线性代数与空间解析几何哈工大学习教案

1、会计学1线性代数与空间线性代数与空间(kngjin)解析几何哈工大解析几何哈工大第一页，共65页。AB a2模：（长度）向量的大小，记作 且 |,|,ABa 0a3单位向量：模为1的向量、不同的方向上有不同的单位向量 ， 0a0aaa40向量：模为0的向量 注：0向量没有确定的方向或说方向任意.5负向量：与大小相等，方向相反. 第2页/共65页第二页，共65页。第3页/共65页第三页，共65页。2三角形法则：（便于多个向量求和）. 将 的终点与 的起点重合在一起. 说明：若 在同一直线上，则其和如：ab,OAOBab (1). 当 与 方向同时，和向量的方向与原来两个向量的方向相同. 其模=两

2、模之和.(2). 当 与 方向相反时，和向量的方向与较长的向量的方向相同，其模=两模之差.OA OB OB OA 第4页/共65页第四页，共65页。4运算法则： （1） ，交换律； （2） ,结合律； （3） ； （4） .abba()()abcabcabc0aa()0 aa5向量的减法：为平行四边形的另一对角线向量 .注意：不要把向量与数混淆，实数是有序的，可比大小，而向量式子 无意义，当然向量的长度可比大小，根据三角形两边之和不小于第三边, 的长度满足三角不等式 .() ababab, ,a b ab| |abab第5页/共65页第五页，共65页。aaa 2运算法则： （1） ； （2）

3、，（结合律）； （3） ； （4） ，（分配律）.1, ( 1) aaaa()()k lklaa()kkkabab()klklaaa第6页/共65页第六页，共65页。00,|aaaa0|,aa aa/, (0), 0/abbaaa1aba3单位向量：表示与同向的单位向量.4平行：，（共线）即可用同一个起点的有向线段来表示. 注：与都没有意义.第7页/共65页第七页，共65页。ABCDY2ACMCab 1()2MCab 1()2MAMC ab 12,()2DBMBMBabab 11()()22MDMB abab 第8页/共65页第八页，共65页。第9页/共65页第九页，共65页。, a bAuu

4、u第10页/共65页第十页，共65页。AB uuAB 第11页/共65页第十一页，共65页。AB u第12页/共65页第十二页，共65页。F第13页/共65页第十三页，共65页。3注：（1）称为数量积是因结果是个数. （2） 并不见得 中必有 向量(xingling)， 也可. （3） 无意义. （4）数量积不满足消去律即 事实上，所以.第14页/共65页第十四页，共65页。第15页/共65页第十五页，共65页。b第16页/共65页第十六页，共65页。FM FM 第17页/共65页第十七页，共65页。ab, a b,a b第18页/共65页第十八页，共65页。第19页/共65页第十九页，共65

5、页。第20页/共65页第二十页，共65页。, ,a b c, ,a b c, ,a b c, ,a b c第21页/共65页第二十一页，共65页。第22页/共65页第二十二页，共65页。3.2.5 几何向量的坐标 前面介绍的几何向量的加法，数乘，数量积，向量积及混合积的计算,都是在几何作图，下面将这些运算 代数运算. 一、空间直角坐标系 坐标标OO 1坐标系：在空间中任取一定点 ，过点 作三条相互垂直的数轴 ，它们都以 为原点，且有相同的长度单位，这就构成了一个空间直角坐标系，记为 为横轴， 为纵轴， 为竖轴. 习惯上 轴， 轴放水平面上， 轴铅直向上，它们的正方向构成“右手系”，即 的正方向

