高二数学函数的单调性(三)

1、高二数学函数的单调性1.31课题：函数的单调性教学目的：1. 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2. 掌握利用导数判断函数单调性的方法教学重点：利用导数判断函数单调性教学难点：利用导数判断函数单调性授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：以前，我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x1,x2I，且当x1Vx2时，都有f(x1)Vf(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数.对于任意的两个数x1,x2I,且当x1Vx2时，都有f(x1)f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小

2、并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单教学过程：、复习引入：1.常见函数的导数公式：2222.法则1法则2,法则3二、讲解新课：1.函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像可以看到：y=f(x)=x24x+3切线的斜率厂(x)(2,+8)增函数正0(乂,2)减函数负v0在区间(2，8)内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即0时，函数y=f(x)在区间(2,+%)内为增函数；在区间(一8,2)内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x)在区间(一

3、8,2)内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数2.用导数求函数单调区间的步骤： 求函数f(x)的导数f(x). 令厂(x)0解不等式，得x的范围就是递增区间. 令f(x)v0解不等式，得x的范围，就是递减区间.三、讲解范例：例1确定函数f(x)=x22x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f(x)=(x2-2x+4)=2x2.令2x20，解得x1.当x(1,+R)时，f(x)0,f(x)是增函数.令2x-2v0，解得xv1.当x(

4、a,1)时，厂(x)v0,f(x)是减函数.例2确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f(x)=(2x36x2+7)=6x212x令6x212x0,解得x2或xv0当x(a,0)时，厂(x)0,f(x)是增函数.当x(2,+a)时，f(x)0,f(x)是增函数.令6x212xv0，解得0vxv2.当x(0,2)时，厂(x)v0,f(x)是减函数.例3证明函数f(x)=在(0,+a)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1,x2(0,+a)设x1vx2.f(x1)f(x2)=tx10,x20，二x1x20txlvx2，二x2x10,0f(

5、x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2) f(x)=在(0,)上是减函数.证法二：(用导数方法证)t=()=(1)?x2=,x0,-x20,.v0., f(x)=在(0,+8)上是减函数.点评：比较一下两种方法,用求导证明是不是更简捷一些如果是更复杂一些的函数,用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4确定函数的单调减区间例5已知函数y=x+,试讨论出此函数的单调区间.解：y=(x+)=11?x2=令0.解得x1或xv1. y=x+的单调增区间是(一8,1)和(1,+8).令v0,解得1vxv0或0vxv1. y=x+的单调减区间是(1,0)和(0,1)四、课堂练习：1确定下列函

6、数的单调区间(1)y=x39x2+24x(2)y=xx3解：y=(x3-9x2+24x)=3x218x+24=3(x-2)(x-4)令3(x-2)(x-4)0,解得x4或xV2.二y=x3-9x2+24x的单调增区间是(4,+)和(乂,2)令3(x-2)(x-4)V0,解得2VxV4.二y=x3-9x2+24x的单调减区间是(2，4)解：y=(x-x3)=1-3x2=-3(x2-)=-3(x+)(x-)令3(x+)(x-)0,解得Vxv.y=x-x3的单调增区间是(一,).令3(x+)(x)V0,解得x或xV-. y=xx3的单调减区间是(一,)和(,+x)2. 讨论二次函数y=ax2+bx+c(a0)的单调区间.解：y=(ax2+bx+c)=2ax+b,令2ax+b0，解得x y=ax2+bx+c(a0)的单调增区间是(-,+)令2ax+bV0,解得xV-. y=ax2+bx+c(a0)的单调减区间是(-,-)3. 求下列函数的单调区间(1)y=(2)y=(3)y=+x(1)解：y=()=当xM0时，一v0，二yv0. 丫=的单调减区间是(一汽0)与(0,+)解：y=()当xm3时，一V0，二yv0.丫=的单调减区间是(一,3),(3,3)与(3,+x).解：y=(+x):当x0时+10