err21 33迈=x=2 5J220(2)在直角坐标中点(3,4,5)处，r=e3+e4e5，所以xyz”2525re3+e4e5E=xyzr2r310J2E=eE=Ecos0xxrxEB故E与B构成的夹角为0=cos-1(EB)=cos-K-空巧=153.632角的余弦为EIB球坐标中两个点(r,04)和(r,04)定出两个位置矢量R和R。证明°R和R间夹1112221212cosY=cos0cos0+sin0sin0cos(QQ)121212R=ersin0cosQ+ersin0sinQ+ercos01 x111y11

8、1z11R=ersin0cosQ+ersin0sinQ+ercos02 x222y222z22RR1則叮sin0cosQsin0cosQ+sin0sinQsin0sinQ+cos0cos0=1122112212sin0sin0(cosQcosQ+sinQsinQ)+cos0cos0=121211212sin0sin0cos(QQ)+cos0cos012121-一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：解J(e3sin0)dS=J(e3sin0)SS在由r=5、z=0和z=4围成的圆柱形区域，对矢量A=er2+e2z验证散度定理。r71aa在圆柱坐标系中VA=(rr2)+(2z)=3r+2rdr3

9、zJvAdt=JdzJdqJ(3r+2)rdr=1200兀t000JAdS=J(er2+e2z)(edS+edS+edS)=rzrrQQzzSJJ52x5dQdz+JJ2x4rdrdQ=1200兀O0000VAdt=1200兀=JAdSts(1)矢量A=ex2+ex2y2+e24x2y2z3的散度；(2)求VA对中心在原点的一个单位立方体的积分；(3)求a对此立方彳体表面的积分，验证散度定理。解(1)VA=沁+空g=2x+2x2y+72x2y2z2dxdydzVA对中心在原点的一个单位立方体的积分为1(21|21|21JVAdt=JJJ(2x+2x2y+72x2y2z2)dxdydz=-24A

10、对此立方体表面的积分得到cosY所以(e3sin0)dS的值。3sin0x52sin0d0=75兀2故有(2)1212r|2Fp1dydz-JJ(-2)2dydz+-12-12-12-121(21(211(21(21JJ2x2()2dxdz-JJ2x2(-)2dxdz+-12-122-12-12224x2y2(-1)3dxdy-224-12-121(21(211(21(2JJ24x2y2()3dxdy-JJ-12-12故有JVAdt-丄-JAdS24ts计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求Vr对球体积的积分。JrdS-JredS-JdqJaa2sin0d0-4兀a3rSS0

11、01a又在球坐标系中，Vr-(r2r)-3，所以r2釦Jvrdt-3r2sin0drd0dQ-4兀a3t000求矢量A-ex+ex2+ey2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此xyz正方形的两边分别与x轴和y啪相重合。再求VxA对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。所以故有JAdl-Jxdx-Jxdx+J22dy-J0dy=80oVxA=0exddx0eyaayx2ezddz=e2yz+e2xxzy2zJJ(e2yz+e2x)edxdy=8xzzS0(0JAdl二8=JVxAdSfvxAdS=CS求矢量A-ex+exy2沿圆周x2+y2-a2的线积分，再计算VxA对此圆面

12、积的积分。xy-a2cosQsinQ+a4cos2Qsin2Q)dQ=4解JAdl-Jxdx+xy2dy-了(_(CC0aAaAa2p丄丄兀a4JVxAdSJe(y-厂)edS-Jy2dS-JJr2sin2QrdQdr-zaxayz丿4SSS00证明：(1)VR-3；(2)VxR-0；(3)V(AR)-A。其中R-ex+ey+ez，Axyz为一常矢量。解（1）VR=竺+空+冬=3dxdydzexVxR=Qyy+exxyyzzxyzV(AR)=e(Ax+Ay+Az)+e(Ax+Ay+Az)+xQxxyzyQyxyzQe(Ax+Ay+Az)=eA+eA+eA=AzQzxyzxxyyzz一径向矢量场

13、F=ef(r)表示，如果VF=0，那么函数f(r)会有什么特点呢?r1J解在圆柱坐标系中，由VF=rf(r)=0rdr(3)可得到dxyA，则AR=Ax+Ay+Az，故yQyQyCf(r)=C为任意常数。r在球坐标系中，由VF=一-r2f(r)=0r2drf(r)=r2给定矢量函数E=ey+ex，试求从点P(2,1,-1)到点P(8,2,-1)的线积分JEdl：xy12(1)沿抛物线x=y2；(2)沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？JEdl=JEdx+Edy=Jydx+xdy=xyJyd(2y2)+2y2dy=J6y2dy=1411连接点p(2,l,-l)到点二(&2,-1)直线方

