多维随机变量及分布2

1、复习复习联合联合 分布分布函数函数离散型离散型连续型连续型),(),(),(),(,211112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP 联合分布列联合分布列 联合概率密度联合概率密度j ijipyYxXP, 2, 1, jiyyxxj ijipyYxXPyxF,),(yxdudvvufyxF),(),(dxdyyxfGyxPyxfyxyxFG),(),(),(),(2边缘边缘分布分布函数函数离散型离散型连续型连续型 边缘分布列边缘分布列 边缘概率密度边缘概率密度dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(X 与与Y 的联合分布的联合分布,),(yYxXPyxF(X,Y)关于

2、关于X 和和Y 的边缘分布的边缘分布),()(xFxFX),()(yFyFY关于关于X 的的关于关于Y 的的关于关于X 的的关于关于Y 的的, 1ijj iixXPpp, 1iij ijyYPpp yyjYjpxF)( xxiXipxF)(yYdvdxvxfyF),()(xXdudyyufxF),()(复习复习两个常见的二维分布两个常见的二维分布1. 均匀分布均匀分布,0;),(,1),(其它其它GyxSyxfG是平面上的有界区域是平面上的有界区域S为其面积为其面积.2. 正态分布正态分布( (X,Y) )N( ).( ). ,222211二维均匀分布的两个二维均匀分布的两个边缘密度未必是边缘

3、密度未必是均匀分布均匀分布二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布 yx,)()()(2)()1(2122222112112 yyxxe22121),( 1yxf联合分布和边缘分布的关系联合分布和边缘分布的关系: 我们与一维情形相对照，采用类比和转化的手段我们与一维情形相对照，采用类比和转化的手段,介绍了二维随机变量的联合分布、边缘分布介绍了二维随机变量的联合分布、边缘分布.由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.二维随机变量的两个随机变量之间的关系？二维随机变量的两个随机变量之

4、间的关系？ 条件概率条件概率 独立性独立性 在事件在事件B 发生的条件下事件发生的条件下事件A 发生的条件概率发生的条件概率 设有两个随机变量设有两个随机变量X, Y ，这个分布就这个分布就是条件分布是条件分布随机变量随机变量推广到推广到)()()|(BPABPBAP 例如例如, ,考虑某大学的全体学生考虑某大学的全体学生, , 则则X 和和Y 都是随机变量都是随机变量, ,它们都有一它们都有一 定的概率分布定的概率分布.在第一章中，我们介绍了条件概率的概念在第一章中，我们介绍了条件概率的概念体重体重X身高身高Y 从其中随机抽取一个学生，分别以从其中随机抽取一个学生，分别以X 和和Y 表示其表

5、示其 体重和身高体重和身高. 在给定在给定 Y 取某个取某个或某些值的条件下或某些值的条件下, ,求求 X 的概率分布的概率分布.3 二维随机变量的条件分布二维随机变量的条件分布 在这个条件下去求在这个条件下去求X 的的条件分布条件分布. 容易想象容易想象, , 这个分布与不加这这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样个条件时的分布会很不一样:在条件分布中体重取大值的概率会显著增加在条件分布中体重取大值的概率会显著增加 现在若限制现在若限制1.7Y 0， 有放回地连续摸有放回地连续摸两次两次, , 11ppj 解解 依题意有依题意有例例1(P(P9898 例例5 5续续) ) 一袋中装有两只白

6、球一袋中装有两只白球,三只红球三只红球,所以所以X 和和Y 的联合分布列的联合分布列 试求条件试求条件X=1下随机变量下随机变量Y 的及的及Y=0下下 X 的的条件分布条件分布.;2595353)0, 0(YXP设随机变量设随机变量 .,0, 1第第一一次次摸摸出出红红球球第第一一次次摸摸出出白白球球；X ., 0, 1第第二二次次摸摸出出红红球球；第第二二次次摸摸出出白白球球Y;2545252)1,1(YXP X Y 0 1 0 1 9/25 6/25 6/25 4/25p jpi 3/5 2/53/52/5)1(XjYP.5/30ip ;5/21jp 及边缘分布列为及边缘分布列为 00)0

