第一讲--正确认识数学

1、 一、数学是什么 二、数学的特点一、数学是什么数学是什么1.古代中国古代中国认为数学是术，是用来解决生产与生活问题的认为数学是术，是用来解决生产与生活问题的计算方法。计算方法。2.2.古希腊古希腊认为数学是理念，是关于世界本质的学问，数学认为数学是理念，是关于世界本质的学问，数学对象是一种不依赖与人类思维的客观存在，但可以通过亲对象是一种不依赖与人类思维的客观存在，但可以通过亲身体验，借助实验、观察和抽象获得有关知识。身体验，借助实验、观察和抽象获得有关知识。3.3.亚里士多德亚里士多德在把数量区分为离散的量（数）和连续的量在把数量区分为离散的量（数）和连续的量（线）后指出：研究数及其属性（如

2、奇偶性、对称性及比（线）后指出：研究数及其属性（如奇偶性、对称性及比例关系等）的学问叫算术，研究量及其属性（如对称、相例关系等）的学问叫算术，研究量及其属性（如对称、相交、平行等）的学科叫几何学。因此数学是研究量的科学。交、平行等）的学科叫几何学。因此数学是研究量的科学。评价评价:这个天才的定义，一直到这个天才的定义，一直到1919世纪末仍被多数哲学家、数世纪末仍被多数哲学家、数学家所接受。学家所接受。 数学发展史上的各种观点4.恩格斯恩格斯在反社林论中明确指出：“纯数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系。” 背景:19世纪以前古典数学的主要成就就是算术、几何学、代数学、微积分。这些学科

3、研究的都是客观事物的空间形式和数量。评价:对此，这一论述划清了数学同自然科学的界限，坚持了唯物主义观点，又优于亚里士多德的定义，受到数学家的普遍赞成，至今仍被经常采用。局限:由于近、现代数学的发展，数学的研究对象如今已超越出数量关系和空间形式的最初意义的理解。如“n维向量空间”、“函数空间”等只是形式上与一般空间概念有某些类似的模拟物。 5.笛卡儿认为，笛卡儿认为，无论是数学中的概念和命题，或是问题和方法，都应看作是一种具有普遍意义的模式。因此数学是研究一种广义的量模式结构的科学。背景: 由于各种抽象结构、形式体系和一般关系等都已成为现代数学的研究对象。法国布尔巴基学派就认为，一切数学都建立在

4、代数结构、序结构、和拓扑结构这三种母结构之上。 而近几十年发现了许多新的数学领域，应用数学的问题类型以空前的速度增长，其中最显著的是计算机及其应用的爆炸性发展，计算机技术和广泛应用统一的概念处理现实世界的各种模式已成为当今数学发展的一个决定性特点。 数学的研究对象已从原来的算术、代数、几何扩展到科学中的数据、测量、观测资料，推断、演绎、证明，自然现象、人类行为、社会系统的模型等。 6.从现代数学讲从现代数学讲，“数学是研究量和量变的科学，其中纯数学是研究纯粹的量的科学，它是数学的基础部分”。 背景:依据20世纪数学的发展状况来看，数学的用处渗透到一切科学领域，凡是要研究量、量的关系、量的变化、

5、量的关系的变化、量的变化的关系、量的关系的关系、量的变化的变化的时候，就少不了数学。“所以数学还研究变化的变化，关系的关系，共性的共性，循环往复，逐步提高，以至无穷”。数学本质的各种语言描述 数学是什么还有各种不同的描述 “数学是科学，数学更是创造性的艺术”； “数学是科学，数学也是一门技术”； “数学是一种语言”； “数学是一种文化”； “数学是思维的体操”等等。 1评述： .这正好反映了数学是一个多元的综合产物，不能简单地将数学等同于命题、法则和公式汇集成的逻辑体系，而应被看作一个由理论、问题、方法、语言等多种成分所组成的复合体。 2.如果从哲学的观点来刻画数学的本质，不外乎以下两种看法：

6、一种是动态的，将数学描述为处于成长发展中因而是不断变化的研究领域；另一种则是静态的，将数学定义为具有一整套已知的确定的概念、原理和技能体系。中学数学课程改革下的数学 综上所述: (1)对数学的本质的认识是发展变化的，它的对象思想方法无时不处在发展变化之中。因此，只能在各个历史时期对其对象和方法的本质特征加以概括，给出描述性的观点或定义，使人们有一个整体的数学观。 (2)同时，由于数学家的哲学观不同、角度不同、出发点不同，同一时期也会出现对数学不同的描述，既带有主观成分，又具有时代烙印，但它们都从某一侧面反映了数学的本质，为我们全面认识数学提供了一个视角。 (3)从中学的角度看，对数学本质的认识

