第5章 随机变量及分布函数1

1、第一节第一节 随机变量的概念随机变量的概念n基本思想基本思想将样本空间数量化将样本空间数量化, ,即用数值来表示试验的结果即用数值来表示试验的结果n 有些随机试验的结果可直接用数值来表示有些随机试验的结果可直接用数值来表示. .例如例如: 在掷骰子试验中在掷骰子试验中,结果可用结果可用1,2,3,4,5,6来表示来表示 例如例如: 掷硬币试验掷硬币试验,其结果是用汉字其结果是用汉字“正面正面”和和“反面反面”来表来表示的示的可规定可规定: 用用 1表示表示 “正面朝上正面朝上” 用用 0 表示表示“反面朝上反面朝上”n 有些随机试验的结果不是用数量来表示，有些随机试验的结果不是用数量来表示，

2、但可数量化但可数量化 在前面的学习中在前面的学习中, ,我们用字母我们用字母A A、B B、C.C.表表示事件，并视之为样本空间示事件，并视之为样本空间的子集；针对等的子集；针对等可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。件的概率。 本章，将用随机变量表示随机事件，以便本章，将用随机变量表示随机事件，以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象。采用高等数学的方法描述、研究随机现象。随机变量及其分布随机变量及其分布Random Variable and Distribution随机变量随机变量n基本思想基本思想将样本空间数量化将样本空间数量化, ,即

3、用数值来表示试验的结果即用数值来表示试验的结果n 有些随机试验的结果可直接用数值来表示有些随机试验的结果可直接用数值来表示. .例如例如: 在掷骰子试验中在掷骰子试验中,结果可用结果可用1,2,3,4,5,6来表示来表示 例如例如: 掷硬币试验掷硬币试验,其结果是用汉字其结果是用汉字“正面正面”和和“反面反面”来表来表示的示的可规定可规定: 用用 1表示表示 “正面朝上正面朝上” 用用 0 表示表示“反面朝上反面朝上”Random Variablen 有些随机试验的结果不是用数量来表示，有些随机试验的结果不是用数量来表示， 但可数量化但可数量化 设箱中有设箱中有1010个球，其中有个球，其中有

4、2 2个红球，个红球，8 8个白个白 球；从中任意抽取球；从中任意抽取2 2个个, ,观察抽球结果。观察抽球结果。 特点特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了试验结果数量化了，试验结果与数建立了 对应关系对应关系X X表示取得的红球数表示取得的红球数可记为可记为 XX=2=2 记为记为记为记为 试验结果的数量化试验结果的数量化随机变量的定义随机变量的定义 1) 它是一个变量它是一个变量 2) 它的取值随试验结果而改变它的取值随试验结果而改变 3）随机变量在某一范围内取值，表示一个）随机变量在某一范围内取值，表示一个 随机事件随机事件n 随机变量随机变量n 随机变量的两个特征随机变量的两个特

5、征: :设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为 S S，如果对于每一，如果对于每一个样本点个样本点 ，均有唯一的实数，均有唯一的实数 与与之对应，称之对应，称 为样本空间为样本空间上的随机变量。上的随机变量。Se Se )( 某个灯泡的使用寿命某个灯泡的使用寿命 。 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.Y. 在在00，11区间上随机取点，该点的坐标区间上随机取点，该点的坐标X.X. 的可能取值为的可能取值为 0,+0,+ ) )Y Y 的可能取值为的可能取值为 0 0，1 1，2 2，3 3，.,.,X X 的可能取值为的可能取值为 00，11上的全体

6、实数。上的全体实数。随机变量的实例随机变量的实例 用随机变量表示事件用随机变量表示事件n 若若 是随机试验是随机试验E E的一个随机变量，的一个随机变量，S SRR，那么那么 XS S可表示可表示E E中的事件中的事件 如在掷骰子试验中，用如在掷骰子试验中，用 表示出现的点数表示出现的点数, ,则则 “ “出现偶数点出现偶数点”可表示为：可表示为： “出现的点数小于出现的点数小于”可表示为：可表示为：n E中的事件通常都可以用中的事件通常都可以用X的不同取值来表示的不同取值来表示. 642 4 随机变量的类型随机变量的类型n 离散型离散型n 非离散型非离散型随机变量的所有取值是有限个或可列个随

