高等数学第9章试题

1、高等数学院系学号班级姓名得分题号选择题填空题计算题证明题其它题型总分题分2020202020核分人得分复查人一、选择题(共20小题，20分)1、设I1，I2，I3三者大小关系是I2>I1>I3;D.I3>I2>I1.是由z及x2+y2+z2w1所确定的区域，用不等号表达A.I1>I2>I3;B.I1>I3>I2;C.2、设f(x,y)为连续函数，则积分可交换积分次序为答()3、设是由曲面z=x2+y2,y=x,y=0,z=1所围第一卦限部分的有界闭区域，且f(x,y,z)在上连续，则等于(A) (B)(C)(D)答()4、设u=f(t)是(g，+

2、g)上严格单调减少的奇函数，是立方体：|x|<1;|y|<1；|z|<1.I=a,b,c为常数，则(A)I>0(B)I<O(C)I=0(D)I的符号由a,b,c确定答()5、设Q为正方体Owx<1;0wyw1;0<z<(x,y,z)为Q上有界函数。若，则(A)f(x,y,z)在Q上可积(B)f(x,y,z)在Q上不一定可积(C)因为f有界，所以I=O(D)f(x,y,z)在Q上必不可积答()6、由x2+y2+z2w2z,zwx2+y2所确定的立体的体积是(A)(B)(C)(D)答()7、设Q为球体x2+y2+z2w1,f(x,y,z)在Q上连续，

3、1=x2yzf(x,y2,z3),则(A)4x2yzf(x,y2z3)dv(B)4x2yzf(x,y2,z3)dv(D)(C)2X2yzf(x,y2,z3)dv8、函数f(x,y)在有界闭域D上有界是二重积分存在的(A)充分必要条件；(B)充分条件，但非必要条件；(C)必要条件，但非充分条件；(D)既非分条件，也非必要条件。答()9、设是由3x2+y2=z,z=1-x2所围的有界闭区域，且f(x,y,z)在Q上连续，则等于(A)(B)(C)(D)答()10、设f(x,y)是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为答()11、设Q1,Q2是空间有界闭区域，Q3=QiUQ2,Q4=QiAQ2,f

4、(x,y,z)在Q3上可积,则的充要条件是(A)f(x,y,z)在Q4上是奇函数(B)f(x,y,z)=0,(x,y,z)Q4(C)Q4=?空集(D)答()12、设Q1：x2+y2+z2wR2；z>0.Q2：x2+y2+z2wR?;x>0;y>0;z>0.贝U99999999(A)zdv=4xdv.(B)ydv=4zdv.99999999(C)xdv=4ydv.(D)(xyz)dv=4(xyz)dv.答()13、设Q为正方体0wx<1;0wy<1;0<z<(x,y,z)在Q上可积，试问下面各式中哪一式为f(x,y,z)在Q上的三重积分的值。nii

5、i1(A)(B)limf(,)ni1nnnn(C)(D)答()14、设，则I满足答()15、函数f(x,y)在有界闭域D上连续是二重积分存在的(A)充分必要条件；(B)充分条件，但非必要条件；(C)必要条件，但非充分条件；(D)既非充分条件，又非必要条件。答()16、若区域D为|x|w1,|y|w1,则1(A)e;(B)e；(C)0;(D)n.答()217、二重积分(其中D0wywx,0wxw1)的值为答()18、设有界闭域D与D2关于oy轴对称，且DQD2=?,f(x,y)是定义在DUD2上的连续函数，则二重积分答()19、设为单位球体x6、设积分区域D的面积为S,(r,e)为D中点的极坐标

6、，贝U.7、根据二重积分的几何意义22其中Dx+y<a,y>0,a>0.8、设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，把D任意分成几个小区域0i(i=1,2,-,n)，在每一个小区域6上任取一点(Ei,ni),如果极限存在(其中入是)，则称此极限值为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作9、设积分区域D的面积为S,则10、设f(t)为连续函数，则由平面z=0,柱面x2+y2=1和曲面z=f(xy)2所围立体的体积可用二重积分表示为.11、设f(x,y,z)在有界闭区域Q上可积，Q=Q1UQ2,贝UI=f(x,y,z)dv=f(x,y,z)dv+。12、设Q为空间有界闭区域，其上

