高中数学不等式习题及详细答案

1、、选择题51.已知x>-，则2A.最大值42.x>0,y>0,3.a>0,b>0C.4.第三章不等式2x4x+5f(x)=有(2x4B.最小值-4则(x+)2+(y+)2的最小值是(2y2xC.最大值1C.D.最小值1则下列不等式中不成立的是(a+b+12J2v'ab22L>a+b.abD.已知奇函数f(x)在(0,+)上是增函数，且的解集为(A.(1,0)U(1,+)C.(3,1)U(1,+3)D.11(a+b)(丄+丄)abf(1)=0,则不等式(31)U(0,(1,0)U(0,25.当0vx<n时，函数f(x)=1+cos2x+8sinX

2、的最小值为(2sin2x1)B.23C.46.若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是(A.18C.237.若不等式组x+3y>4，所表示的平面区域被直线3x+y<4部分，则k的值是(f(x)f(x)v01)4y=kx+分为面积相等的两37-3A-4-3C.&直线x+2y+3=0上的点P在xy=1的上方，且P到直线2x+y6=0的距离为3.5，则点P的坐标是().A.(5,1)B.(1,5)C.(7,2)9.已知平面区域如图所示，z=mx+y(m>0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m的值为().207B.20C.D.不存在110.当x>

3、1时，不等式X+门>a恒成立，则实数aD.(2,7)的取值范围是().B.2,+)C.3,+3)D.(,3、填空题"(xy+5)(x+y)>011. 不等式组所表示的平面区域的面积是9<x<3x+2y3w012. 设变量x,y满足约束条件x+3y3>0,若目标函数z=ax+y(a>0)仅在点(3,y1w00)处取得最大值，则a的取值范围是.13. 若正数a,b满足ab=a+b+3，贝Uab的取值范围是.14. 设a,b均为正的常数且x>0,y>0,+b=1，则x+y的最小值为.xy15. 函数y=loga(x+3)1(a>0，且a

4、*1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0,贝U丄+-的最小值为.mn16.某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p1，第三年比第二年增长的百分率为P2,若P1+P2为定值，则年平均增长的百分率P的最大值为.三、解答题217. 求函数y=x+7x+1°&>_i)的最小值.x+118. 已知直线I经过点P(3,2)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A,B两点，当AOB面积最小时，求直线I的方程.19. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润

5、5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨那么该企业可获得最大利润是多少？20. (1)已知xv5，求函数y=4x1+一的最大值；44x5参考答案1. D解析：由已知f(x)=x4x+5=(x2)+12x-42(x2)x_2)+丄12(x-2)xl2当且仅当x-2=丄，即x=3时取等号.x-22. C解析:(x+却2+(y+F=x2+1x4X2x2+六+y2+4y+仝+y.lyx丿21/x2+七>24xx212=1,当且仅当x24x1-4xx=二时取等号;2y2+去4y2"4；2=1,当且仅当21y4y2y=时取等号;

6、2xx=2(x>0,y>0），当且仅当-=-,y2=x2时取等号.yxx2+承汁y2+2!+-+丄p1+1+2=4，前三个不等式的等号同时成立2时，原式取最小值，故当且仅当x=y='-时原式取最小值4.23. D解析:2ab方法一：特值法，如取a=4,b=1,代入各选项中的不等式，易判断只有丄空>一aba+b不成立.方法二：可逐项使用均值不等式判断A:a+b+2Jab+22ab=2.2，不等式成立.vablabYJab|11d111B：va+b>2ab>0,+丄>2一>o,相乘得(a+b)(+)>4成立.abVabab22C：va2+b2

7、=(a+b)2-2ab>(a+b)2-2；=2兰辿；,I2丿i2丿22又JObW兰卫二>2,a二>a+b成立.2v'aba+bTabD:a+b>2ab=丄w1ab2、ab型w2ab=.ab，即空kabab2、abab不成立.4.D解析：因为f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x),f(x)_f(-x)v_2f£x)vo=xf(x)v0,满足x与f(x)异xx号的x的集合为所求.因为f(x)在(0,+8)上是增函数，且f(1)=0,画出f(x)在(0,+)的简图如图，再根据f(x)是奇函数的性质得到f(x)在(-,0)的图象.由f(x)的图象可知，当且

8、仅当x(-1,0)U(0,1)时，x与f(x)异号.5. Cn,解析：由0vxv，有sinx>0,cosx>0.22221+cos2x+8sinx2cosx+8sinxcosx,4sinxf(x)=+sin2x2sinxcosxsinxcosx>2J泌竺虫=4,当且仅当摯=空広，即tanx=丄时，取“=”.sinxcosxsinxcosx20vxv1存在x使tanx=，这时f(x)min=4.6. B解析：a+b=2，故3a+3b>2、3a3b=23ab=6，当且仅当a=b=1时取等号.故3a+3b的最小值是6.7. A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分AB