7、机变量的所有取值是有限个或可列个随即变量的取值有无穷多个，且不可列随即变量的取值有无穷多个，且不可列其中连续型随机变量是一种重要类型其中连续型随机变量是一种重要类型离散随机变量的概率分布离散随机变量的概率分布 称此式为称此式为 的的分布律（列）分布律（列）或或概率分布概率分布（Probability distribution) 设离散型随机变量设离散型随机变量 的所有可能取值是的所有可能取值是 ，而，而取值取值 的概率为的概率为12,nx xxkxkp即即 ), 2 , 1(, )( kxPpkk 离散随机变量的概率分布的性质离散随机变量的概率分布的性质1(ii), 2 , 1(,0)(i)1

8、 kkkkpkxPp 例例 设设X的分布律为的分布律为求求 P(0X2)P(0X2)=P(X=1) + P(X=2) =1/2+1/6=2/3分布律确定概率分布律确定概率解解 =P(抽得的两件全为次品抽得的两件全为次品)求分布律举例求分布律举例 例例1 1 设有一批产品设有一批产品2020件，其中有件，其中有3 3件次品，从中件次品，从中任意抽取任意抽取2 2件，如果用件，如果用X X表示取得的次品数，求随机变表示取得的次品数，求随机变量量X X的分布律及事件的分布律及事件“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”的概率。的概率。解解X的可能取值为的可能取值为 0，1，2=P(抽得的两件全为正品抽得

9、的两件全为正品)190136220217 CCPX=1PX=21131722051190C CC 232203190CC =P(只有一件为次品只有一件为次品)PX=0故故 X X的分布律为的分布律为kp190136190511903而而“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”=X1X1 = = X=1X=1 X=2X=2P P X1X1 = P= P X=1X=1 +P+P X=2X=2 注意：注意： X=1X=1 与与 X=2X=2 是互不相容的是互不相容的！952719054190319051 实际上，这仍是实际上，这仍是古典古典概型的计算题，只是表达事概型的计算题，只是表达事件的方式变了件的

10、方式变了故故 从一批次品率为从一批次品率为p p的产品中，有放回抽样直到抽的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X X的分布的分布律。律。 解解 记记A Ai i= =“第第i i次次取到正品取到正品”,i=1,2,3,i=1,2,3, 则则 A Ai i , , i=1,2,3,i=1,2,3, 是相互独立的！是相互独立的！ 且且X X的的所有所有可能取值为可能取值为 )(121kkAAAAP( ( X=k )X=k )对应着事件对应着事件 kkAAAA121例例设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为2( ) ,1,2,3,

11、3kP Xkbk试确定常数试确定常数b.解解由分布律的性质由分布律的性质,有有11223()()2313kkkbP Xkb例例232113bb1.2b 几种常见的离散型分布几种常见的离散型分布 1p p P 0 1 X 则称则称X服从服从参数为参数为p 的二点分布或的二点分布或(0-1)分布分布,背景背景样本空间只有两个样本点的情况样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来都可以用两点分布来 描述。描述。如：上抛一枚硬币。如：上抛一枚硬币。 若随机变量若随机变量X X的分布律为的分布律为:例例设一个袋中装有设一个袋中装有3 3个红球和个红球和7 7个白球，现在从中个白球，现在从中随机抽取

12、一球，如果每个球抽取的机会相等，随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，并且用数并且用数“1”1”代表取得红球，代表取得红球，“0”0”代表取得代表取得白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型随机变量随机变量10X（取得红球）（取得白球）其概率分布为其概率分布为3(1)10P X 7(0)10P X 即即X X服从两点分布。服从两点分布。(1)0,1, 2., ;kknknP XknkCpp 其中其中0 p 0, 则称则称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布XP( )n 定义定义n 服务台在某时间段内接待的服务次数服务台在某时间段内接待的服务次数