7、各点的体密度为该点到平面Ax+By+Cz+D=0的距离。则Q关于直线的转动惯量的三重积分公式为.13、设D:x2+y2<4,y>0,则二重积分14、设Q1:x2+y2+z2wR2,Q2：x2+y2+z2<R;x>0;y>0;z>=f(t)是(一g，+g)上的偶函+y2+z2<1,Qi是位于z>0部分的半球体，I=(x+y+z)f(x2+y2+z2)dv,贝H(A)I>0(B)I<0222(C)I=0(D)I=2(x+y+z)f(x2+y2+z2)dv答()20、设Q为一空间有界闭区域，f(x,y,z)是一全空间的连续函数，由中值定理而

8、V为Q的体积，则：(A) 若f(x,y,z)分别关于x,y,z为奇函数时f(E,n,Z)=0(B) 必f(E,n,Z)丰0222(C) 若Q为球体x+y+z<1时f(E,n,Z)=f(0,0,0)(D) f(E,n,Z)的正负与x,y,z的奇偶性无必然联系答()二、填空题(共20小题，20分)1、根据二重积分的几何意义=.其中D：x2+y2<1.2、设Q是一空间有界闭区域，其上各点体密度为该点到平面Ax+By+Cz=D的距离平方。则Q质量的三重积分公式为.3、设Dx2+y2w2x,由二重积分的几何意义知=.4、设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，且f(x,y)>0,则的几

9、何意义是5、二次积分f(x,y)dy在极坐标系下先对r积分的二次积分为数，且在(0,+8)上严格单调增加，则(A)xf(x)dv=4xf(x)dv(B)f(x+z)dv=4f(x+z)dv(C)f(x+y)dv=4f(x+y)dv(D)f(xyz)dv=4f(xyz)dv答()15、二次积分f(x,y)dy在极坐标系下先对r积分的二次积分为.16、=。17、设平面薄片占有平面区域D,其上点(x,y)处的面密度为口(x,y)，如果口(x,y)在D上连续，则薄片的质量.18、设区域D是x2+y2w1与x2+y2w2x的公共部分，试写出在极坐标系下先对r积分的累次积分.19、设为一有界闭区域，其上各

10、点的体密度为p(x,y,z).设M为其质量，而(x,y,z)为其重心，关于xoy平面的静矩定义为：My=XMMy的三重积分计算式为.20、设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，把D任意分成n个小区域厶厅i(i=1,2,n),在每一个小区域厶*任意选取一点(i,ni),如果极限(其中入是厶c(i=1,2，n)的最大直径)存在，则称此极限值为的二重积分。三、计算题(共20小题，20分)1、计算二重积分其中2、设是由x=0,y=0,z=0,x=1-y2及所围的有界闭区域。计算1=.3、设D是由直线x+y=a,x+y=b,y=ax,y=3x所围的有界闭区域(0<a<b;0<a<

11、;3)，试计算e(xy)dxdy.D4、设是由x2+y2=R?;z=0;z=1;y=x;y=所围恰好位于第一卦限部分的一立体。试求积分I=.5、设是由曲面x2+y2=1,z=0,z=1所围的有界闭区域，计算.6、设是由bz<x2+y2+z2waz(a>b>0)所确定的闭区域。试计算7、计算二重积分其中D0<ywsinx,.8、计算二重积分其中D是由抛物线y2=2px和直线x=p(p>0)所围成的区域。9、设是由曲面z=x+y,z=2(x+y),xy=1,xy=2,y=2x及x=2y所围位于x>0及y>0部分的闭区域。试计算I=10、计算三重积分1=，其

12、中是由所围位于部分的立体11、设是由a2wx2+y2w2a2(a>0),y>0,zw0以及所确定的闭区域。试计算12、计算二重积分其中Dx2+y2w1.13、由二重积分的几何意义，求14、计算二重积分其中积分区域D是x2+y2wa2(a>0).15、设是由以及0wzwsin(x+y)所确定的立体。试计算16、计算二次积分17、计算二重积分其中18、计算二重积分其中D：x<yw,0<xw1.19、设是由,y=0,z=0及所围的有界闭区域。试计算20、计算二重积分其中D是由直线x=-2,y=0,y=2及左半圆x=所围成的区域。四、证明题(共20小题，20分)1、试证：

