(完整word版)现代控制理论习题解答(第四章)

1、3-4-1第四章控制系统的稳定性试确定下列二次型是否正定。(1) v(x)x124x22x322x1x26x3x22x1x3(2) v(x)x1210x224x326x1x22x3x2222(3) v(x)10x14x2x32x1x22x3x24x1x3m：0,(1)0,二次型函数不定。(2)100,3100,10二次型函数为负定。10P121,1010,10103917二次型函数正定。3-4-2试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。2.22v(x)a1x1b1x2c1x32x1x24x3x22x1x3【解】：2x1x24x3x22x1x32-2-2v(x)a1x1b1x2c1x3a1

2、xT11b1满足正定的条件为:ai1ai°,1biai110,1b12012C1a10a1b11a1b1cl4b14a1c13-4-3试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。0111XX；(2)XX；11231110XX；(4)XX；1101【解】：(1)设22v(x)0.5x10.5x2V(X)X1X1X2X2X1X2X1X2/X2"为半负定。0(x0)又因为V(X)0时，有x20,则X20,代入状态方程得：X10.所以系统在x0时，V(x)不恒为零。则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。(2)设22v(x)0.5x10.5x2V(X)X1X

3、1X2X2X1(X1X2)X2(2X13x2)22X13X23X1X2T11.5XX1.5311.50,01.53TXPxP负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。2222xix2v(x)0.5x10.5x2v(x)X1X1x2x2x1(x1x2)x2(x1x2)xTPxP负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。(4)两个状态变量相互独立，所以可以单独分析各变量的稳定性。220x0x1x1v(x1)0.5x1v(x1)x1x1x10x0220x0x2x2v(x2)0.5x2v(x2)x2x2x20x0所以系统不稳定。3-4-4试确定下列系统平

4、衡状态的稳定性。3x(k)x(k1)【解】：方法一：采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。z130f(z)zIA3z23010zz10.1173+2.6974iz20.1173-2.6974iz31.2346特征多项式对应的特征值均在单位圆外，所以系统不稳定。方法二：采用第二方法，130G323。10010.50.50.5100.501PE4.10.5因为1>0,0.750.5110.50,0.510.500.500.50,所以P正定。1v(x)xTPx正定。v(k)xT(k)(GTPGP)x(k)13110.50.5130130gtPGP3200.5103233230

5、300.50110010084.574.561.571.58因为8>0,84.54.5627.750,84.574.5761.51.584.50,所以P正定。v(k)为正定，所以系统在原点不稳定。3-4-510k20设离散系统状态方程为x(k1)0001x(k)k0,求平衡点xe0渐近稳0定时k值范围。【解】：方法一：采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。z10f(z)zIA0z100k/2zZ10.5x2kz2-0.52kZ300.5V2k|10k2时平衡点渐近稳定。方法二：v(x)xTPx正定。v(k)xT(k)(GTPGP)x(k)v(k)xT(k)Qx(k)令Q

6、IpGpTG3!33RP2P3223RP2P21231111UIpppp设pGpTGQ1o3dm2DM1dm3DM2dm1DM100c12P0104k2120024kP为正定，则124k2120k2时系统渐近稳定。3-4-6设系统的状态方程为X1X201xi21.5x2，试求这个系统的李亚普诺夫函数,然后再求从封闭曲线v(x)100边界上的一点到封闭曲线v(x)0.05内一点的响应时间上【解】：令ATPPA求矩阵21.5RiR2P21P22P11P21Pl2P220121.51412v(x)5.52xi420.5x1x20.5x2v(x)2(X12X2)QPttolnmin2.3062,1v(

7、x,t)v(x0,t0)20.693810.05ln10.95521005.5414所以李氏函数为:试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。xixix23xixixix2/2xi(xix22)x2xix23x2(2)x2xix2/2x2(xix22)3-4-7【解】：(1)采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得:AfTxf1x1x0fxf1x2f2X2x23x1113x222ssIA系统的两个特征值均在右半平面,则系统在平衡点附近不稳定。（2）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得:x1f2x且x2f2x2x02223x1x22x1x212x1x221x123x2sIA2

8、s20系统的两个特征值都在左半平面,则系统在平衡点附近渐近稳定。b的取值范围（其中二者均大3-4-8试确定下列非线性系统在原点处稳定时的参数于或等于零，但二者不同时为零）-3x2x1ax2bx2【解】：f1x1f2x1立x2f2x2x013bx22si2.sas1结论：系统在原点渐近稳定的充要条件是求）。a大于0,b任意（同时还需满足题目要3-4-9试证明系统x1x22x2a1x1a2x1x2在a10,a20时是全局渐近稳定的。【解】：求平衡点：v(x)x1x20x2a1x12a2x1x2x1ex2ev(x)20.5a1x10.5X2a1x1x1x2x2a1x1x2X2(aiX2c2a2xx2

9、)2:v(x)a2x1x2结论a10,v(x)正定;a20,v(x)负定，系统渐近稳定。因为x|时，v(x)220.5a1x10.5x2,所以系统又是大范围渐近稳定。3-4-10试用克拉索夫斯基法确定非线性系统在原点xe0处为大范围渐近稳定时，参数a和b的取值范围。x1ax1x2,3x2x1x2bx2f1【解】：f1v(x)fT(x)JT系统在xex1f2x2f213bx22xix2v(x)fT(x)f(x)Jf(x)2fT(x)0处渐近稳定的条件是v(x)负定。而a0,1,23bx2113bx22"x)v(x)负定的条件为:c，2，ca3abx210大范围渐近稳定的条件是:时v(x

