高考数学《平面向量的概念及线性运算》名师复习课导学练习案附答案解析

1、第1讲平面向量的概念及线性运算1. 考查平面向量的线性运算.2.考查平面向量的几何意义及其共线条件.【复习指导】本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别._'1.向量的有关概念(1) 向量是如何定义的？提示：(2) 零向量：长度为0的向量，其方向是口2的.(3) 单位向量：长度等于口3勺向量.(4) 平行向量：方向口4的非零向量.(5) 相等向量：长度至方向亘的向量.(6) 相反向量：长度口7方向3L的向量.温馨提醒：零向量和单位向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注

2、意它们的特殊性.2. 向量的加法与减法(1) 加法 向量的加法服从哪两种运算法则？提示： 向量的加法满足哪两种运算律？提示：(2) 减法：减法与加法互为逆运算，服从三角形法则.温馨提醒：(1)利用三角形法则进行加法运算时，两向量要首尾相连，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点.(2)利用三角形法则进行减法运算时，两个向量要有相同的起点，然后连接两向量的终点，并指向被减向量即为差向量.3. 实数与向量的积(1) 1入a匸I入la|.(2) 当11时,入a与a的方向相同：当口2时,入a与a的方向相反；当入=0时，入a=0.(3) 运算律：设入，卩R，贝U： 入(=13: (入+0a=14:

3、 入(a+b)=15.4. 两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入，使得口6温馨提醒：向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形.双基自测().1. D是厶ABC的边AB上的中点，则向量CD等于A. 一BC+qBAB.一BCqBA11C.BC一2BAD.BC+2BA2. 判断下列四个命题： 若a/b,则a=b；若|a|=|b|,则a=b；若|a|=|b|,则a/b；若a=b,则|a匸|b|正确的个数是().A.1B.2C.3D.43.若0，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是().a.EF=OF+OEb.EF=oF-oEc

4、.ef=-OF+oEd.ef=-oF-oE4. (2011四川)如图，正六边形ABCDEF中，BA+CD+EF=().A. 0b.Bec.Add.Cf5. 设a与b是两个不共线向量，且向量a+b与2a-b共线，则A.考向一平面向量的概念【例1】下列命题中正确的是（）.A. a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C. 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D. 有相同起点的两个非零向量不平行【训练1】给出下列命题：若A，B，C，D是不共线的四点，贝UAB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 若a=b,b=c,贝Ua=c；

5、 a=b的充要条件是|a匸|b且a/b； 若a与b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中正确命题的序号是.考向二平面向量的线性运算【例2】如图,ED,E,F分别是ABC的边AB,A. AD+BE+CF=0B. BD-CF+DF=0C. AD+CE-CF=0D. BD-BE-FC=0【训练2】在厶ABC中，AB=c,BC,CA的中点，则().AC=b,若点D满足BD=2DC,则AD=()A<1A3b+3c21吋-3c12D3b+3c考向三共线向量定理及其应用【例3】？设两个非零向量a与b不共线.(1) 若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(ab).求证：A,B,D三

6、点共线；(2) 试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.【训练3】已知a,b是不共线的向量，AB=也+b,AC=a+収入氏R），那么A,B,C三点共线的充要条件是（）.A.?+尸2B.A尸1C.入尹一1D.入话1第1讲平面向量的概念及线性运算（时间：60分钟）A级基础达标演练一、选择题1. 如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）.a、Ab=DCb、.Ad+Ab=ACc、Ab-a"d=Bdd、Ad+Cb=o2. 对于非零向量a，b,“a+b=0”是“a/b”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 设P是厶ABC所在平面内的

7、一点，BC+BA=2BP,则（）.a.ra+pB=ob.pC+rA=oC.PB+PC=0D.PA+PB+PC=014. 在ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB,CD=3CA+席，贝U入A*2C.、填空题5. 在？ABCD中，AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点，贝UMN=.用a,b表示)6. 给出下列命题： 向量AB的长度与向量BA的长度相等； 向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； 两个有公共终点的向量，一定是共线向量； 向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上.其中不正确的个数为.7在平行四边形

