高考数学二轮复习专题教案：第6讲分类讨论思想在解题中的应用

1、第6讲分类讨论思想在解题中的应用一、知识整合1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。2所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略3分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。4. 分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性

2、成果；归纳小结，综合出结论。5. 含参数问题的分类讨论是常见题型。6. 注意简化或避免分类讨论。二、例题分析例1.一条直线过点（5,2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（）A.xy70B.2x5y0C.xy70或2x5y0D.xy70或2y5x0分析：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,2当a=0时，直线过原点，此时直线方程为y-x,即2x5y0；5当a0时，设直线方程为-1,则求得a7，方程为xy70。aa例2.1ABC中，已知sinA-，cosB，求cosC213分析:由于C(AB)cosCcos(AB)cosAcosBsinAsinB因此，只要根据已知条件，求出cosA,sin

3、B即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A进行分类。解52120cosB，且B为ABC的一个内角45B90，且sinB13213若A为锐角，由sinA丄，得A30，此时cosA3221若A为钝角，由sinA,得A150，此时AB1802这与三角形的内角和为180相矛盾。可见A150cosCcos（AB）cos（AB）351121253cosAcosBsinAsinB21321326例3已知圆x2+y2=4，求经过点P（2,4），且与圆相切的直线方程。分析：容易想到设出直线的点斜式方程y-4=k（x-2）再利用直线与圆相

4、切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率k,从而得到所求直线方程，但要注意到：过点P的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢因此本题对过点P的直线分两种情形：（1）斜率存在时，（2）斜率不存在解（略）：所求直线方程为3x-4y+10=0或x=2例4.解关于x的不等式：loga（1丄）1分析：解对数不等式时，需要利用x对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类讨论。解:若a1，则原不等式等价于11a1x0x1a10若0a1，则原不等式等价于x1x11a1xa综上所述，当a1时，原不等式的解

5、集为xx0;当0a1时，原不等式的解集为x1x応例5.解不等式54xx2x分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根才不改变不等号方向，因据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时,此应根据运算需求分类讨论，对x分类解：原不等式等价于4x4x2x2xx0或2x4xx20x1.142或、142原不等式的解集为x例6.解关于x的不等式：ax2但1)x10分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗不一定，故首先对二次项系数a分类：(1)a0(2)a=0,对于(2)，不等式易解；对于(1)，又需再次分类：a0或a0，令Tn蠱，求nlimTn。分析：对于等比数列的前n

6、项和&的计算，需根据q是否为形：1分为两种情当q=1时，Snna1;当q1时,Sna(qn)另外，由于当|q|1时，nlimq故还需对q再次分类讨论。0,而已知条件中q解:当q1时，Snna1，Sn1(n1)a1nlimlim一nn1时，Sna,1qn)，Sn1n1、a,1q)q1时,nlim1时，limnTnlimnq1nqq综上所述，知nlimTn1，(0丄，(qq1)1)例8.设kR,问方程(8k)x2(k4)y2(8k)(k4)表示什么曲线?分析：容易想到把方程变形为1,但这种变形需要k4，且要进行分类:k(，4），k4，k(4，8)，k8，k（8，），又注意到k48k0与k48k(k

7、40且8k0）表示的曲线是不一样的，因此还应有一个“分界点”，即k6，故恰当的分类为（，4），4，（4，6），6,（6，8），8，（8,)k8,而且k4与8k的正负会引起曲线类型的不同，因此对k（)解：（1）当k=4时，方程变为4x2=0，即x=0,表示直线;（2）当k=8时，方程变为4y2=0，即y=0，表示直线；(3) 当k4且k8时，原方程变为解:c；C33c：c3ofC33C43C3c4c|21C3C3309或:C33c；c3c；c：C3c3c；33C3C4309（i）当k4时，方程表示双曲线；（ii）当4k6时，方程表示椭圆；（iii）当k=6时，方程表示圆；（iv）当6k8时，方程

8、表示双曲线。例9.某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案分析：如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有Q3种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含有一名全能工人；（3）选出的6人中含2名全能工人；（4）选出的6人中含有3名全能工人。213213213222C4C

9、3C3C3C3C4C3C4C3C3C4P3三、总结提炼分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外,数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时,应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例：（1）“方程ax2bxc0有实数解”转化为“b24ac0”时忽略了了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为0;（2）等比数列a

10、Qn1的前n项和公式Sn珮1a。中有个别情形：q1时，1q公式不再成立，而是S=nai。（3）设直线方程时，一般可设直线的斜率为k,但有个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。（4）若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为-丄1,但有个别情形:aaa=0时，再不能如此设，应另行考虑。四、强化练习：见优化设计0【模拟试题】一.选择题:1.若a0,且a1,ploga(a3a1),qloga(a2a1），则p、q的大小关系为（)A.pqB.pqC.pqD.a1时,pq;0a1时，pq2.若Ax|x2(p2)x10,xR，且AR，则实数中的取值范围是（)A.p2B.p2C.p2D.p4

