浙教版八年级下册第四章平行四边形第2讲(平行四边形的判定及三角形中位线)培优讲义(含解析)

1、平行四边形 第2讲（平行四边形的判定及三角形中位线）命题点一：平行四边形判定定理的应用【思路点拨】延长AC后，证明AD/ BC然后转化为证明三角形全等，得到四边形对角线互相平分，从 而证得四边形ABCDM平行四边形.在解决几何证明时，全等三角形是解题的有效手段.例1如图，四边形ABCD勺对角线AC BD交于点P,过点P作直线，交AD于点E,交BC于点 F,若PPF,且AP+ AE= CP+ CF证明：四边形 ABC师平行四边形.*WB解：延长AC,在点C上方取点N,点A下方取点M,使AMk AE, CN= CF,则由已知可得 PW PN易证 PME2zPNF且zAME CNFffi是等腰三角形

2、. / Mk / N, /MEP= / NFP丁. / AEP= / PFC.AD/ BC.可证得 PA白 PCF彳导PA= PC,再证 PEDl PFB,彳3 PB= PD.四边形ABCM平行四边形.例2已知四边形ABCD1平行四边形，且满足 AB= BC AB= 4, ZABC= 60° , / EAF的两边分别与射线CB DC相交于点E, F,且/ EA已60° .如图所示，当点E在线段CB的延长线上，且/EA& 150时，求点F到BC的距离.解：如图，连结EF,过点A作AH' EC于点H,过点F作FGL EC于点G四边形ABC黑平行四边形，且 AB=

3、 BC /ABC= 60 .ABC等边三角形. .AB= AC. / EA曰 / BAC= 60° , . / EAB= / FAC. /AE艮 /ABH- / EA艮 60° 15° = 45° ,且 AB/ CD /AF热 /BA已 60° 15° =45° . .ABE zACF .BE= CFvBH= C+ 2, AH= 2叵 .EH= AH= 2 3. .EB= C曰 EH- BH= 2 3-2. . /FCG= ZABC= 60° ,.FG=序(2 73-2) = 3-3.【思路点拨】对于平行四边形的证

4、明，首先通过证明 AD国ABEF可得DR= EP,从而通过对角线互 相平分证得结论.而对于等腰三角形的证明，通过直角三角形的重要性质：斜边上的中线等 于斜边的一半.例3如图，P是4ABC的边AB上一点，连结CP, BE! CPT点E, AD±CP交CP的延长线于点 D.(1)如图，当P为AB的中点时，连结AE, BD,证明：四边形ADBE1平行四边形.(2)如图，当P不是AB的中点时，取AB中点Q,连结QD QE证明： QDEg等腰三 角形.I)拄解：（1） P 为 AB的中点，A之BP . BE，CP, AD± CP；. / ADP= / BEP= 90° ,且

5、 AD/ BE又. /AP比 / BPE . .AD国BEP；DP= EP又二小之BP, 四边形ADBE1平行四边形.如图，延长DQ交BE于点F./ADI CP BEX CP, .AD/ BE / DAa / FBQ又/ AQ也 / BQF AQU BQ .ADQ2 zBFQ /. DCh FQ 又 BEX DCQE 是 RtzXDEF斜边上的中线.QE= Q曰 QD. .QDEg等腰三角形.例4如图，四边形ABCLM平行四边形，AD= AC, ADL AC E是AB的中点，F是AC延长线上占八、(1)若 EDL EF,求证:（2）在题（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P,试判定四边形

6、ACPE1否为平行四 边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）. 若ED= EF, ED与EF垂直吗？若垂直，请给出证明.解：（1）如图，连结CE在?ABCM,/AD= AC ADLAC, . AC= BQ AC± BC. E是 AB的中点，. . AE= EC, CE±AB. / AC白 / BC短 45° . / ECF= / EA比 135°vED± EF, . ./CE已 /AEA 900 Z CED./CE口 / AED在 ACEF? 口 AED 中，= EG= AE, / ECF= / EAD. .CE图AAED.ED= EF

