高考数学理科一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

1、高考数学（理科）一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案学案21两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目标：1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用自主梳理1.（1）两角和与差的余弦（a+B）=(aB)=(2)两角和与差的正弦（a+B）=(a一B)=(3)两角和与差的正切tan(a+B)=tan(aB)=(a,B,a+B,a均不等于kn+n2,kZ)其变形为：tana+tanB=tan(a+B)(1tanatanB),tanatanB=tan(

2、aB)(1+tanatanB)2 辅助角公式asina+bcosa=a2+b2sin(a+),其中cos$=,sin=,tan$=ba,角$称为辅助角.自我检测1 .(2010福建)计算sin43°cos13°cos43°sin13°的结果等于()A.12B.33C.22D.322 .已知cosan6+sina=435，贝Usina+7n6的值是()A.235B.235C.45D.函数f(x)=sin2xcos2x的最小正周期是()A.n2B.nC.2nD.4n4.(2011台州月考)设OWa2n,若sina3cosa,贝a的取值范围是()A.n3,n2

3、B.n3,nC.n3,4n3D.n3,3n25.(2011广州模拟)已知向量a=(sinx,cosx),向量b=(1,3)，则|a+b|的最大值为()A.1B.3C.3D.9探究点一给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例1求值：(1)2sin50°sin10°(13tan10°)2sin280°；(2)sin(0+75°)+cos(0+45°)3cos(0+15°).变式迁移1求值：(1)2cos10°sin20°sin70°；(2)tan(n60)+tan(n6+0)+3tan(n60)ta

4、n(n6+0).探究点二给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2已知口0Pn4a3n4,cosn4a=35,n4+B=513,求sin(a+P)的值.变式迁移2(2011广州模拟)已知tann4+a=2,tanP=12.(1) 求tana的值；(2) 求sina+P2sinacosP2sinasinP+cosa+P的值探究点三给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3已知0an2Bn,tana2=12,cos(3a)=210.(1) 求sina的值；(2)求3的值变

5、式迁移3(2011岳阳模拟)若sinA=55，sinB=1010，且A、B均为钝角，求A+B的值.转化与化归思想的应用例(12分)已知向量a=(cosa，sina)，b=(cos3，sin3)，|ab|=2(1)求cos(a3)的值；(2) 若一n230an2,且sin3=513，求sina的值【答题模板】解(1)v|ab|=255,aa22ab+b2=45.2分又a=(cosa,sina),b=(cos3,sin3),aa2=b2=1，ab=cosacos3+sinasin3=cos(a3)，4分故cos(a3)=a2+b2452=2452=35.6分(2)Vn230an2,A0a3n.Vc

6、os(a3)=35，asin(a3)=45.8分又vsin3=513,n230,acos3=1213.9分故sina=sin(ap)+B=sin(ap)cosB+cos(ap)sinp=45X1213+35X513=3365.12分【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|ab|=255，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将a变为(ap)+p.【易错点剖析】|ab|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点1转化思想

7、是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换，幂的升降变换等等2 变换则必须熟悉公式分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件3 恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化4 基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数，化为同次幂，化为比例式，化为常数（满分：75分）一、选择题（每小题5分，共25分）1.（2011佛山模拟）已知sina+n3+sina=435,则cosa+2n3等于（）A.45B.35C.35D2.已知cosa+n6sina=233，贝»sina-

8、7n6的值是（）A233B.233C23D.233 .（2011宁波月考）已知向量a=sina+n6,1,b=（4,4cosa3），若a丄b,贝Usina+4n3等于（）A.34B.14C.34D.函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴方程是（）A.x=5n4B.x=3n4C.x=n4D.x=n25 .在厶ABC中，3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则C的大小为（）A.n6B.56nC.n6或56nD.n3或23n题号12答案二、填空题（每小题4分,共12分）6（2010重庆）如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C

9、上）且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为ai(i=1,2,3)，则cosa13cosa2+a33a13sina2+a33=7.设sina=35n2an,tan(n3)=12,贝tan(a3)=.8.（2011惠州月考）已知tana、tan3是方程x2+33x+4=0的两根，且a、3n2,n2,贝Utan(a+3)=，a+3的值为_三、解答题（共38分）9.(12分)(1)已知a0，n2,3n2,n且sin(a+3)=3365，cos3=513.求sina；(2)已知a,3(0,冗），且tan(a3)=12，tanB=17,求2ap的值.10(12分)(2010四川)(1)证明两角和的余弦公式C

10、(a+B):COS(a+B)=COSaCOS3asin3；由C(ap)推导两角和的正弦公式S(ap)：Sin(a+3)=SinaCOS3+COSaSin3.(2)已知ABC的面积S=,ALAS=3,且cosB=35,求.(14分)(2011济南模拟)设函数f(x)=ab,其若函数f(x)=1-3,且xn3,n3,求x;(2)求函数y=f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y=f(x)在区间0,n上的图象.答案自主梳理1.(1)COSacospsinasinBCOSaCOSB+sinasinB(2)sinacosB+cosasinBsinacosBcosasinB(3)tana+tanB1