7、(ppYiXPiY| |X=1 0 1 pk 3/5 2/5条件条件X=1下的下的条件分布列为条件分布列为 先求先求联合联合分布列分布列和边缘分布列和边缘分布列.2565352)1,0()0,1(YXPYXP 求二维离散型随机变量的条件分布列求二维离散型随机变量的条件分布列, , 需知需知边缘分布边缘分布和和联合分布联合分布.如何求条件分布函数？如何求条件分布函数？ij iijppxXyYP)|(jj ijippyYxXP)|(X 、Y 的的条件分布列分别为条件分布列分别为: 在已知在已知 Y = yj 下下, , X 的的条件分布函数为条件分布函数为: 在已知在已知 X = xi 下下, ,

8、Y 的条件分布函数为的条件分布函数为:|)|(|ijYXyYxXPyxFyyj iiiXYjppxyF1)|(|jixxyYxXPi,jjiyYPyYxXPxxj ijipp1类条概公式类条概公式 设设( (X,Y) )的分布函数为的分布函数为 F(x, y), 概率密度为概率密度为 f (x, y), 由于由于 x, y, P X=x =0, ,P Y=y =0, ,所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，类似地类似地,条件条件 X = x 下下Y 的条件分布函数为的条件分布函数为 定义定义2 若极限若极限连连续续，若若),(yxf;)(),()|(|

9、yfyxfyxfYYX则则条件条件Y = y 下下X 的的条件密度条件密度为为二、连续型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布 设设( (X,Y) )是是二维连续型随机变量二维连续型随机变量, ,)(),()|( yYyPyYyxXPyYyxXP 下面我们用极限工具下面我们用极限工具给出条件概率密度的定义给出条件概率密度的定义: 00lim lim 存在，存在， 则称它为则称它为条件条件Y = y下下 X 的条件分布函数的条件分布函数，则其边缘密度函数则其边缘密度函数 fX (x), fY (y) 也也连续，连续， )(),(lim)|(0| yYyPyYyxXPyxFYX)()(yF

10、yFYY ),(),(yxFyxF )(),(yFyxFYy )(),(yfudyufYx.)(),()|(|xfyxfxyfXXY，)(),()|(|xfvdvxfyxFXyXY条件条件 X = x 下下Y 的的条件密度条件密度为为记为记为 FX| |Y( (x| |y) ). . / / )()|(),(|yfyxfyxfYYX)()|(|xfxyfXXY)()|()()|(|yfxyfxfyxfYXYXYX 解解例例2(P99(P99例例8) 8) 设设( (X,Y) )的概率密度为的概率密度为. )|()|(|xyfyxfXYYX和和 .,0,10,6),(2他他其其xxyxyxf同理

11、同理, , 求条件概率密度求条件概率密度 ., 0;,6其他其他yxydxyy由类条概公式，由类条概公式， ,0)( yfY当当 y 0 和和 y 1 时，时， 0 xy ; 2xyx dyyxfxfX),()(y = x y = x2 yx 应先求两个边缘密度应先求两个边缘密度 fX (x), fY (y)： ， xxdy26.,0他他其其, )(62xx dxyxfyfY),()(, )(6yy )(),()|(|yfyxfyxfYYX. ,0;,1)|(2|其其他他xyxyyyxfYX不存在不存在, 当当 0 y 1 时，时， 同理同理, , ,0)(xfX当当 x 0 和和 x 1 时

12、，时， )(),()|(|xfyxfxyfXXY. ,0;,1)|(2|其其他他yxyxxxyfXY当当 0 x1) ) .)|()(),(|xyfxfyxfXYX ,lny dxyxfyfY),()(解解 ( (1) )0， 其他其他.( (2) ) 在在 X=x ( (0 x1) )已知边缘密度和条件密度已知边缘密度和条件密度0 xyy = x y = 1 - - x ., 0,212222他他其其yRxyRdyyxfxfX),()()(),()|(|xfyxfxyfXXY2222)2(1xRRR ,2122xR ,0;,1),(2222其其它它RyxRyxf 例例4 设设( (X,Y )