7、连结CE由题(1)知ACE图AAED C曰AD.一 八八一 一 一 一 1一vAD= AC AG= CF . DP/ AB, . FP= PB. . . CF 2AB. .四边形垂直.理由如下：过点E作EML DA交DA延长线于点M,过点E作ENLAC于点N.ACP曰平行四边形.在AMEf zCNE中;/Mk /CN匿 900 , /EAMt / NC匿 450 , AE= CE .AME2 CNE；ME= NE又. /DME /EN2 90° , DE EF,.-.DMEiAFNE . / AD昆 / CFE/ADE= /CFE在 ADE与 CFE 中，= /DA巳 / FCE D

8、E= EF, .ADEi ACFEAA) , . . / DE是 / FEC. /DEAb /DEG 90° ,./FEO /DEG 90° . . / DEF= 90.EDL EF例5如图，E, F为4ABC中AB, BC的中点，在 AC上取G H两点 FH的延长线相交于点D,求证：四边形ABC师平行四边形.,使得A氏G+ HC EGW证明：如图，连结BG BHH连结BD交AC于点O /AG= GH .G是AH的中点. 在4ABH中,E是AB的中点， . EG/ BH .GD/ BH. G+ HC .H是CG的中点. 在CBB, F是BC的中点, .FH/ BGDH/ B

9、G 四边形BHDG1平行四边形. .OG= OH OB= CD.又. A&HC .OA= CC. 四边形ABCD1平行四边形.命题点二：三角形中位线的性质和应用例6如图，AD为4ABC的角平分线，AB< AC在AC上截取CE= AB, M, N分别为BC AE的中 点.求证：MN/ AD.证明：如图，连结BE,取BE中点F,连结FN, FMFN为4EAB的中位线，1/.FN=-AB, FN/ AB.FM为ABC国勺中位线，1/.FM=-C FM/ CE,.FN=FM /3=/4.v Z 4=Z 5, / 3=/ 5.vZ 1 + Z 2=Z3+Z 5, Z 1 = Z 2,，/2

10、=/5.NM/ AD.例7如图，在四边形ABC冲，AB=CQ E, F分别是BQ AD的中点，连结EF并延长，分别 与BA CD的延长线交于点 M N,则/ BM匿/ CN（不需证明）.I)11如图，在四边形 ADBOt, AB与CDf交于点O, A况CD E, F分别是BC, AD的中 点，连结EF,分别交DC(2)如图，在 ABC中，AC>AB, D点在AC上，AB= CD E, F分别是BC AD的中点,连结EF并延长，与BA的延长线交于点G若/ EFJ 60° ,连结GD判断 AGD勺形状并证明.解：(1)zOMM等腰三角形.zAGM直角三角形，证明如下：如图，连结BD

11、,取BD的中点H,连结HF, HE. F是 AD的中点，HF/ AB, HF= AB同理，HE/ CD HECD AB= CD HE HE. ZEFC= 60° , / HE已60./HER /HF白60° . .EHF是等边三角形./3=/HF9 / EFO /AF&60° . .AGF是等边三角形. AF= FD, . .G曰 FD. . . / FG& / FDG= 30° . /AGD 90° ,即AGLg直角三角形.例8如图，E, F分别是四边形ABCDm寸角线AC, BD的中点，求证:ef<2(ab+ cd .

12、证明：如图，取BC的中点为G,连结EG FG 点E, F分别为四边形ABCDm寸角线AC BD的中点,一1 八一1.-.FG= 2DC EG= 2AB.答图.在4EFG中，EF<Ea FG,EF<1(AB+ CD .课后练习1 . A, B, C是平面内不在同一条直线上的三点， D是该平面内任意一点，若 A, B, C, D四个 点恰能构成一个平行四边形，则在该平面内符合这样条件的点口有（C ）A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个2 .如图，在RtzXABC中，/ B= 90° , A五6, BC= 8,点D在BC上，在以AC为对角线的所 有?ADCW, DE能取的最