11、3.设A=x|xa0,Bx|ax10，且ABB,则实数a的值为()A.1B.1C.1或1D.1,1或04.设是的次方根,则236的值为()A.1B.0C.7D.0或75.一条直线过点（5,2）,且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（）A. xy70B. 2x5y0C.xy70或2x5y0D.xy70或2y5x06.若sinxcosx1，贝ynsinxcosnx(nN）的值为()A.1B.1C.1或1D.不能确定7.已知圆锥的母线为1,轴截面顶角为，则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值为（）112A.lsin2C.l2sinB.丄|22D.以上均不对8.函数f(x)mx2(m3)x1的图象与x

12、轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为()A.0，B.1C.0，1D.(0，1).填空题9. 若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是210. 若loga1，贝Ua的取值范围为。311. 与圆X2（y2）21相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为12. 在50件产品中有4件是次品，从中任抽取5件，至少有件次品的抽法共有中（用数字作答）13. 不等式vlogaX22logaX1（a0且a1）的解集为。三解答题：14. 已知椭圆的中心在原点，集点在坐标轴上，焦距为2-一3，另一双曲线与此椭圆有公共焦点，且其实轴比椭圆的长轴小8,两曲线的离心率之比为3:7,求此椭圆、双

13、曲线的方程。15. 设a0且a1，试求使方程loga(xak)loga2(x2a2)有解的k的取值范围理想的书籍是智慧的钥匙.尔斯泰【试题答案】二选择题1.C2.D3.D4.D5.C6.A7.D8.B提示：1.欲比较p、q的大小，只需先比较a3a1与a2a1的大小，再(a3a1)(a2a1)a2(a1)0的勺a值:a=1，当a1时，a3a12a1还是0aq。2.若A，即(p2)240，4p0时，AR；0若A，则p2np0时,AR20可见当4p0或p0时，都有AR，故选(D)利用对数函数的单调性。而决定a3a1与a2a1的大小的a值的分界点为使3.若B，则ABB，此时a0若B，则a0,B，由AB

14、B知BAA,1-a0，解得a1或1,故a0,1或1a4. 由是1的7次方根，可得71;显然，1是1的7次方根，故可能若1,则10,1，则故选（D）5. 设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,2当a=0时，直线过原点，此时直线方程为y-x,即2x5y0；5当a0时，设直线方程为$1,则求得a7，方程为xy70aa6.由sinxcosx当sinx0时,1，得(sinxcosx)21,即卩sinxcosx0cosx1;当cosx0时，sinx1,于是总有sinnxcosnx1，故选（A）7. 当90时，最大截面就是轴截面，其面积为-l2sin；2当90时，最大截面是两母线夹角为90的截面，其面积为-l

15、2211可见，最大截面积为-12或-I2Sin，故选（D）2218. 当m0时，f（x）3x1,其图象与x轴交点为（-，0）满足题意3当m0时，再分m0,m0两种情形，由题意得m0或1X1X20mm00m32m综上可知，m0或m0或0m1,m1故选（B）.填空题228（提示：若长为4的边作为圆柱底面圆周的展开图，则V柱一）22;若长为2的边作为圆柱底面圆周的展开图，贝UV柱丄）244）210.0a或a13（提示：对a分：0a1与a1两种情况讨论）11.y、3x或y3x或xy（2、2）0或xy（2、2）0（提示：分截距相等均不为0与截距相等均为0两种情形）12.4186种（提示：对抽取5件产品中

16、的次品分类讨论：（1）抽取的5件产品中恰好有3件次品；（2）抽取的5件产品中恰好有4件次品，于是列式如下：C；C46C：C46=4140+46=4186）2313. 若a1，则解集为xa3xa4或xa32若0a1，则解集为xa4xa3或0xa（提示：设logaxt，则原不等式可简化为.3t22t12解之得2t3或t1，即-logaX-或logax1343423对a分类：a1时，a3xa4或xa;0a1时，a23x3a4或0xa)三解答题14. 解：（1）若椭圆与双曲线的焦点在x轴上，可设它们方程分别为2222筈$1（ab0），岂匕1（a0，b0），依题意ababcc132.22a7abca”，、222215. 解：原方程可化为loga(xak)logaxaxakxa令f(x)xak，g(x)x2a2(xak0且x2a20)则对原方程的解的研究，可转化为对函数f(x)、g(x)图象的交点的研究下图画出了g(x)的图象，由图象可看出c2b2b6a32a82ab2cc3：7aa2222两曲线方程分别为xy1，xy14936942Xp1(ab0)b22(2)若焦点在y轴上，则可设椭圆方程为爲acc、1322.2a7cab.22.2b6caba32a8