电磁场及电磁波第一章矢量分析

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波1第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波2本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波31. 1. 标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA单位矢量单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代

2、数表示矢量的代数表示：AeAeAAA1.1 矢量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 要注意要注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 A矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波4zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)cosco

3、scos(zyxeeeAA用坐标分量表示矢量：用坐标分量表示矢量：coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波5（1）矢量的加减法）矢量的加减法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的减法矢量的减法BAABB在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直

4、角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律结合律()()ABCABCABBA交换律交换律第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波6（2 2）标量乘矢量）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A B B A 矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 与与 的夹角的夹角AB A B A B0BA/ A BAB第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波7（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）sinABeBAn)(

5、)()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积AB用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为BAABBA若若 ，则，则BA/0BA若若 ，则，则第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波8（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁

6、波电磁场与电磁波9 三维空间任意一点的位置可以通过三条正交曲线的三维空间任意一点的位置可以通过三条正交曲线的交点来确定。交点来确定。1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与电磁波理论中，在电磁场与电磁波理论中，三种常用的正交曲线坐三种常用的正交曲线坐标系分别为：标系分别为：直角直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 采用三条正交曲线确定三维空间中任意点位置的坐采用三条正交曲线确定三维空间中任意点位置的坐标系，称为标系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称为描述坐标轴的量称为坐标变量

7、坐标变量。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波101. 直角坐标系直角坐标系zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd体积元体积元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐标变量坐标变量zyx,坐标单位矢量坐标单位矢量zyxeee,点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积

8、元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波11圆柱坐标系圆柱坐标系0（半平面半平面）0（圆柱面圆柱面）0zz （平面平面）),(000zP2. 圆柱坐标系圆柱坐标系z,坐标变量坐标变量zeee,坐标单位矢量坐标单位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd线元矢量线元矢量1, , 1zhhh度规系数度规系数第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波12dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle zVdddd体积元体积元面元矢

9、量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系0（半平面半平面）0（圆柱面圆柱面）0zz （平面平面）),(000zP第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波133. 球坐标系球坐标系, r坐标变量坐标变量eeer,坐标单位矢量坐标单位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr线元矢量线元矢量球坐标系球坐标系0（半平面半平面）0（圆锥面圆锥面）0rr （球面球面）),(000rP1, , sinrhhrhr度规系数度规系数第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波14ddsinddd2rell

10、eSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSrdddsind2rrV 体积元体积元面元矢量面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波154. 各坐标系单位矢量之间的关系各坐标系单位矢量之间的关系xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系？球坐标系？直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系zereeecossincossincoscos 0 xeyesinsins

11、incoscossinoxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系xeyeeeoz单位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系zeeree直角坐标与球坐标系的直角坐标与球坐标系的单位矢量之间的关系单位矢量之间的关系第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波161.3 标量场的梯度标量场的梯度q如果表示如果表示“场场”的物理量是标量，则称为的物理量是标量，则称为标量场标量场。 例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q如果表示如果表示“场场”的物

12、理量是矢量，则称为的物理量是矢量，则称为矢量场矢量场。 例如例如：流速场、重力场、电场、磁场等。：流速场、重力场、电场、磁场等。q如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变的标量场和矢量场分别表示为：时变的标量场和矢量场分别表示为： 、),(tzyxu),(tzyxF从数学上看，从数学上看，“场场”是定义在空间区域上的函数：是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场、),(zyxu),(zyxF静态的标量场和矢量场分别表示为：静态的标量场和矢量场分别表示为：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波17 标量场的等值

13、面标量场的等值面等值面等值面: : 场值相同的点所形成的曲面。场值相同的点所形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程： 标量场取值不同的等值面，形标量场取值不同的等值面，形成了等值面族；成了等值面族； 标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 等值面的特点等值面的特点：意义意义: : 形象直观地描述了场量在空间的形象直观地描述了场量在空间的 分布情况。分布情况。标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波2. 方向导数方向导数意义意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。0lim0(

14、)()0lim0 coscoscos|Mullu Mu Mllulu dxu dyu dzx dly dlz dluuuxyz 方向导数的定义方向导数的定义： M0lMl方向导数的概念方向导数的概念 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波lzyxzyxeueeezueyuexuezuyuxulu)coscos(cos)(coscoscos3. 标量场的梯度标量场的梯度（ 或或 ）graduu意义意义：梯度大小表示标量梯度大小表示标量场在某点的最大空间变化率，场在某点的最大空间变化率， 其方向表示标量场空间变化率最

15、大的方向。其方向表示标量场空间变化率最大的方向。概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向max|luuel luelzueyuexueuzyx直角坐标系直角坐标系 称为标量场称为标量场 u 的梯度的梯度第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波三种坐标系中梯度的表达式三种坐标系中梯度的表达式：zueueueuz1圆柱坐标系圆柱坐标系 ureurerueursin11球坐标系球坐标系zueyuexueuzyx直角坐标系直角坐标系 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波标量场的梯度在某方向的投影等标量场的梯度在某方向的投影等于于标量场标量场沿