10、)时，v(x)(axiX2)2(xi,3、2X2bX2)所以系统大范围渐近稳定的条件是:a0,23bX2a3abx22i3-4-ii试用变量-梯度法构成下述非线性系统的李氏函数。2XiXi2xiX2X2X2【解】：求平衡点：xiX22xi2xix20x20xieX2eaiixiai2X2a2ixia22X2ViV2v(x)(V)T2aiixi(ai2a2i)Xix232aiixix22、，222ai2Xix2a22x2若选aiia22a2iViX2ai2V2ca?i0Xi满足旋度方程条件v(x)2xi(i2xix2)X2oXiX20.5时，v(x)负定Xi(X20)而v(x)XidXi0X2(

11、XiXi)x2dx20.5(x2x2)为正定。当XiX2。5时，系统在平衡点渐近稳定。3-4-i2设非线性系统方程为Xifi(Xi)f2(Xi,X2),X2“32-，2/式中fi(0)f3(0)0,f2(0,x2)0f3(X2)试求系统原点Xe0稳定的充分条件。【解】：由第一法,稳定条件为:由克拉索夫斯基法设fixiv(x)fif24(fixixigxixif3x24(fixi3-4-13fif2fiX1f2Xif2x2f3x2x0xif2xif3xix2f2xiv(x)f3x2x为正定。Fx2(f2)2x2fxif2xiflxix2时渐近稳定。时稳定。f2x2f3x2x2f32x2试用阿依捷

12、尔曼法分析下列非线性系统在原点3-4-13图所示。fif2xif2x2xif3x2xe0处的稳定性。结构如题F(e一5F(e)ee5题3-4-13图【解】：当输入为零时，非线性系统方程可以写成eeF(e)0若取状态变量：xie,X2e,那么系统的状态方程为:XiX2X2X2F(e)F(e)ke,取k1(1)在Xe0处将非，线性环节输入-输出特性用一直线近似则线性化状态方程为：XiX2X2X2Xi(2)取二次型函数作为系统的李氏函数，则有得至P1.50.50.51v(x)v(x)XTPx,v(x)TcxQx1.5x12X1X2x2为正定。22tk1kv(x)3x1x1x1x2x1x22x2x2k

13、x1(22k)x1x2x2xx1k10.382k2.618时系统稳定，即当k0,k(k1)20时v(x)为负定，从而求得只要非线性环节的曲线在0.382e和2.618e范围内变化，原非线性控制系统就是大范围渐近稳定的。3-4-14下列是描述两种生物个数的瓦尔特拉(bolterea)方程X1X1X1X2X2X2X1X2式中X1,X2分别表示两种生物的个数。为非零实数。0,0,0,0。(1)确定系统的平衡点。(2)在平衡点附近线性化，并讨论平衡点的稳定性。【解】：(1)得到平衡状态:xixixix20x2x2x1x20x1e0x2e0x1ex2e(2)线性化x1X2(x2e)xixiex2x2ex

14、i(xie)x2对于平衡点:x1e0x1x1x2e0x2x2特征值为：12因为0,0所以10,由第L法，系统不稳定。20对于平衡点：x1exx2x2e-x2x10A0特征值为：12.因为0,0,1,2为纯虚数，由第一法，无法确定系统的稳定性。dx2(x1)x2x2.(x1),1-,dx2ldx10dx1(x2)x1x2x1dInx2Inx1x2x1const或(dInx2x2)(Inx1x1)const其轨迹图如图题3-4-14图所示Xi题3-4-14图可见Xle0为不稳定的平衡点。X2e0Xie为稳定的平衡点。X2e-XiX23-4-15试求下列非线性微分方程x2的平衡点，然后对各平衡点进行

15、线性化，并判断平衡点是否稳定。sinxiX2【解】：求平衡点：XiX2x20sinxix2XieX2enn0,i,20线性化方程XiX2X2:0COS（Xie）Xix20对于平衡点Xie2n0X2e则X1X2X2X1X2特征方程为（1）1对于平衡点01A110，特征根都在左半平面，所以系统为渐近稳定。x1eX2e(2n1)0X1X2X2X1X201A11特征方程为（1）10,有一个特征根在右半平面，所以系统不稳定。3-4-16非线性系统状态方程为X1X22a0试确定平衡状态的稳定性。x2a（1x2）x2X1【解】：求平衡点：X1X20X1e02x2a（1x2）x2X10x2e0线性化方程为：X

16、1X2x2ax2X101A1a特征方程为（a）10a0时特征根都在左半平面，所以系统为渐近稳定。3-4-17非线性系统状态方程为X1X2X23试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。X1X2【解】：xixx2f(x)f1(x)f2(x)x23xix2因为126x1J(x)f(x)3x12v(x)v(x),则v(x)为负定。P11xTPx,xTQxjtP11P12P12P22(x)PPJ(x)x3x121P11PI2P12P22P|1P12P12P2203x126x1P2P22322x11(673一x126x12126x10,12)(1126x116x，322x116x1216x，16x12c26x1126x11c26x132一xi4P正定，所以系统在原点处渐近稳定。v(x)2x2时,(六6x132一x121、2一)x22126；7x2(3x1、，11、，3、2x2)(一2-)(x1x2)6x123v(x)一xi1214一x2一xi261,2(3、2x2)所以在原点大范围渐近稳定。3-4-18试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数。X1X2ox2a1(t)x1a2(t)x2【解】：设ViV2aiixiai2X2a21X1a22x2T2v(x)(V)xa11x1x2a12x22ai(t)a2ixia2(t)a2ixix22a1(t)a22xi