十字相乘法进行因式分解讲解与练习

1、十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】(1)理解二次三项式的意义；(2)理解十字相乘法的根据；(3)能用十字相乘法分解二次三项式；(4)重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法.【重点难点解析】1 .二次三项式多项式ax2bxc,称为字母x的二次三项式，其中ax2称为二次项，bx为一次项,c为常数项.例2一一一2_一,一,一.如，x2x3和x5x6都是关于x的二次三项式.在多项式x26xy8y2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式.,一._22一一2_、，一.一.一在多项式2ab7ab3中，把ab看作一个整体，即2(a

2、b)7(ab)3,就是关于ab的二次三项式.同2样，多项式(xy)7(xy)12,把x+y看作一个整体，就是关于x+y的二次三项式.十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.2.十字相乘法的依据和具体容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax+b)(cx+d)竖式乘法法则.它的一般规律是：(1)对于二次项系数为1的二次三项式x2pxq,如果能把常数项q分解成两个因数a,b的积，并且a+b为一次项系数p,那么它就可以运用公式2x(ab)xab(xa)(xb)分解因式.这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”.公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数

3、的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.2(2)对于二次项系数不是1的二次三项式axbxc(a,b,c都是整数且aw0)来说，如果存在四个整数a1,a2,c1,c2，便a1a2a,c1c2c,且a1c2a2clb,2,2那么axbxca1a2x(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2)它的特征是拆两头，凑中间，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定.学习时要注意符号的规律.为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系

4、数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母.如：2 25x26xy8y2(x2)(5x4)3 .因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法.对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进

5、行.以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”.【典型热点考题】例1把下列各式分解因式：,.、222(1) x2x15；(2)x5xy6y.点悟：(1)常数项15可分为3X(5),且3+(5)=2恰为一次项系数；2(2)将y看作常数，转化为关于x的二次二项式，常数项6y可分为(2y)(-3y),而(2y)+(3y)=(-5y)恰为一次项系数.2解：(1)x2x15(x3)(x5)；22(2) x5xy6y(x2y)(x3y).例2把下列各式分解因式：22(1) 2x5x3；(2)3x8x3.2点悟：我们要把多项式

6、axbxc分解成形如(ax1c1)(ax2c2)的形式，这里a1a2a,c1c2c而2解：(1)2x5x3(2x1)(x3)；-2(2) 3x8x3(3x1)(x3).点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性.例3把下列各式分解因式：42(1) x10x9；32(2) 7(xy)5(xy)2(xy);2_22_(3) (a8a)22(a8a)120.-22一.一点悟：(1)把x看作一整体，从而转化为关于x的二次三项式；(2)提取公因式(x+y)后

7、，原式可转化为关于(x+y)的二次三项式；22_一一一(3)以(a8a)为整体，转化为关于(a8a)的二次三项式.解：(1)x410x29(x21)(x29)=仅+1)(x-1)(x+3)(x-3).(2) 7(xy)35(xy)22(xy)2_(xy)7(xy)5(xy)2=(x+y)(x+y)-17(x+y)+2=(x+y)(x+y1)(7x+7y+2).(3) (a28a)222(a28a)1202_2_(a8a12)(a8a10)一一2一(a2)(a6)(a8a10)点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行

8、分解.同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再.2点悟：把x2x看作一个变量，利用换兀法解之.2解：设x2xy,则原式=(y-3)(y-24)+902_y27y162=(y-18)(y-9)22(x22x18)(x22x9).2点拨：本题中将x2x视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果.此外，2y27y162(y18)(y9)一步，我们用了“十字相乘法”进行分解.4_32_例5分解因式6x5x38x5x6.点悟：可考虑换元法及变形降次来解之.2_211一解：原式x6(x)5(x-)38xx2121x26(x-)25(x-)50,xx人1i令x-

9、y,则x一,2_2_原式x(6y5y50)x2(2y5)(3y10)223x(2x-5)(3x-10)xx_2_2(2x5x2)(3x10x3)(x2)(2x1)(x3)(3x1).点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱.但是,品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节.22例6分解因式x2xyy5x5y6.点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x-y)的二次三项式.方法2：把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式.22解法1：x2xyy5x5y6,2_2、，_、_(x2xyy)(5x5y)6，12

10、_,.(xy)5(xy)6(xy1)(xy6).22解法2：x2xyy5x5y62_、2_x(2y5)xy5y62，-、，-、，、x(2y5)x(y6)(y1)x(y6)x(y1)=(x-y-6)(x-y+1).例7分解因式：ca(c-a)+bc(b-c)+ab(a-b).点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组.解：ca(ca)+bc(bc)+ab(ab)22,2,2acacbcbcab(ab)2,、，2,2、一，、c(ab)c(ab)ab(ab)2c(ab)c(ab)(ab)ab(ab)(ab)c2c(ab)ab=(a-b)(c-a)(c-b).点拨：因式分解，有时需要把多项式