11、tanatanBtanatanB1+tanatanB2.aa2+b2ba2+b2自我检测1A2.C3.B4.C堂活动区例1解题导引在三角函数求值的问题中,要注意“三看”口诀,即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算的角转化,合理拆角,化异为同；(2)看名称,把算式尽量化成同一名称或相近的名称,例如把所有的切都转化为弦,或把所有的弦都转化为切；(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式如果满足则直接使用,如果不满足需转化一下角或转换一下名称,就可以使用解(1)原式=2sin50°+sin10°1+3sin10°cos10°2sin80=2sin50°

12、;+sin10°cos10°+3sin10°cos10°2sin80°=2sin50°+2sin10°12cos10°+32sin10°cos10°2cos10°=2sin50°+2sin10°sin40°cos10°2cos10°=2sin60°cos10°2cos10°=22sin60°=22X32=6.(2)原式=sin(9+45°)+30°+cos(9+45°

13、)-3cos(9+45°)-30°=32sin(9+45°)+12cos(9+45°)+cos(9+45°)-32cos(9+45°)-32sin(9+45°)=0.变式迁移1解(1)原式=2cos30°20°-sin20°sin70°=3cos20°+sin20°-sin20°sin70°=3cos20°sin70°=3.(2)原式=tan(n69)+(n6+9)1tan(n6

14、9)tan(n6+9)+3tan(n69)tan(n6+9)=3.例2解题导引对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧解cosn4a=sinn4+a=35,TOBn4a3n4,n2n4+an,3n43n4+Bn.cosn4+a=1sin2n4+a=45,n4+B=1sin23n4+B=12sinn+(a+B)=sinn4+a+3n4+B=sinn4+acos3n4+B+cosn4+asin3n4+B=35X121345

15、X513=.sin(a+B)=变式迁移2解由tann4+a=2,得1+tana1tana=2，即1+tana=22tana，tana=(2)sina+B2sinacosB2sinasinB+cosa+B=sinacosB+cosasinB2sinacosB2sinasinB+cosacosBsinasinB=sinacosBcosasinBcosacosB+sinasinB=sinaBcos&#6

16、1480;aB=tan(aB)=tanatanB1+tanatan=13121+13X12=例3解题导引(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则： 已知正切函数值，选正切函数； 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,n2,选正、余弦皆可；若角的范围是(0,n)，选余弦较好；若角的范围为一n2,n2,选正弦较好(2)解这类问题的一般步骤： 求角的某一个三角函数值； 确定角的范围； 根据角的范围写出所求的角解(1)Ttana2=12,sina=sin2a2=2sina2cosa2=2sina2cosa2sin2a2cos2a2=2ta

17、na21+tan2a2=2X121+122=(2)TOan2,sina=45,-COSa=又0an2n,Oan.由cos(Ba)=210,得sin(3a)=7210.sin3=sin(3a)+a=sin(3a)cosacos(3a)sina=7210X35210X45=25250=22.由n23n得3=34n.（或求cos3=22,得3=34n）变式迁移3解AB均为钝角且sinA=55,sinB=1010,cosA=1sin2A=25=255,B=1sin2B=310=31010.cos（AB）=cosAcosBsinAsinB=255X3101055X1010=22.又Tn2An,n2Bn,

18、.nA+B2n.由，知A+B=7n后练习区1D2.D3.B4.A5.A6127.2118.323n9 .解（1）TBn2,n,cos3=513,sin3=1213.（2分）又T0an2,n23n,n2a+33n2，又sin（a+3）=3365,.cos（a3）=1sin2a3=133652=5665,（4分）.sina=sin（a+3）3=sin(a+B)cosBcos(a+B)sinB=336551356651213=35.(6分)(2)vtana=tan(aB)+B=tanaB+tanB1tan

19、aBtanB=12171+12X17=13,(8分)tan(2aB)=tana+(aB)=tana+tanaB1tanatanaB=13+12113X12=1.(10分)va,B(0,n),tana=131,tanB=170,0an4,n2Bn,一n2aB0,.2aB=3n4.(12分)10 (1)证明如图，在直角坐标系xOy内作单位圆Q并作出角a、B与一B，使角a的始边为Qx,交OO于点P1,终边交OO于点P2;角B的始边为QP2终边交OO于点P3;角B的始边为0P1,终边交OO于点P4.贝yP1(1,0),P2(COSa,sina),P3(cos(a+B),sin(a+B),P4(cos(B),sin(B),(2分)由|P1P3|=|P2P4|及两点间的距离公式，得cos(a+B)12+sin2(a+B)=cos(B)cosa2+sin(B)sina2,展开并整理得：22cos(a+B)=22(cosacosBsinasinB)，c