8、ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点.若AC=淀+斥，其中人口R，贝卩2+尸.三、解答题8.如图所示，ABC中，AD=3AB，de/BC交AC于E，AM是BC边上的中1)线，交DE于N.设AB=a，AC=b，用a，b分别表示向量AE,BC，DE，DN，AM，AN.B级综合创新备选、选择题1. （2010湖北）已知ABC和点M满足MA+MB+MC=0,若存在实数m,使得AB+AC=mAM成立，则m=（）.A.2B.3C.4D.5Tt'ABAC2. O是厶ABC所在平面内的一定点，动点P满足OP=OA+入t+,圧3B|AC|.0,+x），贝UP点的轨迹一定通过ABC的（）.A.外心B

9、.内心C.重心D.垂心二、填空题3. 在厶ABC所在的平面上有一点P,满足PA+PB+PC=AB,则厶PBC与厶ABC的面积之比是.4. 若点O是厶ABC所在平面内的一点，且满足|OBOC|=|OB+OC-2OA|,则ABC的形状为.三、解答题5. 如图，以向量OA=a,OB=b为边作？OADB,BM=3BC，CN=3CD，用a,b表示Om,On,MN；6. 已知O,A,B三点不共线，且OP=mOA+nOB,(m,nR).若m+n=1,求证：A,P,B三点共线；若A,P,B三点共线，求证：m+n=1.第1讲平面向量的概念及线性运算答案【要点梳理】既有大小又有方向的量任意l个单位长度相同或相反相

10、等同相等相反服从三角形法则和平行四边形法则a+b=b+a(交换律);(a+b)+c=a+(b+c)(结合律)入0入v0(入卩)a入a+口a入a+?bb=扫1双基自测1、A2、A3、B4、D5、-q【例1】解析由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C,其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所

11、以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C.答案C【训练1】答案【例2】解析VAB+BC+CA=0，A2AD+2BE+2CF=0，即AD+BE+CF=0.答案A【训练2】解析vBlD=2Dc，aAd-ABb=2(AC-Ad)，3Ad=2AC+AB.Ad=3AC+£AB=|b+gc.答案A【例3】证明AB=a+b，BC=2a+8b,ClD=3(a-b).二BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB.ABBD共线，又它们有公共点，.A，B，D三点共线.解tka+b与a+kb共线，存在实数入使ka+b=?(a+kb)，即(k-入a=(入-1)b.又a，b是两不

12、共线的非零向量，k-A入k1=0.k21=0.k=±.【训练3】解析由AB=b,AC=a+収入空R）及A,B,C三点共线得:tAC,所以斜b=t（a+坊ta+1b,即可得产t,所以入尹1.故选D.A级基础达标演练一、选择题1、C2、A3、B4、A114二、填空题5、-a+-b6、37、443三、解答题2218、解Afe=3b,BC=b-a,DE=3(b-a),DN=(ba),AM=2(a+b),AN=1(a+b).B级一、选择题1.B2.B解析OP=OA+入AB+,化为OP-OA=即AP=笔+牟'|AB|AC|.丿由于AB是AB上的单位向量i,AC是AC上|AC|ABACi+

13、j，由加法几何意义知,AP在ZBAC的平分线的单位向量j,所以晋+士=AB|AC|上，选B.二、填空题3.24.解析（等价转化法）OB+OC-2（OA=OB-OA+OC-OA=Ab+Ac,OB-oc=cb=AB-Ac.|Ab+Ac|=|ABAc|.故A,B,C为矩形的三个顶点，ABC为直角三角形.答案直角三角形三、解答题1115解BA=OA-OB=a-b,BM=$BA=xa_R,66615二OM=OB+BM=2a+b.又OD=a+b.66ON=oC+尹=2OD+gOD=3OD=2(a+b).mN=ON-oM=|a+3b-1a-|b=m+n=1.a*b.即OM=6a+|b,赤=2a+2b,MN耳£b.6. 证明(1)m,nR，且m+n=1,OP=mOA+