13、 )服从圆域服从圆域 x 2 + + y 2 = R2 上的均匀分布，上的均匀分布，求求 及及 )|(|yxfYX).|(|xyfXY 222221xRxRdyR RxRxxRR|,0;|,2222 RyRyyRRyfY|,0;|,2)(222 解解 ( (X,Y) ) 关于关于X 的边缘密度的边缘密度为为 其其他他，,0;,212222xRyxRX 已知下已知下Y 的条件密度的条件密度是是 y 的取值范围的取值范围 X 作为已知变量作为已知变量 )(yxfYX( (X, ,Y ) )的联合分布服从均匀分布的联合分布服从均匀分布 边缘分布服从均匀分布边缘分布服从均匀分布 条件分布仍为均匀分布条

14、件分布仍为均匀分布如如y =0 时的图形为时的图形为- -R 0 0 R xfXY(x| y)恰为恰为 y 取值区间的长度取值区间的长度都服从均匀分布都服从均匀分布恰为恰为 x 取值区间的长度取值区间的长度 当当| x | R 时时, ,当当| x | R 时时, , 1/21/2R。 。 21122222 )()1(21 xye22121)( xyfXY 我们知道我们知道, ,二维联合正态分布的两个边缘密度仍是正态分布二维联合正态分布的两个边缘密度仍是正态分布 可以证明可以证明: 对二维正态分布对二维正态分布, ,已知已知 X= x下下Y 的条件分布的条件分布, ,和已和已知知Y= y下下X

15、 的条件分布的条件分布, ,都仍是正态分布都仍是正态分布.例例5(P101(P101例例10) 10) 设设, );,;,(),(222211 NYX求条件密度函数求条件密度函数解解 ( (X,Y) )的联合分布函数为的联合分布函数为 ( (X,Y ) )关于关于X 的边缘密度函数为的边缘密度函数为xexfxX,21)(21212)(1 条件条件X= x下下Y 的的条件分布条件分布为为 是正态分布是正态分布 N( ( ) ),(1122 x)1(222 条件条件Y = y下下X 的条件分布仍是正态分布的条件分布仍是正态分布) )1(),(2212211 yN. )|(|xyfXYyx,)()(

16、)(2)()1(2122222112112 yyxxe22121),( 1yxfx小结小结 二维均匀分布的两个二维均匀分布的两个边缘密度未必是边缘密度未必是均匀分布均匀分布二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布 条件分布仍为条件分布仍为均匀或正态分布均匀或正态分布二维随机变量的条件分布二维随机变量的条件分布离散型离散型连续型连续型,|jj ijippyYxXPij iijppxXyYP|yyj iiiXYjppxyF1)|(|,1)(xxj ijjYXippyxF)(),()|(,)(),()|(|xfyxfxyfyfyxfyxfXXYYYX )()|()

17、()|(),(|xfxyfyfyxfyxfXXYYYXvdvxfxfxyFduyufyfyxFyXXYxYYX),()(1)(,),()(1)()(),(yFyxFYy )(),(xFyxFXx 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念则称则称X , ,Y 相互相互独立独立 .4 随机变量的独立性随机变量的独立性 两事件两事件A, ,B 相互独立相互独立也可用也可用分布函数分布函数给出等价形式给出等价形式, 即即)()(),(yFxFyxFYX 设设 X,Y是两个随机变量是两个随机变量, ,若对任意的若对任意的x, y, 有有则称则称X与与Y 相互相互独

18、立独立 . 它表明它表明, ,两个随机变量两个随机变量相互相互独立时独立时, ,它们的它们的联合分布函数联合分布函数等于等于两个边缘分布函数两个边缘分布函数的乘积的乘积 . .独立性在独立性在分布列分布列和和概率密度概率密度这两个平行概念上的反应这两个平行概念上的反应?定义定义1(P102(P102 定义定义7) 7) 一、二维随机变量的独立性一、二维随机变量的独立性若若P(AB)=P(A)P(B), ,则称事件则称事件A , ,B相互独立相互独立 .随机变量随机变量推广到推广到若二维随机变量若二维随机变量( (X, ,Y) )对任意的对任意的x, ,y, ,有有)()(),(yYPxXPyY

