空间向量的正交分解及其坐标表示、坐标运算

1、,p,xypxayb.a ba b 如果两个向量不共线，则向量 与向量共面的充要条件是存在实数对 ， ，使共线向量定理共线向量定理:复习：复习：共面向量定理共面向量定理:0/ /a.a b babb 对空间任意两个向量 、 （），的充要条件是存在实数 ，使 1211212212e eaaee .e e 如果 ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使 （ 、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.）平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示xyoaijaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ijyxa,问题

2、：问题： 我们知道，平面内的任意一个向量我们知道，平面内的任意一个向量 都可以都可以用两个不共线的向量用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定来表示（平面向量基本定理）理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？, a b p xyzOijkQPp 一、空间向量的坐标分解一、空间向量的坐标分解 给定一个空间坐标系和向量给定一个空间坐标系和向量 且设且设 为空间两两垂直的向为空间两两垂直的向量，设点量，设点Q为点为点P在在 所确定平所确定平面上的正投影面上的正投影p ,ij k , i j 由平面向量基本定理有由平面向量基本定理有一、空间向量的坐标

3、分解一、空间向量的坐标分解,zkOQ实数存在所确定的平面上在, ,i jx y 在所确定的平面上 存在实数jyi xOQ使得kzOQOP使得kzjyi xkzOQOPxyzQPp Oijk 由此可知由此可知,如果如果 是空间两两垂直的向量是空间两两垂直的向量,那么那么,对空间任一对空间任一向量向量 , 存在一个有序实数组存在一个有序实数组 x,y,z使得使得 我们称我们称 为向量为向量 在在 上的分向量上的分向量., ,i j k P .pxiy jzk ,xi y j zk, ,i j k p 空间向量基本定理：空间向量基本定理：都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c , , , ,. ,

4、 , .a b cP Pxaybzc x y zRa b ca b c 如果三个向量 , ,不共面,那么所有空间向量组 成的集合就是这个 集合可以看做是由向量生成的故叫做空间的一个基底注注: 如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在有序实数组x,y,z使, ,a b c P .pxaybzc 探究：探究：在空间中在空间中,如果用任意三个不共面向量如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量代替两两垂直的向量 ,你能得出类似的你能得出类似的 结论吗？结论吗？, ,a b c , ,i j k （1）任意不共面的三个向量都可做为空间）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底的一个基底.特

5、别提示：特别提示：对于基底对于基底a,b,c,除了应知道除了应知道a,b,c不共面，还应明确：不共面，还应明确：（2 ） 由于可视由于可视 为与任意一个非零向量共线为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共所以三个向量不共面面,就隐含着它们都不是就隐含着它们都不是 .00（3）一个基底是指一个向量组）一个基底是指一个向量组,一个基向量一个基向量是指基底中的某一个向量是指基底中的某一个向量,二者是相关连的不二者是相关连的不同概念同概念. 二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向

6、量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做基底叫做单位正交基底单位正交基底,常用常用e1 , e2 , e3 表示表示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和一和一个单位正交基底个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点以点O为原点，分别为原点，分别以以e1,e2,e3的方向为的方向为x轴、轴、y轴、轴、z轴的正方向，轴的正方向，建立一个空间直角坐标系建立一个空间直角坐标系O-xyzxyze1e2e3O121323112233,.e e e e eee e ee ee 计算单位正交基之间的数量积 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz

7、中，对空间任一向中，对空间任一向量量 ,平移使其起点与原点平移使其起点与原点o重合重合,得到向量得到向量OP=p由空间向量基本定理可知由空间向量基本定理可知,存在有序实数组存在有序实数组x,y,z使使 p =xe1+ye2+ze3xyzOP(x,y,z)e1e2e3P 123, , , , .x y zPe e ePx y z 叫做向量 在单位正交基底下的坐标 记做 此时向量此时向量P的坐标恰是点的坐标恰是点P在在直角坐标系直角坐标系oxyz中的坐标中的坐标(x,y,z)，其中，其中x叫做点叫做点P的横坐的横坐标，标，y叫做点叫做点P的纵坐标，的纵坐标，z叫叫做点做点P的竖坐标的竖坐标. 在空

8、间直角坐标系在空间直角坐标系O x y z 中，对空间任一点中，对空间任一点P, 对应一个向量对应一个向量 ,于是存在唯一的有序实数组于是存在唯一的有序实数组 x, y, z,使使 (如图如图).OP 123OPxeyeze 显然显然, 向量向量 的坐标，就是点的坐标，就是点P在此空间直角坐在此空间直角坐标系中的坐标标系中的坐标(x,y,z).OP xyzOP(x,y,z) 也就是说也就是说,以以O为起点的有向为起点的有向线段线段 (向量向量)的坐标可以和终点的的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系坐标建立起一一对应的关系,从而从而互相转化互相转化. 我们说我们说,点点P的坐标为的坐标为(

9、x,y,z),记作记作P(x,y,z)，其中，其中x叫叫做点做点P的的横坐标横坐标,y叫做点叫做点P的的纵坐标纵坐标,z叫做点叫做点P的的竖坐标竖坐标.e1e2e3 空间向量坐标运算法则，关键是注意空空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。坐标。AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1).思考：设思考：设A(x

10、1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则则AB的坐标表示是什么？的坐标表示是什么？_AM _OB1 _PQ 练习练习1 1 如图在边长为如图在边长为2 2的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，取中，取D D点点 为原点建立空间直角坐标系，为原点建立空间直角坐标系，O O、M M、P P、Q Q分别是分别是 ACAC、DDDD1 1、CCCC1 1、A A1 1B B1 1的中点，写出下列向量的坐标的中点，写出下列向量的坐标. .z zx xy yA AB BC CD DA A1 1B B1C C1D D1O OM MPQ Q;ab/;.a

11、b;a b;a;ab;ab三、向量的直角坐标运算三、向量的直角坐标运算112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()ab ab abR112222/ababab1 122330a ba ba b则设),(),(321321bbbbaaaaYXZABCD1A1B1C1DEF例例2 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1 中中 E、F分别是分别是 BB1 、CD 的中点的中点 ，求证：求证：D1F 平面平面ADE例例1 1 已知已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),a=(2,-3,5),

12、b=(-3,1,-4),求求a+b,a-b,8a,a+b,a-b,8a,a b a b 四、距离与夹角四、距离与夹角2222123| aa aaaa2222123| | bb bbbb1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。线的长度。|ABABABAB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B

13、xyz（2 2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb（2 2）、两个向量夹角公式）、两个向量夹角公式注意：注意：（1 1）当）当 时，同向；时，同向；（2 2）当）当 时，反向；时，反向；（3 3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab思考：当思考：当 及及 时，夹角在什么范围内？时，夹角在什么范围内？0 cos,1 a b,1 cos0 a b练习一：练习一：1.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：(1)(2,3,3),(1,0,0) ;ab(2)( 1,1,1),( 1,0,1) ; ab2.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：(1)(1,1,0) ,(1,1,1) ;AB(2