13、在平面薄片关于所有平行于oy轴的轴的转动惯量中，对于穿过重心的轴所得的转动惯量最小。2、设f(t)是连续函数，证明3、锥面x2+y2z2=0将闭区域x2+y2+z2w2az(a>0)分割成两部分，试证其两部分体积的大小之比为3:1.4、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且D可以分为两个闭域D和D2,证明5、设f(u)为可微函数，且f(0)=0,证明6、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且Mm分别是f(x,y)在D上的最大值与最小值，证明：其中厅是D的面积。7、设为单位球体x2+y2+z2w1,试证可选择适当的坐标变换，使得(a+b+c=1)8、设f(x,y)为区域D：上的连续函数

14、，试证9、设函数f(x,y)和g(x,y)在D上连续，且f(x,y)wg(x,y),(x,y)?D,利用二重积分定义证明：10、设f(x)是a,b上的连续正值函数，试证不等式：其中D：awxwb,awywb.11、设f(u)为连续函数，试证12、设是上半单位球体x2+y2=z2w1,z>0,f(x,y,z)在上连续，试利用球面坐标积分方法证明(E,n,Z)Q使得f(x,y,z)dvf(,)：(22)(222)2.13、设p(x)是a,b上的非负连续函数，f(x),g(x)是a,b上的连续单增函数，证明14、设f(x)是0,1上的连续单增函数，求证：15、设为由w1所确定的立体(0vawb

15、wc)，其密度函数p=p(z)为关于z的偶函数。试证：对任意的(xo,yo,zo)Q,关于(xo,yo,Zo)的转动惯量满足I(xo,yo,Zo)=(xXo)+(y22yo)+(zzo)p(z)dvwI(0,0,c).16、设是由曲面(a1X+dy+c1Z)+(a2X+b2y+Qz)+(a3X+b3y+C3z)=1所围的有界闭区域，,f(x,y,z)在上连续，试证：(E,n,Z)Q满足17、18证明：其中n为大于1的自然数。设f(x,y,z)在有界闭区域Q上连续，若f(x,y,z)dv=f(xo,yo,zo)V,V为的体积，试证：当f(xo,yo,zo)取到f(x,y,z)的最大值或最小值时f

16、(x,y,z)在必是一个常数。19、设Q为区域x2+y2+z2w1,P0(xo,yo,zo)为外的一点，试证：2O、设f(x)是O,1上的连续正值函数，且f(x)单调减少，证明不等式：五、其它题型(共2O小题，2O分)1、设f(x,y)为连续函数，交换二次积分的积分次序。2、按照三重积分的定义：.试问这里的X,(E.,n.,Z.)分别代表什么3、设f(x,y)是连续函数，交换积分的积分次序。4、设f(x,y)为连续函数，交换二次积分的积分次序。5、Q是由x2+y2+z2<2Rz(F>O)所确定的立体，试将f(xy)d化成球面坐标下的三次积分式。6、在形状为z=x2+y2的容器内注入

17、k立方单位的水，问此时水平面高度为多少，并求出高度对k的变化率。7、设f(x,y)为连续函数，交换二次积分的积分次序。8、试求由封闭曲面(x2+y2+z2)2=az(x2+y2),(a>0)所围立体的体积。9、设是由z=x2+y2,x2+y2=1以及z=0所围的有界闭区域，试将I=分别化成直角，柱面及球面坐标下的三次积分式。10、将积分化为在极坐标系中先对r积分的累次积分。11、Q是边长分别为a,b,c的长方体，若其内任一点处的体密度等于该点到一顶点距离的平方，试求是质量。12、F(t)=,其中f(u)为连续的偶函数，区域Qt:由|x+y+z|<t,|xy+z|<t,|x+yz|Wt来确定。求13、设f(x,y)是连续函数，交换积分14、.2平面薄片由曲线yexsinx,ysinx1x.2sinx1x2,x=O及所围成，其面密度函的积分次序。数为p(x,y)=x.试求薄片质量。D是由直线y=x,y=x15、将积分化为在极坐标系中的累次积分，其中及y=1所围成的区域。16、设Q是由以及1wx2+y2+z2