13、小值是（B ）CBA. 4 B . 6 C . 8 D . 103 .如果三角形的两边长分别是方程 x2 8x+15的两个根，那么连结这个三角形三边的中点, 得到的新三角形的周长可能是（A ）A. 5.5 B . 5 C . 4.5 D.4AN平分/BAQ BN±AN于点 N,且 AB= 10, BC= 15, MN4 .如图，M是AABC的边BC的中点, =3,则 ABC的周长是（D ）A. 38 B . 39 C5 .如图，P是？ABC呐一点，且Sa pab= 5, Sa pa户2,则涂色部分的面积为（B ）A. 4 B . 3 C . 5 D . 66 .如图所示，在四边形AB

14、Cg, AD= BC P是对角线的中点，E, F分别是AB与CD的中点.若 /PE已20° ,则/ EPF的度数是140 ° .7 .如图，在？ABCM, AEE±BC,垂足为E, CCQ F为CE的中点，G为CD上的一点，连结DF, EG AG /1 = /2.若CF= 2, AE= 3,则 BE的长是 778 .如图，AD/ BC / EA* /EAB / EB是/ EBC直线DC过点E交AD于点D,交BC于点C.若AD= 3, BG= 4,则 AB= J乂B9 .如图，在 ABC中，/C= 90° , CA= CB E, F 分别为 GA CB上一

15、点，CE= CF, M, N分别为AF, BE的中点.若MN= 2,则AE= 2V2 .10 .如图，四边形ABCD勺对角线AC BD相交于点F, M N分别为AB, CD的中点，MN别交BD, AC于点 P, Q 且满足/ FP& /FQP 若 BD= 10,贝U AC为 10 .11 .如图，四边形ABCM平行四边形，E为BC的中点，DF，AE于点F, H为DF的中点，求证：CHL DF证明：如图，分别延长 AE和DC交于点P./AB/ CP./ABE= /PCE又. CE= BE, /AEB= /PECI ADp. .AB匿 APCE .PC= AB.又. A五CD .PC= C

16、D即C为PD的中点. H为DF的中点,.CH为4DFP的中位线.又. DF±AE,/.CH! DF12.已知两个共一个顶点的等腰直角三角形ABC等腰直角三角形CEF /ABC= /CEF= 90° ,连结AF, M是AF的中点，连结MB ME(1)如图，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB/ CF(2)如图，若CB= a, CE= 2a,求BM| ME的长.(3)如图，当/ BCE= 450时，求证：B旧MECF| 解：(1)延长AB交CF于点D,则易知 ABC与 BCD匀为等腰直角三角形，.AB= B最BD. ； B为线段AD的中点.又; M为线段AF的中点， BM为4

17、ADF的中位线. .BM/ CF(2)由题(1)知 AB= BO BD= a,AO C512a, BMh ；DF分别延长FE与CA交于点G,则易知 CEF与 CEG匀为等腰直角三角形. .CE= EF= GE= 2a, C庄 C曰2 2A.E为FG中点.又. M为AF中点，. . M段2aG. CG= C曰 22a, CA= C* 啦a, /. AG= D曰72A.BMk ME= 1X 、2a= 22A.延长AB交CE于点D,连结DF,则易知 ABCf BCD匀为等腰直角三角形. .AB= BG= BD AC= CD. . .B 为 AD的中点.一_1又. M为 AF中点，. . BMk2DF

18、.延长FE与CB交于点G,连结AG则易知 CEF与 CEG匀为等腰直角三角形. .CE= EF= EG CF= CG.E为FG中点.又; M为AF的中点，；ME= 2aGAG= CD在八 AGGGf DGF中，= / AG库 / DCFG（G= GF, .AG3 DGF SAS . .DF= AG.B旧 ME13. （2018 武汉市自主招生模拟题）如图，在四边形 ABGDt, M为AB的中点，且M4MD 分别过G, D两点作边BG AD的垂线，设两条垂线的交点为 P,若/ PAD-35° ,则/ PBG的 度数的是（B ）A. 45° B .35° G. 55° D . 65°14 .如图，以RtzXABG的斜边BG为一边在 ABG的同侧作正方形BGEF设正方形的中心为 O, 连结AQ若AB= 4, A0= 6f2,则AG的长为16 .15 .已知在 ABG中，D为AB的中点，分别延长GR GB到点E, F,使得DE= DF,过点E, F 分别作GA GB的垂线