14、程为x2x8y1y2可得到解（1）JEdl=JEdx+Edy=Jyd(6y4)+(6y4)dy=J(12y-4)dxy=14C由此可见积分与路径无关，故是保守场。求标量函数屮=x2yz的梯度及屮在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量345e+e+e定出；求（2,3,1）点的方向导数值。x；'50yp50z.：5011aaaVw=e(x2yz)+e(x2yz)+e(x2yz)=x-xyayz-ze2xyz+ex2z+ex2yxy0题图36alp50505050raa.Aaa试采用与推导直角坐标中VA=-Ax+A+-Ar相ax-y-zyz345故沿方向e=e+e+e的方向导数为1/50

15、yQz屈-W6xyz4x2z5x2y-1Ve原原原点(2,3,1)处沿e的方向导数值为1-W361660112似的方法推导圆柱坐标下的公式V A1a/八aA0-aV A=(rA)+0+z。r-rrr-0-z解在圆柱坐标中，取小体积元如题图所示。矢量场A沿e方向穿出该六面体的表面的通量为0+U0zzAr0z0+U0z(r+Ar)drd0r+Ar0z.z(r+Ar)A(r+Ar,0,z)一rA(r,0,z)A0Az沁rr沁2ArA0Az-1沁2at-rrr-r同理zA00+a0r+Arz+AzdrdzJJAdrdz0rzrz.aA(r,0+A0,z)A(r,0,z)ArAz-0ArA0Az00a0

16、dA=dATr。0Ardrd0zz+Azr0+h0A|rdrd0zzr0r0-A(r,0,z+Az)一A(r,0,z)rArA0Az«rrArA0Az=丁Atzz-zaz因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为1-(rA)-A屮=屮+屮+屮沁r+d+r0zr-rr-0W1-(rA)-A-A故得到圆柱坐标下的散度表达式V"Alim=+at®Atr-rr-0-z方程u乂+21+匕给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。a2b2c2解由于Vu之兰+e空+e竺Xa2yb2zc2|Vu|2i'()2+()2+()2a2b2c2故椭球表面上任意点的单位法向矢量

17、为Vu/xyn(e+e+e|Vuxa2yb2z现有三个矢量A、B、c为Aesin9cos©+ecos9cos©-esin©r9©Bez2sin©+ez2cos©+e2rzsin©r©zCe(3y2-2x)+ex2+e2zxyz(1) 哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？(2) 求出这些矢量的源分布。解(1)在球坐标系中10/八101A,VA(r2A)+(sin9A)+恥=r2Orrrsin9099rsin90©101010(r2sin9cos©)+一(si

18、n9cos9cos©)+一(-sin©)r20rrsin909rsin90©2sin9cos©+cos©2sin9cos©cos©r()2+(厂)2+(一)2a2b2c2re9_0_09rA9er00rsin9cos©VxA=Lr2sin9er00rAr1r2sin9rsin9rrsin9e©_d_0©rsin9A©re9009rcos9cos©n二0rsin9rsin9eed帥-rsin9sin©故矢量a既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表

19、示;在圆柱坐标系中10“、10B0BVB=(rB)+©+zr0rrr0©0zr3r皿-皿+2rsinQ=2rsinQ故矢量B可以由一个标量直角在坐标系中ereeereerezrezddd=1ddd3r3Qdzr3r3zBrrB、eB.亠jz2sinQrz2cosQ2rzsinQ=0小；VxB=1r13133(rz2sinQ)+(z2cosQ)+一(2rzsinQ)=r3Q3zC3C3CVC=x+y+z=x3y3zddd(3y2-2x)+(x2)+(2z)=0x3y3zVxC=exd_3x3y2一2xeya3yx2ez83z2z=e(2x-6y)z故矢量C可以由一个矢量函数的

20、旋度表示。(2)这些矢量的源分布为V A=0，VxA=0；V B=2rsinQ，VxB=0；V C=0，VxC=e(2x6y)z利用直角坐标，证明V(fA)=fVA+AVf解在直角坐标中fVA+AVf=f(竺+竺+生+(A3f+A3f+A3f)=x3y3zx3xy3yz3zA3f3A3f3A(f+A亍)+(f+A亍)+(f+Axx3x3yy3yddd(fA)+(fA)+-(fA)=V(fA)xx3yy证明V(AxH)=HVxA-AVxH.解根据V算子的微分运算性质，有V(AxH)=V(AxH)+V(AxH)AH式中v表示只对矢量A作微分运算，V表示只对矢量H作微分运算。AH百度文库19oo由a(bxc)=c(axb)，可得V(Ax