高等数学第三版上册第三章第三节习题33

1、高等数学第三版上册第三章第三节习题33高等数学第三版上册第三章第三节习题3.3第三节函数的最值求6065题中函数的最大值和最小值。60x0,4解：y'值y=4+4=861 y=sin3x+cos3x,x-n3n,44-n3n,44>0，函数为增函数，没有驻点。在x0,4上，最小值y=0，最大解：y'=3sin2xcosx-3cos2xsinx=3sinxcosx(sinx-cosx)，令y'=0，在x内，得驻点x=0，x=f(,x=。算出这些点和端点的函数值：24)=0,f(0)=1,f()=,f()=1.f()=0,得最小值y=0，最大值y

2、=1。4442262 y=arctanx0,11+x1-x2xx(1+x)211,解：y'=(=，令y'=0，在x0)'=?22221+x(1+x)(1+x)2(1+x)1+()1+xy'>0，函数为增函数，得最小值y=0，最大值y=x-1,1解：y'最大值y=3。64 y=x-(x-1),x(0,2)解：y'=222(x-1)-xx-x(x2-1)=?1，令y'=0，在x(0,2)有一个驻点x3(x2-1)3，)内，y'>0，在(，2)内y'()3，没有最小值。265 .y=xx,x(0.1,+oo)解：y&

3、#39;=lnx+1?y'=xx(Inx+1)，令y'=0，在x(01.,+)o有一个驻点x=，在(0.1，)内y'0，所以函数eee有最小值y=()e，没有最大值。66 .证明：若a>1,则对于任意的x0,1均有xa+(1-xa)>证明：设函数f(x)=xa+(1-x)a，f'(x)=axa-1-a(1-x)a-1，令f'(x)=0，对于任意的x0,1，有x=数有最小值y=，在(0，)内y'0，所以函222，即证之。a-167 试证面积为定值的矩形中，正方形的周长最短。证明：设矩形的面积为s，矩形的边长分别为a和b，周长C为C=2(

4、a+b)，又是s=ab,C=2(a+)，根据实际情况，矩形面积一定，一定存在一个周长最小值问题，即：C'=2(1-2)，令C'=0，得s=a2,68 下水道的截面是矩形与半圆所构成，当截面为定值A时，试问矩形的底为多少时，该截面的周长s最短。解：设矩形的底为x，其另一条边为y，根据题意：2A2Ax2C'=1-2,A=xy+n,而C=x+2y+nx,即卩C=x+，令C'=0,xx269 .有一个半径为R的圆形广场，在广场中心的上方设置一灯。问灯设有多高使广场周围的环道最亮？已知当灯高为x时，照明度y有y=比例系数。解：根据题意,照明度y=kCOSa，而COSa=2

5、2kCOSax2+R2x(x2+R)kx(x2+R)k(x+R)(x2x+R2)322，令y'=0，得x-x+R=0，解得2(x+R)170 一炮艇停泊在距海岸(设之为直线)9km处，派人送信给设在海岸线上距该艇的司令部，若送信人步行速率为5km/h,戈咖速率为4km/h，问他在何处上岸到达司令部的时间最短？解：如图设他在距司令部xkm处上岸到达司令部的时间最短，所用全部时间为y，则有92+(15-x)2xy=令y'=0,得:x=3,x=27(舍去)根据实际情况知,存在一个最小值问题,故当x=3时,到达司令部的时间最短.71 设有一个T型通道，现在拟将一批长6米的管子由A处移到B处。移动时，要求管子与地面保持平行，若A、B处通道的宽度分别为2m和3m，试问这批管子能否按要求移位。解：设MN长I(m)，求线段I的最小值，当最小值米，就能位移+,a0,?sinaCOSa?2?I'=-3COtaCSCa+2tanaSeCa,令I'=0得cota=2，驻点唯一，且为最小值，I=(9+4)1.5故,这批管子能否按要求移位。72 用直径为d的圆柱木材加工横断面为矩形的梁，若矩形高为y，宽为x，则梁的强度与xy2成正比，试问高与宽成什么比例时梁的强度最大？解：设梁的强