高级中学第三次模拟数学(理科)

1、深圳高级中学第三次模拟数学（理科）2019.12.20本试卷共4页，20小题，满分150分.考试用时120分钟.参考公式：1 43锥体体积VSh（其中S是底面积，h是咼），球体体积VR（其中R是半径）.3 3、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如图1,正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线BDi与AD所成的角等于A.30B.45C.60D.902.要得到函数y二cos2x的图象，只要将函数y二sin2x的图象I4丿JTA.向左平移一个单位8C.向左平移一个单位4B.向右平移二个单位8D.向右平移匸个单位43.设X=a,

2、b,Y=c,d都是闭区间，则“直积”XY=（x,y）|xX,yY表示直角坐标平面上的A.一条线段B.两条线段C.四条线段D.包含内部及边界的矩形区域4.设f(x)=C0_C：xCjx2_C：x3C：x4A.4(1x)3B.4(1x)3log1(x!)x5.函数y=39在定义域内有1A.取大值1B.最小值一446.公差不为零的等差数列an中，a2,a3,A.1B.2则导函数f'（x）等于C.4(1x)3D.4(-1-x)3C.最大值D.最小值二22a6成等比数列，则其公比q为7.已知向量a,b,x,y满足|a|=|b|=1,ab=0，且B.2.5a=-x+yb=2x-yC.3,5则|x|

3、y|等于8已知点（x,y）所在的可行域如图2所示.若要使目标函数z=axy取得最大值的最优解有无数多个，则15B.C._43a的值为3D.-5D.7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.把答案填在题中横线上.9.将编号分别为1,2,3,4,5的五个红球和五个白球排成一排，要求同编号球相邻，但同色球不相邻，则不同排法的种数为（用数字作答）.10.若厶ABC的三个内角满足sin2A=sin2BsinBsinCsin2C，则/A等于.11.据研究，甲、乙两个磁盘受到病毒感染，感染的量y（单位：比特数）与时间x（单位：秒）的函数关系式分别是y甲=ex和y乙=x2.显然，当x_1时，甲磁盘

4、受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大.试根据上述事实提炼一个不等式是.f（一1）：f（lgx）的解集旦12 .若偶函数f（x）在（_：,0内单调递减，则不等式13 .如图3,有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水的高度为h，放入一球后，水面恰好与球相切，则球的半径为（用h表示）.14 .给出下列四个命题：x22且x1x21: 设X1,X2R，则x11且X21的充要条件是 任意的锐角三角形ABC中，有sinAcosB成立； 平面上n个圆最多将平面分成2n2-4n4个部分； 空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角.其中真命题的序号是（要求写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大

5、题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15. (本小题满分12分)设有同频率的两个正弦电流片=3sin(100二t),l2=sin(100二t)，把它们合成36后，得到电流I=“*I2.(1) 求电流I的最小正周期T和频率f;(2) 设上_0,求电流I的最大值和最小值，并指出I第一次达到最大值和最小值时的t值.16. (本小题满分12分)如图4,正三棱柱ABC-AEG中,AA=AB=1,P、Q分别是侧棱BB1、CC1上C1QC图4(其中为f(x)在点x=的点，且使得折线APQAi的长AP-PQQA!最短.(1) 证明：平面APQ_平面AA1C1C;(2) 求直线AP与平

6、面APQ所成角的余弦值.17. (本小题满分14分)已知函数f(x)满足f(x)=x3导数，C为常数).(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若方程f(x)=0有且只有两个不等的实数根，求常数C;(3) 在(2)的条件下，若f一丄.0，求函数f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的I3丿面积.18. (本小题满分14分)如图5,G是厶OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且点共线.(1)(3)设PGW.PQ，将OG用，、OP、OQ表示；设OPxOA,OQ=yOB，证明：丄丄是定值;xy记厶OAB与厶OPQ的面积分别为S、T.求TS19.(本小题满分14分)3已知数列an的前n项和Sn

7、=2n，nN.(1)求an的通项公式；(2)设nN+,集合An二y|y二q,i_n,iN,B二y|y=4m1,m二N.现在集合An中随机取一个元素y，记yB的概率为p(n)，求p(n)的表达式.20.(本小题满分14分)如果对于函数f(x)的定义域内任意的x1,x2，都有If(Xj-f(x2)|勻捲-x21成立,那么就称函数f(x)是定义域上的“平缓函数”.(1)判断函数f(X)=X2-X,0,1是否是“平缓函数”；(2) 若函数f(x)是闭区间0,1上的“平缓函数”，且f(0)=f(1).证明：对于任意_1的X1,X20,1，都有|f(X1)-f(X2)|成立.2(3) 设a、m为实常数，m

