学业分层测评32 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式

1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.利用数学归纳法证明不等式“n2<2n对于nn0的正整数n都成立 ”时，n0应取值为()A.1B.3C.5D.7【解析】12<21,2222,32>23,4224,52<25，利用数学归纳法验证n5，故n0的值为 5.【答案】C2.对于不等式<n1(nN)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，<11, 不等式成立.(2)假设当nk(kN)时，不等式成立，即<k1，则当nk1时，<(k1)1，当nk1时，不等式成立，则上述证法()A.过程全部正确B.n1验得不正确C.归纳假设不正确

2、D.从nk到nk1的推理不正确【解析】在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法.【答案】D3.设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述记录，可推测出一般结论()A.f(2n)>B.f(n2)C.f(2n)D.以上都不对【解析】f(2)；f(4)>2，即f(22)>；f(8)>，即f(23)>；f(16)>3，即f(24)>；f(32)>，即f(25)>.故猜想f(2n)>.【答案】C4.设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：

3、当“f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”.那么下列命题总成立的是()A.若f(3)9成立，则当k1，均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立，则当k5，均有f(k)k2成立C.若f(7)49成立，则当k8，均有f(k)k2成立D.若f(4)25成立，则当k4，均有f(k)k2成立【解析】由题意，设f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立.”因此，对于A，不一定有k1,2时成立.对于B，C显然错误.对于D，f(4)2542，因此对于任意的k4，有f(k)k2成立.【答案】D5.对于正整数n，下列说法不正确的是()A.3n12nB.0.9n10.1

4、nC.0.9n10.1nD.0.1n10.9n【解析】由贝努利不等式(1x)n1nx(x1，nN)，当x2时，(12)n12n，A正确.当x0.1时，(10.1)n10.1n，B正确，C不正确.当x0.9时，(10.9)n10.9n，因此D正确.【答案】C二、填空题6.观察式子：1<，1<，1<，则可归纳出_. 【导学号：38000062】【答案】1<(n2，nN)7.若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_.【解析】f(k)122232(2k)2，f(k1)122232(2k)2(2k1)2(2k2)2，f(k1)f(k)(2k1)2(

5、2k2)2.【答案】f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)28.在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为_.【解析】由a1，且Snn(2n1)an，得a2，a3，a4.由1×3,3×5,5×7,7×9，可得an.【答案】an三、解答题9.已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn10(n2).(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：SSS.【解】(1)S1a1，2.当n2时，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.2.故是以2为首项，2为公差的等差数列.(2)证明：当n1时，S

6、，不等式成立.假设nk(k1，且kN)时，不等式成立，即SSS成立，则当nk1时，SSSS·<·.即当nk1时，不等式成立.由可知，对任意nN不等式成立.10.已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，且an1f(an1)，证明：an2n1(nN).【证明】由f(x)x3x，得f(x)x21.因此an1f(an1)(an1)21an(an2).(1)当n1时，a11211，不等式成立.(2)假设当nk(k1，且kN)时，不等式成立，即ak2k1.当nk1时，ak1ak(ak2)(2k1)(2k12)22k1.又k1，22k2k1，nk1时，ak12k11，即不

7、等式成立.根据(1)和(2)知，对任意nN，an2n1成立.能力提升1.利用数学归纳法证明不等式1f(n)(n2，nN)的过程，由nk到nk1时，左边增加了()A.1项B.k项C.2k1项D.2k项【解析】1，共增加2k项.【答案】D2.若不等式对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()A.12B.13C.14D.不存在【解析】令f(n)，易知f(n)是单调递增的.f(n)的最小值为f(2).依题意，m14.因此取m13.【答案】B3.设a，b均为正数，n为正整数，已知M(ab)n，Nannan1b，则M，N的大小关系为_.【解析】由贝努利不等式(1x)n1nx，令x，n1n·，n1n·，即(ab)nannan1b.故MN.【答案】MN4.求证：当n1(nN)时，(12n)1n2. 【导学号：38000063】【证明】(1)当n1时，左边右边，命题成立.当n2时，左边(12)>22，命题成立.(2)假设当nk(kN，且k2)时，命题成立，即(12k)k2，则当nk1时，有左边(1