19、xXP P103 P103 例例1111请自读请自读 ij ijijj ijippxXyYPppyYxXP,),()()(),(NjiyYPxXPyYxXPjiji X与与Y 相互相互独立独立充分必要条件充分必要条件:jij ippp 1. 若若( (X, ,Y) )为离散型为离散型随机变量随机变量),()()(),(yxyfxfyxfYX对对任任意意实实数数 X与与Y 相互独立相互独立充分必要条件：充分必要条件：)()|(),(|yfyxfyxfYYX)()|(|xfxyfXXY),()()(),()(RyxyfxyfxfyxfYXYXYX|ijijijj ixXyYPpyYxXPpp连续型

20、随机变量的连续型随机变量的联合密度联合密度等于其等于其边缘密度边缘密度的乘积的乘积任 一 变 量 的任 一 变 量 的 条 件 密 度条 件 密 度 等 于 其等 于 其 边 缘 密 度边 缘 密 度任 一 变 量 的任 一 变 量 的 条 件 分 布 列条 件 分 布 列 等 于 其等 于 其 边 缘 分 布 列边 缘 分 布 列jijijipxXyYPpyYxXP)|(,)|(2. 若若( (X, ,Y) )为连续为连续随机变量随机变量离散型随机变量的离散型随机变量的联合分布列联合分布列等于其等于其边缘分布列边缘分布列的乘积的乘积无无 条条 件件P103 P103 定理定理2 2P104

21、P104 定理定理3 3证证 vdudvfufyYXx )()(证证( (P104P104) )“”：“”： 若若 X 与与 Y 相互相互独立，独立， 则则)()(),(yFxFyxFYX dvvfduufyYxX )()(),()()(),(yxyfxfyxfYX对对任任意意实实数数),()()(),(yxyfxfyxfYX对对任任意意实实数数若若 则则vdudvufyxFyx ),(),(vdudvfufyYXx )()(dvvfduufyYxX )()(, )()(yFxFYX 所以所以 X 与与 Y 相互相互独立独立 . 对对 F( (x, ,y) )求二阶混合偏导即得联合密度求二阶混

22、合偏导即得联合密度 小结小结,yYPxXPyYxXP 概概率率分布分布函数函数)()(),(yFxFyxFYX联合联合 与与边缘边缘jij ippp)()(),(yfxfyxfYX条件条件 与与边缘边缘jijijipxXyYPpyYxXP |,|)()(),()(yfxyfxfyxfYXYXYX 离散型离散型连续型连续型 离散型离散型连续型连续型X 1 2 3 1/31/6 a 1/ 9 b1/18 Y12jpip试确定常数试确定常数 a 与与 b , ,使使X与与Y相互独立相互独立. 先求先求( (X,Y) )关于关于X, ,Y 的边缘分布列的边缘分布列:解解 例例1 已知随机变量已知随机变

23、量( (X,Y) )的联合分布列为的联合分布列为X1 2 3 1/31/6 a 1/9 b1/18 Y12 1/3 + a + b1/31/2 1/ 9 + a 1/18 + b要使要使X与与Y 相互独立相互独立, 只需只需jij ippp)2()2()2, 2(YPXPYXP)2()3()2, 3(YPXPYXP,31)181(181,31)91(91ba.91,92ba2/ 9 1/ 9 P105 P105 例例12 12 请自读请自读 设随机变量设随机变量( (X,Y ) )在区域在区域 G上服从均匀分布上服从均匀分布, ,1,0,0所所围围区区域域是是由由 yxyxG解解例例2(P(P