8、0.若f(x)二alnx是区间m,：)上的“平缓函数”试估计a的取值范围(用m表示，不必证明).数学（理科）参考答案及评分标准本试卷共4页，20小题，满分150分.考试用时120分钟.、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案DADBACBD、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分把答案填在题中横线上.9.240.10.120°11.exa2x12.(0,-1)(10,.1013.h31514.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15.（本小题满分12

9、分）.兀设有同频率的两个正弦电流"3sin（100二t）,12二sin（100二t）,把它们合成36后，得到电流I亠I2.（1）求电流I的最小正周期T和频率f;（2）设上_0,求电流I的最大值和最小值，并指出I第一次达到最大值和最小值时的t值.解：（1）（法1）vIT|2F3sin（100二t）sin（100二t）36A；QQA二3（-sin100”：tcos10：t）=sin10-cos100：t）2分=.3si门100=cos10t=2sin（100二t）,兀1电流I的最小正周期T=一一,频率100兀501 f506分T（法2）TI詁12»3sin（100二t）sin（

10、100二t）36=.3sin（100”:t）sin（100二t）3323Tj二3sin（100“:t）_cos（100二t）332分兀=2sin（100t）64分流I的最小正2二100二150，频率1f50.T（2）由(1)当100我6匕2厂即3二50300k1当100二t2k二，即t62501而t_0,I第一次达到最大值时，300次达至UImax=2；75+75，12分Imin16.(本小题满分12分)如图4,正三棱柱ABC-AEG中，AA=AB=1,的点，且使得折线APQA的长AP-PQQA,最短.(1) 证明：平面APQ_平面AA1C1C;(2) 求直线AP与平面APQ所成角的余弦值.解

11、：(1)v正三棱柱ABC-ABC1中，AA二AB=1,将侧面展开后，得到一个由三个正方形拼接而成的矩形P、Q分别是侧棱BB1、CC1上B1AB1C1rC声一QBCa'a'A"a"（如图）,A'A"A"A'ABA面（2）（法一）由（2）,同理可证平面APQ_平面从而，折线APQAi的长APPQQAi最短，当且仅当A'、P、Q、A"四点共线,Q分别是BBi、CCi上的三等分点，其中1BP_GQ32分（注：直接正确指出点P、Q的位置，不扣分）连结AQ，取AC中点D，AQ中点E，连结BD、DE、EP.由正三棱柱的

12、性质，平面ABC_平面AA1C1C,而BD_AC,BD二平面ABC,平面ABC平面AA1C1AC,BD_平面AA1C1C1又由（1）知，DECQ/BP,一2-四边形BDEP是平行四边形，从而PE/BD.PE_平面AA1C1C.而PE平面APQ,.平面AA1C1C.33AA,BiB.10分而AP平面AA3B，平面APQ平面AA,BiB=AP,A1P即为AP在平面APQ上的射影,从而.APA是直线AP与平面APQ所成的角.在厶APA中，AA=1,AP二AB2BP2=虫312分PA-啓厂BF2手,由余弦定理，即直线cos/APA=1013,199,10、132-_7130一130AP与平面A1PQ所

13、成值为7.130130（法二）取BC中点O为原点，OA为x轴，OC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，由（1）及正三棱柱的性质，可求得：.3,31112A（二-,0,0）,A（二-,0,1）,P（0,-二，；）,QO；,；）.222323-,1）,2314分从而AP=(3,2AP=(-¥，冷223），人于冷冷）10分设平面A1PQ的一个法向量为n二（x,y,z）,n丄AP,所以n丄AQA,P=0AQ=0得x=z31y=z/3仝1223311cxyz=0223xy厶=012分取z=-3，得x=.3,y=1,n=(3,1,3).从cos：AP,nAPnIAPP<|n|9