13、X X；n 交换台在某时间段内接到呼叫的次数交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;Y;n 矿井在某段时间发生事故的次数矿井在某段时间发生事故的次数; ;n 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；n 单位体积空气中含有某种微粒的数目单位体积空气中含有某种微粒的数目 体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。n 实际问题中若干实际问题中若干R.v.XR.v.X是服从或近似服从是服从或近似服从 PoissonPoisson分布的分布的 已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X

14、X服从服从4 的泊松分布，分别的泊松分布，分别 求（求（1 1）每分钟内恰好接到）每分钟内恰好接到3 3次呼唤的概率；（次呼唤的概率；（2 2）每分钟不超过）每分钟不超过4 4次的概率次的概率(4)(0)(1)(2)(3)(4)P XP XP XP XP XP X4,3k()!kP Xkek344(3)3!P Xe例例解解0.195630.628838二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似设在贝努利模型中，设在贝努利模型中， 表示事件表示事件A在在n次试验中出次试验中出现的次数，现的次数， 为为A出现的概率，如果满足出现的概率，如果满足n np0lim nnnp ekppCkPkknknknkn

15、nnn!)1(lim)(lim则则实际应用中实际应用中当当n n较大较大,p,p较小，较小，npnp适中时，即适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式可用泊松公式近似替换二项概率公式ekppCkknkkn!)1 (二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似np若某人做某事的成功率为若某人做某事的成功率为1%，他重复努力，他重复努力400次，次，则至少成功一次的概率为则至少成功一次的概率为400110 =1 0.990.9820P XP X 成功次数服从二项概率成功次数服从二项概率 (400,0.01)B有百分之一的希望，就要做百分之百的努力有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 ( )baP ax

16、bf x dx第三节第三节 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布概率密度函数概率密度函数n 定义定义 设设 为一随机变量，若存在非负实函为一随机变量，若存在非负实函数数 f (x) , 使对任意实数使对任意实数 a b ，有，有 则称则称 为连续型随机变量，为连续型随机变量， f (x) 称为称为 的的概率密度函数概率密度函数,简称简称概率密度概率密度. 连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续P(X=a)=0P(a X b)= P(aX b)=P(a X b)=P(aXb)( )baf x dx X X取值在某区间的概率等于密度函数在此

17、区间取值在某区间的概率等于密度函数在此区间上的定积分上的定积分第三节第三节 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布因此，连续型随机变量取任意指定实数值因此，连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为的概率为02112( )xxP xXxf x dx1x2xn 密度函数在区间上的积分密度函数在区间上的积分 = = 随机变量在区间上取值的概率随机变量在区间上取值的概率概率密度函数的性质概率密度函数的性质( )0,(,)f xx n 非负性非负性( )1f x dxn 规范性规范性( )f x1Px cos( )20Xaxxf x随机变量的概率密度为其它(0)4PX求解解 Step1: 利用

18、密度函数的性质求出利用密度函数的性质求出 a( )1f x dx22( )cos1f x dxaxdx12a 4012(0)cos424PXxdx例：已知密度函数求概率例：已知密度函数求概率 Step2: 密度函数在区间的积分得到此区间的概率密度函数在区间的积分得到此区间的概率几个常见的连续型分布几个常见的连续型分布 1.均匀分布均匀分布若连续型随机变量若连续型随机变量 的概率密度为的概率密度为1()0axbfxba其 它则称则称X在区间在区间 （a，b）上服从均匀分布记为）上服从均匀分布记为 X U (a, b)n 定义定义 0 a bxX“等可能等可能”地取区间（地取区间（a,b）中的值，