16、该方向的方向导数。沿该方向的方向导数。梯度的重要性质梯度的重要性质：梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0标量场的梯度垂直于通过该点标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）。的等值面（或切平面）。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1. 矢量场的场线矢量场的场线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。空间分布状态。),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢量场线的方程矢量场线的方程：概念概念矢量场线是有向

17、曲线族：矢量场线是有向曲线族：其上每一点的切线方向代表该点处其上每一点的切线方向代表该点处矢量场的方向；曲线的密集程度表矢量场的方向；曲线的密集程度表示该处矢量场的强弱。示该处矢量场的强弱。矢量场线矢量场线OM Fdrrrdr第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波232. 矢量场的通量矢量场的通量 ndddSSFSF eS通量的概念通量的概念nddSe S其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；dSnddF e S穿过面积元穿过面积元 的通量。的通量。 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由是闭合的，则规定曲面的

18、法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面内指向外，矢量场对“闭合曲面闭合曲面”的通量为：的通量为：),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量SSSeFSFddn第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波243. 矢量场的散度矢量场的散度称为矢量场的称为矢量场的散度散度。 矢量场在空间某点的散度矢量场在空间某点的散度矢量场通过包含该点矢量场通过包含该点的任意小闭合曲面的通量与曲面所围体积之比的极限。的任意小闭合曲面的通量与曲面所围体积之比的极限。FVSzyxFzyxFSVd),(lim),(01321321321321321）（）（）（fhhufhhufhhuhhhf第第1

19、 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFr球坐标系球坐标系有关散度的公式有关散度的公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(为常量)()()()为常矢量(0圆柱坐标系圆柱坐标系zFFFFz)(zFyFxFFzyx直角坐标系直角坐标系三种坐标系中散度的表达式三种坐标系中散度的表达式：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波264. 散度定理（高斯公式）散度定理（高斯公式）VSVFSFdd体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 矢量场对于空间任意矢量场对于空间任意闭合曲面的通量，等于矢

20、闭合曲面的通量，等于矢量场的散度在该闭合曲面量场的散度在该闭合曲面所包围体积中的体积分。所包围体积中的体积分。 散度定理是矢量场的闭合曲面积分与体积分之间散度定理是矢量场的闭合曲面积分与体积分之间的一种变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。的一种变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度 涡旋场的概念涡旋场的概念 例如：水流漩涡处的流速场。例如：水流漩涡处的流速场。 有些矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲有些矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零，而沿空间闭合路径的积分则不为零。

21、面的通量为零，而沿空间闭合路径的积分则不为零。称为称为“涡旋场涡旋场”。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波28q如果矢量场对于任意闭合回路的环流都为零，则称该如果矢量场对于任意闭合回路的环流都为零，则称该矢量场为矢量场为无旋场无旋场，又称为，又称为保守场保守场。ClzyxFd),(2. 2. 环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的线积分，称为的线积分，称为“矢量场矢量场对对于闭合曲线于闭合曲线C 的环流的环流”。即。即q只要矢量场对于某一个闭合曲线的环流不为零，则称只要矢量场对于某一个闭合曲线的环流不为零，则称该矢量场为该矢量场为有旋场有旋场

22、。q能够激发有旋场的源称为能够激发有旋场的源称为旋涡源旋涡源。例如，电流就是磁。例如，电流就是磁场的旋涡源。场的旋涡源。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波29SCMFn3. 矢量场的环流面密度和旋度矢量场的环流面密度和旋度（ ） F （1）环流面密度）环流面密度CSlFSFd1limrot0n称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度。n特性特性：其值与点：其值与点M 处小曲面的法向处小曲面的法向 有关。有关。n 过任意点过任意点M 作微小曲面作微小曲面 S ，它的边界线记为，它的边界线记为C，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与边界线的

23、绕向成右手螺旋法则。与边界线的绕向成右手螺旋法则。n当当 S0 时，极限时，极限第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波30旋度的定义旋度的定义：矢量场在矢量场在 M 点处的旋度点处的旋度(矢量矢量)的大小为的大小为M 点处环流面密度的最大值，方向为点处环流面密度的最大值，方向为M点处环流面密点处环流面密度取得最大值的小曲面法向。度取得最大值的小曲面法向。旋度与环流面密度的关系旋度与环流面密度的关系：（2）矢量场旋度的定义）矢量场旋度的定义maxnnrotFeFFeFnnrot旋度与环流的关系旋度与环流的关系：SCSFlFdd斯托克斯斯托克斯定理。定理。它是闭合曲线积分与旋

24、度曲面积它是闭合曲线积分与旋度曲面积分之间的变换关系，在电磁理论中有着广泛应用。分之间的变换关系，在电磁理论中有着广泛应用。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波31yFxFexFzFezFyFeFxyzzxyyzx旋度的计算公式旋度的计算公式: :zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系1 12 23 31 23123112233 1 xyzxyzheh eh eeeexyzhh huuuFFFh Fh Fh F第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波32有关旋度的公式有关旋度的公式：矢量场旋度的矢