7、，采取现象与本质并重，结果与过程并重，形式与内容并重，无疑具有重要的指导意义。 二、数学的特点 一般的，数学的特点被归纳为三性：抽象性、精确性、应用的广泛性。(一)数学的抽象性特征1、数学对象的抽象性研究对象：抽象的形式化的思想材料。思想材料：即她所研究的对象不是客观世界的具体物化形式或具体运动形态，实验观测不到。如：数、式、方程、函数；点、线、面、体；群、环、域；欧氏空间、线性空间等数学对象都是人类思想抽象的产物，虽可以找到它们形成的客观背景，但现实世界中没有这些对象物化形式的实际存在。数学的抽象是从事物的量和形上的抽象二、数学的特点 形式化：既指这些思想材料是用数学的特殊符号语言组织起来的

8、，我们能见到只是符号的表面形式，其内涵、内容、抽象的思想是隐藏在形式之下的。例如：”sinx”直观上只是符号、形式，其内涵是直角坐标系下，角x终边上任意一点到轴的距离与到原点距离的比值。二、数学的特点(一)数学的抽象性特征、数学理论的抽象性（一般性模式） 一个数学模型反映的往往是不同领域、不同学科内不同现象、不同问题的共同本质。例如： 这个最简单的一介微分方程可以描述：放射性同位素的衰变过程（化学）；某种细菌的繁殖过程（生物）；某个条件下的热传导过程（物理）；某个地区人口的变化过程（社会）等等dykydx二、数学的特点 (一)数学的抽象性特征 、数学方法的抽象性 数学的主要研究方式：思辨。数学

9、活动是人类抽象的思想活动，是一种思想实验。 数学的两种抽象方法：弱抽象与强抽象 、数学抽象的两个特点（）理想化（）形式化 有独特的符号系统；由假设推出结论二、数学的特点(二)数学的确定性特征1、数学的确定性由数学的抽象性决定 数学的抽象舍弃了事物个别的性质和具体的内容，保留了事物的共同的本质，这些本质的东西是稳定的、确定的，数学正是研究在一定数学运动变换下的不变性质。 数学方法的抽象性使得数学结论具有普适性、稳定性。例如：数学概念一定是明晰的，数学方法是可重复的二、数学的特点(二)数学的确定性特征2、数学的确定性是由逻辑方法本身的精确性确定。 数学推理的逻辑性确保了数学结论的确定性、精确性。逻

10、辑推理的基础是概念，概念必须是明晰的、给概念下定义必须遵循规则。逻辑推理要遵循逻辑规则。任何数学结论都是在概念的基础上、或原始命题的基础上，遵循逻辑的推理规则推导出来的，这样推出的结论具有客观性、可靠性，令人信服（可重复性）二、数学的特点(二)数学的确定性特征3、数学的确定性由公理化的结构决定。公理化方法就是在原始概念、公理的基础上通过逻辑的方法（精确定义、逻辑论证等）建立学科系统的过程。数学科学是通过公理化的方法建立起来的一个逻辑体系，逻辑推理是一个传递真值的过程，这就保证了在某一数学理论体系内的结论具有逻辑相容性，不会互相矛盾。二、数学的特点 (三)数学的广泛应用性特征 1、数学提供了特有

11、的思维训练 数学一直是学校教育的主要课程，因为数学是训练推理能力的最佳学科，她教你思考。 数学提供的特有思维训练有：数学化建立数学模型；抽象化为人类学习抽象思维提供最有效的途径；最优化寻求最有效、最经济的最优解；符号化用一种紧凑检阅的形式把自然语言推广到抽象概念的符号表示；随机化从各种不完全和不一致的原始资料进行估计和猜测；逻辑分析寻求前提中所蕴含着的东西以及寻求能结实所观测到的现象的基本原理二、数学的特点(三)数学的广泛应用性特征2、数学提供了科学的表达语言 枷利略：世界的奥秘是本巨大的书，而这本书是用数学语言写的。爱因斯坦：理论物理学家在描述各种关系时，要尽可能达到最高标准的严格精确性，这

12、种标准只有用数学语言才能做到。 数学是各种科学的通用语言。也是世界各民族的共同语言。 数学语言（在教育中）分为：自然语言、图形语言、符号语言。二、数学的特点(三)数学的广泛应用性特征3、数学提供了抽象思维的模式 数学为解决实际的和科学理论的非数学问题提供了抽象思维的模式，例如为非数学问题转化为数学问题提供具体的数学模型，为构造数学模型提供抽象方法。4、数学提供了科学理论的示范作用 数学公理化方法的成功为其他学科的发展提供了示范，很多学科都把本学科的公理化作为发展的目标，数学所提供的这种示范导致“科学数学化”的趋势。5、数学提供了不可思议的实践领域的应用 著名数学家华罗庚在大哉数学之为用一文中精彩的指出“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁”无不是显现数学的身影，数学已成为一切技术发展和现实问题解决的最重要工具二、数学的特点(四)数学活动的探索性特征数学活动包括：数学研究活动，数学认识活动，数学实践活动。数学的探索性特征：指数学活动要运用一般科学的探索方法，包括：观察、实验、想象、直觉、猜测、验证、反驳。数学活动都要经历发现问题，提出假设，验证猜想三