24、106 例例13) )判定判定 X 与与 Y 是否独立是否独立. 0 1 xy1由条件知由条件知,(,(X,Y) )的联合密度为的联合密度为 ., 0,),(,2),(其他其他Gyxyxfx+y=1 ., 0;10,)1( 2)(其他其他xxxfX ., 0;10,)1( 2)(其他其他yyyfY, )()(),(yfxfyxfYX 显然，显然， 所以所以 X 与与 Y 不独立不独立 . 设随机变量设随机变量( (X,Y ) )在矩形区域在矩形区域 10, 20),(yxyxG上服从均匀分布上服从均匀分布,试求试求 ( (U,V ) )的联合分布列的联合分布列,解解例例3, 0, 1YXYXU

25、,2, 0,2, 1YXYXV若随机变量若随机变量并判定并判定U 与与V 是否独立是否独立. 0 1 2 xy1G由条件知由条件知,(,(X,Y) )的联合密度为的联合密度为., 0,),(,21),(其他其他Gyxyxf)0, 0(VUP)(YXPyxdydxyxf),(离散型离散型, 有有4 对取值对取值转化转化)1, 0(VUP)2,(YXYXP)2,(YXYXP)2,()0, 1(YXYXPVUP)2(YXYP)1, 1(VUP,0 x = 2yy=xX 0 1 1/4 0 Y011/41/2 jpip1/4 3/4 1/21/2 4100p81214100pp10 xd,41121x

26、yd 2/1021yyxdyd,41041411.21所以所以U 与与V 不独立不独立., )()(),(yFxFyxFYX 以以 X,Y 分别表示两个部分别表示两个部件的寿命件的寿命( (单位单位: :小时小时),),( (1) )问问X 和和Y 是否相互独立？是否相互独立？解解 ( (1) ) ),(lim),()(yxFxFxFyX, )()(),(yFxFyxFYX 例例4 一电子产品由两个部件构成一电子产品由两个部件构成 ,., 0, 0,0,1),()(5 . 05 . 05 . 0其其他他yxeeeyxFyxyx已知已知 X,Y 的联合分布为的联合分布为 ( (2) )求两部件的

27、寿命超过求两部件的寿命超过 0.1 小时的概率小时的概率. .)1 .0, 1 .0(YXP( (2) ) .,0,0,1),()(5. 0其其他他yeyFyFyY故故 X,Y 相互独立相互独立.1.0 e)1. 0,1. 0(YXP)1 . 0, 1 . 0(),1. 0()1. 0,(),(FFFF)1()1()1(11. 005. 005. 005.005.0eeeee .,0,0,15 . 0其其他他xex证证 例例5 (P107(P107 例例15)15)试证试证: X 与与Y 相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是 =0 .设二维随机变量设二维随机变量( (X,Y) )N( ).

28、( ). ,222211 ( (X,Y) )的联合概率密度为的联合概率密度为)()()(2)()1(212222222112112121),( yyxxeyxf1其边缘概率密度分别为其边缘概率密度分别为 xexfxX,21)(21212)(1 yeyfyY,21)(22222)(2 0 0 0 若若 = 0,“”:“”:若若X 和和Y 相互独立相互独立 , )()(),(yfxfyxfYX 故故 X 和和Y 相互独立相互独立 ., )()(),(yfxfyxfYX = 0 .令令 x= 1 , y= 2 , , )()(),(2121 YXfff 2222121121 11 则则X, Y 的密

29、度函数的密度函数分别为分别为:121121yx121,97,128),( yxyxyxG 设他俩到达的设他俩到达的 时间是独立的，时间是独立的， 解解 设设X,Y 分别为经理和秘书到达办公室的时刻分别为经理和秘书到达办公室的时刻, 某经理到达办公室的时间均匀分布在某经理到达办公室的时间均匀分布在812时之间时之间, ,例例6(P106(P106 例例14)14)他的秘书到达办公室的时间均匀分布在他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时之间时之间. 求他俩到达办公室的时间相差不超过求他俩到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率分钟的概率.,0,128,41)(其它其它xxfX.,0,97,21)(