11、去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组.此题展开四项后，根据字母c的次数分组，出现了含a-b的因式，从而能提公因式.随后又出现了关于c的二次三项式能再次分解.4_2_2例8已知x6xx12有一个因式是xax4,求a值和这个多项式的其他因式.4点悟：因为x6xx12是四次多项式，有一个因式是xax4,根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是x2bx3(a、b是待定常数)，故有x46x2x12(x2ax4)(x2bx3).根据此恒等关系式，可求出a,b的值.2.解：设另一个多项式为xbx3,则x46x2x12(x2ax4)(x2bx3)x4(ab)x3(34ab)x2(3a4b)

12、x12,42.432x6xx12与x(ab)x(34ab)x(3a4b)x12是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等.即有%+3=0.<3+4+时=瓦玄+4b=L由、解得，a=-1,b=1,代入，等式成立.2a=-1,另一个因式为xx3.点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法.待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用.希望读者不可轻视.【易错例题分析】例9分解因式：5a2b223aby10y2.错解：10=5X(2),5=1X5,5X5+1X(2)=23,警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤.正解：5=1X5,10=5X(2),X5

13、X5+1X(-2)=23.5N原式=(ab+5y)(5ab-2y).【同步练习】一、选择题21. 如果xpxq(xa)(xb),那么p等于()A.abB.a+bC.-abD,(a+b).222 .如果x(ab)x5bxx30,则b为()A.5B.-6C.-5D.6.一.23 .多项式x3xa可分解为(x-5)(x-b),则a,b的值分别为()A.10和一2B.10和2C.10和2D.10和一24 .不能用十字相乘法分解的是()22一2一A.xx2B.3x10x3x一.222C.4xx2D.5x6xy8y5.分解结果等于(x+y-4)(2x+2y-5)的多项式是()一2一一A. 2(xy)13(

14、xy)20一一2一一B. (2x2y)13(xy)20C. 2(xy)213(xy)20D. 2(xy)29(xy)206.将下述多项式分解后，有相同因式x-1的多项式有()_2_x7x6；23x2x1；一2-公x5x6；-2.4x5x9；215x23x8;_42一x1仅12A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题2a=29. 2x5x3(x-3)()2210. x2y(x-y)()11. a2_a()()2.m12.当k=时，多项式3x27xk有一个因式为(.)什173c13.若x-y=6,xy，则代数式xy2x363xy的值为三、解答题14.把下列各式分解因式:42(1)x7x6；25x

15、236；(3)4x465x2y216y4；633.36(4)a7ab8b；4326_4224(5)6a5a4a；(6)4a37ab9ab.15 .把下列各式分解因式：,2_、2.22,2_(1) (x3)4x；x(x2)9；,、，_2_.、2,_2_、2(3) (3x2x1)(2x3x3)；(4) (x2x)217(x2x)60；,2_、2,2_、-(5) (x2x)7(x2x)8；(6) (2ab)214(2ab)48.16 .把下列各式分解因式：2(1) (ab)x2axab；2,22、(2) x(pq)xpq(pq)(pq);，-2_2_一(3) x2xy3y2x10y8；.22(4)

16、4x4xy3y4x10y3；._3217 .已知2x7x19x60有因式2x-5,把它分解因式.一3318.已知x+y=2,xy=a+4,xy26,求a的值.参考答案【同步练习】1. D2.B3.D4.C5.A6.C7.(x+5)(x-2)8.1或一6,6或19.2x+12nn10.xy,x+2y11.2,a,4m2m12.-2,3x+1或x+213.17.2.、.2_、14.(1)原式(x1)(x6)(x1)(x1)(x26),22.、(2)原式(x9)(x4)_2(x3)(x3)(x4)2222(3)原式(4xy)(x16y)(2xy)(2xy)(x4y)(x4y)(4)原式(a38b3)

17、(a3b3)_2_222(a2b)(a2ab4b)(ab)(aabb)一.2一2_(5)原式a(6a5a4)2，一、，一、a(2a1)(3a4)(6)原式a2(4a437a2b29b4)a2(4a2b2)(a29b2)2一一-a(2ab)(2ab)(a3b)(a3b)(x22x3)(x22x3)=2_4(x3)(x1)(x2x3)一2222(3)原式(3x2x12x3x3)(3x2x12x3x3)(5x5x4)(x2)(x1)一.，2.，2(4)原式(xx12)(xx5)(x4)(x3)(x2x5),22(5)原式(x2x8)(x2x1)_2(x2)(x4)(x1)(6)原式(2ab6)(2ab8)16.(1)原式(ab)xab(x1)(2)原式xp(pq)xq(pq)22(xppq)(xpqq)22(3)原式x(2y2)x(3y10y8)2，一一、，一、，一、x(2y2)x(3y4)(y2)x(3y4)xy2(x3y4)(xy2)22(4)原式4x4(y1)x3y10y32_4x4(y1)x(3y1)(y3)(2x3y1)(2xy3)(5)原式