14、寻+冷+（1卜必引+12+3n0即直线AP与平面APQ所成角的正弦值为|cos：AP,n,V130直线AP面A1PQ所成角的余弦值为2713013014分已知函数f（x）满足f(xx3f'|xxC(其中f'2为f(x)在点x处的导数，C为常数）.17.（本小题满分14分）(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若方程f(x)=0有且只有两个不等的实数根，求常数C;(3) 在(2)的条件下，若f一1.0，求函数f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的13丿面积.解：(1)由f(x)=x3f'2x2xC，得f'(x)=3x22f'-x-1.13丿(3.丿取x=

15、2，得f'?、322f'-2-1，解之，得f'->-1,313丿£丿13丿£丿13丿f(x)=x3-x2-xC.2分从而f'(x)=3x22x-1=3x1x-1,I3丿列表如下：x(-00，-3)13(-1，1)1(1,+f'(x)+0一0+f(x)/有极大值有极小值/1f(x)的单调递增区间是(：，)和(1厂二)；f(x)的单调递减区间是31八(-打)4分332f(x)极小值=f(1)=1-1一1C-1C-6分方程f(x)=0有且只有两个不等的实数根，等价于f(x)极大值-0或f(x)极小值=0.8分5常数C或27C=1.9分

16、(3)由(2)知，f(x)=x3-x2-x或f(x)=x3-x2-x-1.27令f(x)=x3-x2-x1=0,x2=1.12分求封“413一X一X03-x2-x1dx=18.(本小题满分14分)5,G是厶OAB的重心,如图点共线.(1)设PG二PQ，将0G用、设OP=xOA，OQ=yOB，2(x1)2(x1)=0,14分Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、OP、OQ表示；11证明：是定值；xy记厶OAB与厶OPQ的面积分别为S、T.求T的取值范围.S解：(1)OG=OPPG=OP，PQ=OP，(OQOP)(3)Q二(1_)OPOQ.(2)方面,由(1),得OG=(1知OP+jQQ=(1k

17、)xOA+hyOB;另一方面，G>OAB的重心,221-11OGOM(OAOB)OAOB.332334分而OA、OB不共线，1(1一対x=;,3q1扎y=_.3丄=3-3丸,解之，得x,一=3扎值).由、，得6分11二3(定xy10分f(x)=X3-X2-X1.(3)1|OP|OQ|sin.POQ1|OA|OB|sin.AOB|OP|OA|叫xy|OB|10分1 1由点P、Q的定义知x乞1,y乞1:2 21 1T1且x时，y=1；x=1时，y.此时，均有一=一2 2S22 2宀亠T4x时，y.此时，均有一3 3S9以下证明：4<I<1.9S2（法）由(2)知x3x-1S93x

18、-19_(3x2)2一9(3x-1)04-9>-T-sx2(x-1)(2x-1)3x-12(3x-1)04 19,2-14分x2（法二）"3x1（x丄）9（込）、1+-:：S3.9t3-1，则Tt丄3T1利用导数，容易得到，关于t的函数T=-1+一S3.9t12、,3311,3上单调递增.12分T112=4Smin3333912而汽或匕时，均有F、1.SJmax3I64 19,2.14分注：也可以利用“几何平均值不小于调和平均值”来求最小值19. （本小题满分14分）-1),nN.3已知数列an的前n项和Sn=-（an（1）求an的通项公式；（2）设n：二N+,集合A=y|y=

19、q2,i_n,i三N,B=y|y=4m亠1,m三N.在集合An中随机取一个元素y，记y-B的概率为p（n），求p（n）的表达式.3 3解：（）因为&=2（an-1）,nN亠，所以Sn彳（an十一1）.3 3两式相减，得Sn1-Sn（a*1-an），即an1（a*1-a.）,22an1二3an又S1玉1-1），即a1=3佝-1），所以印=3.22二an是首项为3，公比为3的等比数列.=3n从而an的通项公式是annN(2)设y=ai=3_An,iEn,nN.当i=2k,kN时，y=32k=9k=(8+1)k=c08k+c：8kJ+CkCk"=4汇2(。082+C：8k_2yB.当i=2k-1,kN时，12分y=32k4=3><(8+1)k4=3x(c0j8k4+CiL8k/+。拧8+。刖)=4X6(C048kJ+C：斗8k，+y'B又集合An含n个元素，在集合An中随机取一个元素y,有yB-,n为偶数，p(n)=«2I.14分,n为奇数.i2n20. (本小题满分1