6、符合“右手规则”.O,Ox Oy Oz,Oxyz OxOyOzxyz,Ox Oy Oz第23页/共65页第二十三页，共65页。 2点的坐标，设 为空间内一点， 分别是点在轴 上的投影， 在轴 上的坐标依次为 ，称有序数组 为点 的坐标，且 ，记 .M,P Q RM, ,x y z,P Q R, ,x y z, ,x y z( , , )x y zM11( , , )Mx y z 对应( , , )M x y z 3坐标面：三条坐标轴中的任意两个确定一个坐标面， 面，三张坐标面互相垂直. 4卦限：三个坐标面把整个空间分成八个区域，称为八个卦限. 5两点间的距离： . ， .,xOy yOz zO

7、x,( , , )O M x y z222|OMxyz11112222( ,),(,)M x y zMxyz22212212121|()()()dM Mxxyyzz第24页/共65页第二十四页，共65页。 二、向量的坐标 1基本单位向量： 分别为 轴正向的单位向量，称为基本单位向量.其内积和外积满足： , , ,i j k, ,x y z1 i ij jk k0 i ji kj k0, i ijjk kijkj ki k ijj ik kji i kj 2向量的坐标： （1） . 解： 故 的坐标为 xyzOMaaaaijk OMOMM Ma OPOQORxyzijk rrr()()()zxy

8、PPPa ia ja kxyzaaaijka(,),xyzxyza aaa aa （2）若 故 的坐标为1211112222,(,),(,)M MMx y zMxyza 21222111()()OMOMxyzxyzaijkijk 212121()()()xxyyzzijka212121(,)xxyyzz第25页/共65页第二十五页，共65页。 三、向量的运算的坐标形式 (,)xyzxyzaaaa aaaijk(,)xyzxyzbbbb b bbijk(,)xyzxyzcccc cccijk 向量的加法： 1 ； 2 ； 3 ； 4 .(,)xxyyzzabababab(,)xxyyzzabab

9、abab(,)xyzkka kakaa() ()xyzxyzaaabbba bijkijkxxyyzza ba ba b i ij jk k()()()xyyxxzzxyzzya ba ba ba ba ba b i ji kj kxxyyzza ba ba b第26页/共65页第二十六页，共65页。 5 () ()xyzxyzaaabbbabijkijk()xxyyzzxyyxa ba ba ba ba b iijjkkijji()()xzxxyzzya ba ba ba bikkijkkj()()()xyyxzxxzyzzya ba ba ba ba ba b ijkijk()()()xy

10、yxzxxzyzzya ba ba ba ba ba bkjiyzxyzxyzxyxzaaaaaabbbbbbijk,yzxyxzyzxyxzaaaaaabbbbbbxyzxyzaaabbbijk第27页/共65页第二十七页，共65页。 6 .()()yzxyxzxyzyzxyxzaaaaaacccbbbbbbabcabcijkijkyzxyxzxyzyzxyxzaaaaaacccbbbbbb i ij jk kxyzxyzxyzaaabbbccc第28页/共65页第二十八页，共65页。 四、向量的模及夹角 （由定理3.1知.(,)xyza aaa|cos ,|cos,|cosxyzaaaaa

11、a 1模 方向角： 222|xyzaaaaa a,xyzaaa 2方向余弦： 222222222cos, cos, cosyxzxyzxyzxyzaaaaaaaaaaaa222coscoscos1 3单位向量0222222222,|yxzxyzxyzxyzaaaaaaaaaaaaaaa(cos ,cos,cos )第29页/共65页第二十九页，共65页。 五、共线与共面在直角坐标系下： 与 共线(平行) . 共面 ，即线性相关.不全为0的 ，使 .ab,yxzxyzaaabbbab, ,a b c0()0 xyzxyzxyzaaabbbcccabcabc, ,a b c, ,k l m0klm

12、abc, 例7：设 均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但 与 共线， 与 共线，试证 = . 0 分析：两个向量共线 两个向量成比例， 证： 与 共线， 与 共线， k l ，得 , kl (1)(1)lk 均非零若 ，则 与 成比例. 与 共线与假设矛盾，故 ., 1,1kl 1,1kl 代入式有 . 0 第30页/共65页第三十页，共65页。 例8：已知向量 ，并满足 ，求向量 .(1,2,1),( 1,1,1) (2)8ijk 解法1：设 由题设 解得 xyzijk 200(2)8xyzxyz ijk 123xyz 23 ijk 解法2： 且 再由条件 即 故 / 12123111

