第一类换元积分法凑微分学习教案

1、会计学1第一类换元积分法凑微分第一类换元积分法凑微分(wi fn)第一页，共30页。问题问题(wnt)cos2xdx sin2,xC解决解决(jiju)方方法法利用利用(lyng)复合函数，设置中间变复合函数，设置中间变量量.过程过程令令2ux 1,2dxducos2xdx 1cos2udu 1sin2uC.2sin21Cx 2ux du2u dxdx 1cos2udu 第1页/共29页第二页，共30页。凑微法的整个凑微法的整个(zhngg)思想思想cos2xdx (cos22 )xdx 2ux 12(2 )dxxd1sin2uC.2sin21Cx 2ux 1cos2udu ()2dx(2 )

2、2x ddxx 12凑内层函数凑内层函数(hnsh)的微分的微分第2页/共29页第三页，共30页。 ( )( )fxx dx ( )( )fx dx 则有换元公式则有换元公式定理定理(dngl)(dngl)1 1( )f u du ( )F uC ( )FxC ( ) ( )( )( )uxfxx dxf u du 第一类换元公式第一类换元公式(gngsh)（凑微（凑微分法）分法）第3页/共29页第四页，共30页。说明说明(shu(shumng):mng):使用使用(shyng)(shyng)此公式的关键在此公式的关键在于将于将( )f x dx 化为化为 ( )( ).fxx dx 观察重点

3、观察重点(zhngdin)(zhngdin)不同，所得结不同，所得结论形式不同论形式不同. .第4页/共29页第五页，共30页。例例 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 2211222212:sin1 coscos2,sincoscos2,xxxxxx 说明和和相互差一常数故为同一函数的原函数.第5页/共29页第六页，共30页。例例

4、求求5sin5.xdx 解解55sin xdx sinudu cosuC sin(5)5dxx 5ux 5ux cos5xC 第6页/共29页第七页，共30页。 例例 求求132dxx 解解132xxd 原原式式1ln 322xC(132 )32dxx 12第7页/共29页第八页，共30页。例例 求求.de2 xxx解将被积分式中的解将被积分式中的 xdx 因子因子(ynz)凑凑微分，微分，.212xxxdd 则则 2de21de22xxxxxCx 2e21经求导验算经求导验算(yn sun)，.ee2122xxxC 结果结果(ji gu)正确正确 .即即即即第8页/共29页第九页，共30页。

5、例例 求求.dln xxx解解因子因子将被积分式中的将被积分式中的 d1 xx).lnd(d1xxx 凑微分凑微分(wi fn)，即，即则则 xxxdln xx lndln.ln212Cx 第9页/共29页第十页，共30页。 例例 求求.)ln21(1dxxx 解解1(12ln )dxxx)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.)ln21ln(21Cx 因子因子将被积分式中的将被积分式中的 d1 xx凑微分凑微分(wi fn)，即，即).lnd(d1xxx 第10页/共29页第十一页，共30页。2xedx 练练 习习2(2)xedx

6、 1()22xdxdx ()2xd 2 ()2xdxd 22xCe 2 第11页/共29页第十二页，共30页。21.sinxx dx 求求12.12dxx 求求练练 习习第12页/共29页第十三页，共30页。21.sinxx dx 求求解解 原原式式22sin2x dx 221sin2xxd 21cos2Cx 2sinxxxd 答答 案案第13页/共29页第十四页，共30页。12.12dxx 求求解解 原式原式1ln 122xC 11(12 )212dxx 答答 案案第14页/共29页第十五页，共30页。利用利用(lyng)(lyng)三角函数的恒等式三角函数的恒等式. .例例 求求.dtan

7、 xx解解 xxdtan. |cos|lnCx xcosxsinxd xcosxcosd第15页/共29页第十六页，共30页。例例 求求2sincosxxdx 原原式式2sicosnxxxd 2cocossxdx （）31(cos )3xC 解解说明说明(shumng)(),(),( ,),xdx mxdx nxxdx m nmnmn形如 sin为正奇数cos为正奇数sincos中有一个正奇数 形式的积分在计算时 可从奇次幂中取出一个凑微 余下的正偶次变形.第16页/共29页第十七页，共30页。sincos, sinsin解决mxnxdxmxnxdxcoscosmxnxdx 类类型型的的积积分

8、分. . 利用利用(lyng)积化和差公式和凑微法积化和差公式和凑微法很简很简单的几步就可解决此类不定积分单的几步就可解决此类不定积分第17页/共29页第十八页，共30页。积积化化和和差差1sinsincos()cos()2 1sincossin()sin()21cossinsin()sin()21coscoscos()cos()2第18页/共29页第十九页，共30页。例例 求求sin3 cos4xxdx 1(sin7sin )2xx dx 原原式式11sin7sin22xdxxdx解解7711sin14cos2xxxCd 1cos4s2711coxxC 第19页/共29页第二十页，共30页。

9、解解cos3 cos2xxdx 求求1coscoscos()cos(),2ABABAB1cos3 cos2(coscos5 ),2xxxx1cos3 cos2(coscos5 )2xxdxxx dx11sinsin5.210 xxC第20页/共29页第二十一页，共30页。第21页/共29页第二十二页，共30页。例例 求求11xdxe 解解11xdxe 11xxxeedxe (1)1xxedxe 1xxxeedxd 1(1)1xxdxdee ln 1ln(1).xxxeCxeC第22页/共29页第二十三页，共30页。例例 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1(

10、)1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 第23页/共29页第二十四页，共30页。例例 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 第24页/共29页第二十五页，共30页。例例 求求 22dxax(a 0 (a 0 常数常数(chngsh).(chngsh).解解 22dxax )(dxaxax xxaxaxaxaad)()()(21 xaxxaxadd21.ln21Cxaxaa Cxaxaaxaxln21d22 xaxaxaxaa)(d)(d21第25页/共29页第二十六页，共3

11、0页。小结小结(xioji) 用第一换元积分法求不定积分的步骤是：用第一换元积分法求不定积分的步骤是：uufxxxfxxuxuxxxfd )(d)( )( d)( d),( d)( )( . 1，于是有作变量代换，令的形式，若能将被积表达式化为换元.)(d )( )()( )( )( . 2CuFuufufuFuFufu则，使得得易积分的，即如果易求是容，若被积函数为换元后的积分变量是积分.)( )()( . 3CxFxCuFxu的函数，即得答案为积分变量中，还原为原代入已求出的把还原第26页/共29页第二十七页，共30页。上述过程上述过程(guchng)可可表示为：表示为：第27页/共29页第二十八页，共30页。 第一类换元积分法（凑微分