19、这里的）中的值，这里的“等可等可能能”理解为：理解为：X落在区间（落在区间（a,b)中任意等长度的子区中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说间内的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。 0 a bx（） c d ( )1dcdcP cXdf x dxdcdxbaban 意义意义2.2.指数分布指数分布若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为0( )(000 xexf xx为常数）n 定义定义则称则称X X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布. .例例设设X

20、X服从参数为服从参数为3 3的指数分布，求它的密度函数的指数分布，求它的密度函数 及及2360( 12)31xPXedxe 和和(1)P X 330( )00 xexf xx解解X X的概率密度的概率密度3311(1)( )3xP Xf x dxedxe( 12)PX 2112()( )xxP xXxf x dx第四节第四节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 设设X X为一随机变量为一随机变量, ,则对任意实数则对任意实数x x，(Xx)(Xx)是一个随机事件，称是一个随机事件，称为为分布函数分布函数定义域定义域为为（，）；）；值域值域为为 ，。，。F(x)F(x)是一个是一个普通的函数普

21、通的函数！n 对任意随机变量都有：对任意随机变量都有：P（aXb）=P(Xb) P(Xa)n 分布函数的定义分布函数的定义( )()F xP Xx分布函数的计算o 离散型o 连续型一般，若 X 是连续型随机变量，则分布函数 连续，且概率密度函数( )()iixxF xP XxP ( )()( )xF xP Xxf x dx( )( )f xF x( )F x概率密度函数和分布函数的关系概率密度函数和分布函数的关系n 积分关系积分关系n 导数关系导数关系( )( )xF xf x dx( )F xP Xx( )xf x dx( )( )( )f xxF xf x若在 处连续，则例例1 1（离散型

22、）：已知（离散型）：已知 X X 的分布律为的分布律为XP10121111231212求求X X的分布函数，的分布函数，并画出它的图形。并画出它的图形。0 (1)1 2 ( 10)( )5 6 (01)1112 (12)1 (2)xxF xP Xxxxx 1(1, 5 )()40其 它fx 解解 当当 x 1 时时1( )( )00 xF xf x dxdx01 2 3 4 5yxx当当1 5 时时151551( )( )( )( )( )1100(5 1)144xxF xf x dxf x dxf x dxf x dxdx所以所以011( )(1) 15415xF xxxx0 1 51,0,

23、0;0,1)(3xxexFx例，已知分布函数，求密度函数求当 时的密度函数0 x33( )( )(1)3xxf xF xee 分布函数表示事件的概率分布函数表示事件的概率n P（Xb）=F(b)n P（aXb）=F(b) F(a)n P（Xb）=1 P（Xb）=1 - F(b)P P（a aX Xb b）=P(X =P(X b)-P(Xa)= F(b)- F(a) b)-P(Xa)= F(b)- F(a)分布函数的性质分布函数的性质n F(x)是单调不减函数是单调不减函数n 0 F(x) 1, 0 F(x) 1, 且且 ()lim( )0,()lim( ) 1xxFF xFF x 12xx若1

24、2()()F xF xn F(x)处处左连续处处左连续(0)( )F xF x分布函数分布函数 F(x)F(x)的的图形图形nF(x)是单调不减函数是单调不减函数21( )1F xx是不是某一随机变量的分布函数？是不是某一随机变量的分布函数？不是不是 因为因为 lim( )0 xF x函数函数 21 (0)( )1 1 (0)xG xxx可作为分布函数可作为分布函数第五节第五节 正态分布正态分布 Normal Distribution2( ,)XN 22()21( ),( 0)2xf xe 为常数 则称则称X X服从参数为服从参数为2, 正态分布， 记为n 若连续型随机变量若连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为);21,(21 e 正态分布的密度函数的性质与图形正态分布的密度函数的性质与图形关于关于 x = x = 对称对称（- - ， ）升，（）升，（ ，+ + ）降）降12f最大（ ）n 单调性单调性n 对称性对称性n 拐点拐点中间高中间高两边低两边低y-+21x2，对密度曲线的影响对密度曲线的影响 12122