13、ijkijk()(23 )kkijk (2)8(23 ) (2)8kijkijkijk881kk23 ijk 第31页/共65页第三十一页，共65页。 例9：求以 为顶点的 的面积及边 上的高.(1, 2,2),(5, 6,2),(1,3, 1)ABCABCAC 解： ， 的面积为 高 (4, 5,0),(0,4, 3)ABAC ABC11|45022043SABACijk 11|151216 |2512.522ijk22 12.5|55|SBDAC第32页/共65页第三十二页，共65页。 例10.求以 为顶点的四面体的体积. 123123123123(,),( ,),( ,),(,)A a

14、a aB b b bC c c cD d dd 解：由立体几何知，四面体 的体积 以向量 和 为棱的平行六面体的体积的六分之一，即ABCDV ,AB AC AD1|,|6VAB AC AD 而 112233(,)ABba ba ba 112233(,)ACca ca ca112233(,)ADda da da 11223311223311223311|66bababaVABACADcacacadadada 第33页/共65页第三十三页，共65页。3.3 空间中的平面与直线 我们把曲面、曲线看作是位置上满足某些约束条件的点的集合. 在引入直角坐标系后，这些约束条件是通过点的坐标所满足的方程来体现

15、的，比如说 是某曲面方程，就是说，曲面上的点的坐标都满面足这个方程；不在曲面上的点的坐标 不满足这个方程. 这样，我们就可以用代数方法来研究几何问题了.( , , )0F x y z ( , , )x y z3.3.1 空间平面的方程 1法向量：凡是与平面 垂直的非零向量 .都叫做平面 的法向量.n()n 2点法式方程：已知平面 的法向量 及平面 上一点 ，求 的方程. 任一点 在 上的 是 ，即，用坐标表示就是 （1） （1）是平面 的点法式方程. , , A B Cn0( , , )Mx y z( , , )M x y z0M M n 00M M n 000()()()A xxB yyC

16、zz第34页/共65页第三十四页，共65页。 3 的一般方程 若记 则（1）式可写成 （2） 由（2）式知，在空间直角坐标系下，平面方程是三元一次方程(y c fn chn)， 至少有一个不为零. 自然会问： 的三元一次方程(y c fn chn)的图形是否都是平面呢？回答是肯定的. 不会为零，比如(br) ，则（2）式可变为 ，的形式与（1）式比较知，它是以 为法向量，且通过点 的平面方程. 总之(zngzh)，在空间直角坐标系下，任何平面方程都是三元一次方程，反之， 的任何三元一次方程的图形都是平面., ,x y z第35页/共65页第三十五页，共65页。 平面一般方程（2）中，系数 和常

17、数 各具一定的几何意义， 是法向量的坐标，表明平面朝向那里，当 不变， 改变时，得到一组平行平面， 时，平面过原点 的某一个为零，就表明法向量与相应的坐标轴垂直，平面与该轴平行。, ,A B CD, ,A B C, ,A B CD0D , ,A B C 3特殊的平面方程， 在 轴投影为 ， ，平面平行于 轴， ，平面过 轴； ，平百平行于 轴， ，平面过 轴； ，平面平行于 轴， ，平面过 轴； 面，即 轴. ， 轴， 面. 轴， 面.0, , , ,ByCzDO B CnnxO0Ax0ADx0B y0BDy0C z0CDz0,/ABxOyz0BCx/ yOz0,ACy/ xOz第36页/共6