9、C.x+3y=43x+y=44得A(1,1)，又B(0,4),C(0,).3由于直线y=kx+44-过点C(0,-)，设它与直线33x+y=4的交点为D,1则由SAbcd=SaaBC2，知D为AB的中点，即xDyD75=kx-+4,k=223xo+2y0+3=0,解析：设P点的坐标为(xo,yo)，则x0y01<0，|2xo+yo65=3/5.Xo=5,”0=1.点P坐标是(5,1).9. B解析：当直线mx+y=z与直线AC平行时，线段AC上的每个点都是最优解.kAC=223551720m=，即m=.202010. D11解析：由x+=(x1)+1,x1x1x>1,1'x

10、1>0,则有(x1)+1>2、(X1)x1+1=3,、填空题11. 24.解析：不等式(xy+5)(x+y)>0可转化为两个二元一次不等式组.(xy+5)(x+y)>00<xw3xy+5>0xy+5<0二x+y>0或x+y<00wx<30wx<3这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求.(第11题)第一个不等式组所对应的区域如图,第二个不等式组所对应的区域不存在.图中A(3,8),B(3,3),C(0,5)，阴影部分的面积为3(11+5)=24.212. 丿aa>.解析：若z=ax+y(a>0)仅在点(3,0)处取得

11、最大值，则直线z=ax+y的倾斜角一定小于直线x+2y3=0的倾斜角，直线z=ax+y的斜率就一定小于直线x+2y3=0的斜率，可得：一av1，即卩a>1.2213. ab>9.解析：由于a,b均为正数，等式中含有ab和a+b这个特征，可以设想使用旦>ab2构造一个不等式.ab=a+b+3>2.ab+3，即ab>2.ab+3(当且仅当a=b时等号成立)，(,ab)22.ab3>0,(.ab3)(.ab+1)>0,二.ab>3，即ab>9(当且仅当a=b=3时等号成立).14. (a+.b)2.解析：由已知电,均为正数,xyx+y=(x+y)

12、(a+b)=a+b+竺+bx>a+b+2xyxyaybX=a+b+2、,b,xy广aybx即x+y>(Ja+e)2，当且仅当JxyabI=1lxy即，x=aIab时取等号.y=blab15. 8.解析：因为y=logax的图象恒过定点(1,0)，故函数y=loga(x+3)1的图象恒过定点A(2,1)，把点A坐标代入直线方程得m(2)+n(1)+1=0,即2m+n=1,而由mn>0知,4m均为正，mn+-=(2m+n)(+-)=4+如>4+2他=8，当且仅当mnmnmn*mnn=4mm=1m=即f时取等号.2m+n=1In=216.P.2解析：设该厂第一年的产值为a,由

13、题意，a(1+p)2=a(1+pd(1+P2)，且1+P1>0,1+P2>0,所以a(1+p)2=a(1+pj(1+P2)wa1+p1+1+p22=a1+p1+p2解得'22卫亡陛，当且仅当1+5=1+p2，即卩尸p2时取等号所以p的最大值是卫亡.22三、解答题17.解：令x+1=t>0，贝Ux=t1,(t1)2+7(t1)+10t2+5t+4+丄44匸门y=t+5>2t+5=9,ttt't当且仅当t=4，即t=2,x=1时取等号，故x=1时，y取最小值9.t18.解：因为直线I经过点P（3,2）且与x轴y轴都相交,故其斜率必存在且小于0.设直线I的斜率

14、为k,则I的方程可写成y2=k（x3），其中kv0.2令x=0,贝Uy=23k;令y=0,贝Ux=+3.y（第18题）kSaaob=丄(23k)(-+3)=2k212+(9k)+(半)>Sxaob有最小值12,所求直线方程为A原料用量B原料用量甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y（第18题）=12，当且仅当（一9k）=（-），即k=-时,k32=2(x3)，即2x+3y12=0.319解：设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系:x>0y>0一则有，目标函数z=5x+3yj3x+y<132x3y<18作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知当x=3,y=4时可获得最大利润为27万元.20.解：(1)Txv5,44x5v0,故54x>0.y=4x1+14x5=(54x+15-4x54x+15-4x12(ix=2,y<2+4=2,当且仅当54x=1一，即x=1或x=-（舍）时，等号成立,5-4x2故当x=1时，ymax=2.19(2)/x>0,y>0,+-=1,xy19y9xJy9xx+y=