30、其它其它yyfY由于由于X, Y 相互独立相互独立,依题意所求概率为依题意所求概率为)121| ( yxP 0 xy978 12Gx - - y = - -1/12x - - y =1/12.,0,97,128,81),(其它其它yxyxfGx - - y = - -1/12x - - y =1/12BAC CBCBAABCGSSS dxdyyxfyxPG),()121| (ydxd81GS81.841被积函数为常数被积函数为常数直接求面积直接求面积.61)1211(21)1213(2122先到的人等待另一人到达的先到的人等待另一人到达的时间不超过时间不超过5分钟的概率分钟的概率类似的问题如：

31、类似的问题如： 试求其中一艘船要等待码头空出试求其中一艘船要等待码头空出的概率的概率. 甲、乙两船同日欲靠同一码头，甲、乙两船同日欲靠同一码头， 设两船各自独立设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 .若甲船需停泊若甲船需停泊1小时，乙船需停泊小时，乙船需停泊2小时，而该码头小时，而该码头只能停泊一艘船，只能停泊一艘船，若收到两个相互独立的这种若收到两个相互独立的这种信号的时间间隔小于信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰秒，则信号将产生互相干扰. 求它们可以构成三角形的概率求它们可以构成三角形的概率. 在某一分钟的任何时刻

32、，在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的信号进入收音机是等可能的.求发生两信号互相干扰的概率求发生两信号互相干扰的概率.把长度为把长度为a的线段在任意两点折断成为三线段，的线段在任意两点折断成为三线段，长度为长度为 a 我们由两个事件相互独立的概念引入两个我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念随机变量相互独立的概念, , 给出了两种情况下给出了两种情况下随机变量独立的条件随机变量独立的条件, ,希望同学们牢固掌握希望同学们牢固掌握 . 如果两个随机变量不独立，讨论它们的如果两个随机变量不独立，讨论它们的关系时，除了前面介绍的联合分布和边缘分关系时，除了前面介绍的联合

33、分布和边缘分布外，常常需要利用条件分布的概念布外，常常需要利用条件分布的概念 . .2. 两个两个多多维随机变量之间的独立性维随机变量之间的独立性定义定义2 设有设有n 维随机变量维随机变量( (X1, X2, , Xn), ), 若对若对 x1, x2, , xn R , 随机变量随机变量 X1, X2, , Xn 相互独立相互独立 )()()(),(212121nXXXnxFxFxFxxxFn 采用类比的方法采用类比的方法, 随机变量独立性的概随机变量独立性的概念可以推广到两个以上随机变量的情形念可以推广到两个以上随机变量的情形)()(),(11iiiinnxXPxXPxXxXP 模仿二维

34、随机变量模仿二维随机变量, ,不难写出其它几个关于独立性的等价描述不难写出其它几个关于独立性的等价描述: :二、二、n 维随机变量的独立性维随机变量的独立性则称随机变量则称随机变量 X1, X2, , Xn 相互独立相互独立.若若( (X1, X2, , Xn) )的联合分布函数为的联合分布函数为F F( (x1, x2, , xn),),分布分布函数函数),(,),(),(2121nXXXxFxFxFn其边缘分布函数分别为其边缘分布函数分别为 P P108108 定理定理4 概率概率 联合联合与与边缘边缘有有 )()()(),(212121nXXXnxfxfxfxxxfn )()(),(11

35、11nnnnxXPxXPxXxXP P P108108 定义定义8 8 P P109109 定理定理5 离散型离散型连续型连续型1. n 个随机变量之间的独立性个随机变量之间的独立性 则则 10 常数常数C 与任一随机变量独立；与任一随机变量独立； 20 n 个独立随机变量中的任意个独立随机变量中的任意 k 个个 Xn1, Xn2, , Xnk 仍独立；仍独立； 30 n 个独立随机变量的连续函数个独立随机变量的连续函数 g1( x1), gn( xn) 仍独立仍独立. P P109 Th6 P P109 Th7 例如：例如： X1, X2, , Xn X12, eX2, , lnXn相互独立相