18、5页第三十六页，共65页。 设过 是平面上任意一点，取 及过 点，建立平面方程为： （3） （3）为平面的三点式方程，（三点确定一个平面）. 4三点式方程： 已知平面上不在同一条直线上的三点 ，求平面方程.111122223333( ,),(,),(,)M x y zMxy zMx y z( , , )M x y z1213M MM Mn 1M111112132121213131310 xxyyzzM MM M M Mxxyyzzxxyyzz 第37页/共65页第三十七页，共65页。 5平面的截距式方程： 若已知平面在三个坐标轴上的截距分别为 （ 均不为0），即平面过点，则, ,a b c,

19、,a b c( ,0,0),(0, ,0),(0,0, )P aQbRc 解：将三点 分别代入（2）知,P Q R 代入（2）整理并除以 不过原点) 得 （ 称为截距且全不为0），称为平面的截距式方程. 由平面的截距式方程很容易画出平面图形.000aADbBDcCDDAaDBbDCc (0,D D1xyzabc, ,a b c第38页/共65页第三十八页，共65页。 例11：求与点 等距离的点的轨迹方程. 解：显然，这是线段 的垂直平分面， 是这个面的一个法向量， 线段的中点 在平面上， .(1,2,3),(2, 1,4)ABAB1, 3,1AB AB03 1 7( , )2 2 2M317(

20、)3()()0222xyz26270 xyz 例12：求过 轴，且过点 的平面方程.x(4, 3, 1) 解法1： 所求平面过 轴， ，平面方程为 . 又 点 在平面上， ， 故 . 显然 ，（否则 ，）， 所求平面方程为 .x0AD0ByCz(4, 3, 1)30,3BCCB 30ByBz0B 0ABC30yy第39页/共65页第三十九页，共65页。解法2： 平面过 轴， 轴上的点 及 在平面上，加上点 ，三个点确定一个平，由（3）三点式平面方程可得所求平面方程 得 .xx(0,0,0)(1,0,0)(4, 3, 1)1000431xyz30yz 解法3：由于点 的向径 和 轴的单位向量 都

21、在所求平面上，故 为平面的法向量，又点 在平面上，由点法式，故平面方程为 .0(4, 3, 1)M4, 3, 1xi4, 3, 1 1,0,00, 1,3 n(0,0,0)30yz第40页/共65页第四十页，共65页。 二、平面的度量性质 1两平面平行：（按两法向量平行处理） . ，则 . 1121122222:0,:0AxB yC zDA xB yC zD12/11112222/.ABCABCnn 2重合： 例： 和 平行.11112222ABCDABCD5410 xz 151230 xz 3两平面垂直：（按两法向量垂直处理） . 例13：求过点 且垂直于平面 的平面方程.12121212,

22、0A AB BCCnn12(4,1,2),( 3,5, 1)MM62370 xyz第41页/共65页第四十一页，共65页。 解法1：设所求平面的法向量为 平面方程为： 又 及 . 由点 法式有：. , , A B Cn(4)(1)(2)0A xB yC z0nn12M Mn 1207436310623M M ijknnijk 1()M6(4)3(1)10(2)0 xyz 解法2： 由点结式 . 1207436,3, 10623M Mn ijkn 6(4)3(1)10(2)0 xyz解法3：由三点共面， 有的题即可用内积作，又可用外积作.4126230743xyz第42页/共65页第四十二页，共

23、65页。4两平面的夹角：两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角（通常指锐角）. 的夹角 为 与 的夹角， .12, 1n2n021212121222222212111222|cos|A AB BC CABCABCn nnn 例14：求两平面 的夹角. 解： 260, 250 xyzxyz222222|1 2 1 12 1|31cos,.23661( 1)2211 第43页/共65页第四十三页，共65页。4 点到平面的距离 设 为平面 外一点，求 到这平面的距离. 解：在 上任取一点 ，并作 的一法向量 ， ， 010r10r1010|,|nnnnnPPdP PPP PPPP 0000(,)P x

24、yz0AxByCzD0P1111( ,)P x y znn01 0010101222222222,ABCPPxx yy zzABCABCABCn .， 由于，010101r1 0222222222()()()nA xxB yyC zzP PPABCABCABC 1110AxByCzD000r10222|nAxByCzDdP PPABC 第44页/共65页第四十四页，共65页。 例15：求点 到平面 的距离. 解：(2,1,1)10 xyz 222|2 1 1 1|33311( 1)d 第45页/共65页第四十五页，共65页。3.3.2 空间直线及其方程 一、直线方程 1一般方程（交面式）： 空

25、间直线是空间曲线的特殊情况，所以空间直线 可以看作是两个平面 和 交线，即： （1）L12111122220:0AxB yC zDLA xB yC zD 空间直线 上的任何点的坐标应同时满足这两个平面方程，反过来，如果点 不在直线上，那么它不可能同时在 ， 上，所以不满足方程组（1）. 通过空间直线 的平面有无限多个，所以只要在这无限多个平面上任选两个，把它们联系起来，所得的方程组就表示空间直线 .LM12LL第46页/共65页第四十六页，共65页。 2直线的标准方程（点向式）： 确立直线的方法，除了给出通过它的两个平面(pngmin)外，还有其他方法，首先介绍直线的方向向量. 方向向量：若一

26、非零向量平行于一条已知直线，这个向量就称为这条直线的方向向量 ，记为 ， （ 不唯一）.s/ ,Lss第47页/共65页第四十七页，共65页。 例 方程组（1）所表示的直线 的方向向量可取 即 过空间一点可作且只能作一条直线平行于一已知直线，L12snn12111222ijksnnABCABC 对 可确定 的位置. 在 上任取一点 ，则 ， ， （2） 反过来，不在 上的点 ，有 不平行于 ， 对应坐标不成比例，（2）称为 的对称式方程，（点向式方程）标准方程：注：（1） 直线的点向式方程不唯一.0000(,), , , Mxyzm n psLL( , , )M x y z0/M Ms 000

27、0,M Mxxyyzz 000 , , ,xxyyzzm n pmnpsLM0M M sL第48页/共65页第四十八页，共65页。 3特殊平面方程：当 中有一个为零，例. 则 当 中有两个为0时，例 ，, ,m n p0,0mnp0，00000000,0 xxxxxxyyzzyyzznpnp, ,m n p0,0mnp 则 方向数：直线的任一方向向量 的坐标 称为该直线的一组方向数. 方向余弦： 的方向余弦称为该直线的方向余弦.00000000,0,00 xxxxxxyyzzyyyyps, ,m n ps第49页/共65页第四十九页，共65页。 4参数方程：在（2）中令 ，则（3）称为 的参数

28、方程， 不唯一，（3）不唯一.000 xxyyzztmnp000 xxmtyyntzzptL0,Ms 例16：将直线 化为标准式和参数式.10:2340 xyzLxyz 解：1.先任意找出直线上的一点：令 ，解 直线上一点为01x 0002302yyzyzz 0(1,0, 2)M第50页/共65页第五十页，共65页。 为 的标准方程；令 1211143213ijksnnijk12:413xyzLL12413xyzt 为 的参数方程. 若令 ，则1423xtytzt L00 x 0015,44yz 第51页/共65页第五十一页，共65页。 ，由点向式，015(0,)44M415144:,4134

29、534xtyzxLtytzt 上面讲过，平面的位置可由平面上一点及法向量来确定，空间直线的位置可由直线上一点和直线的方向向量来确定. 因此，平面与平面的夹角(ji jio)，直线与直线的夹角(ji jio)、直线与平面的夹角(ji jio)，以及垂直、平行条件，都可以通过平面的法向量，直线的方向向量之间的相互关系来表现，上节课我们已经讲了两平面的夹角(ji jio)及垂直、平行条件，讲了点到平面的距离.第52页/共65页第五十二页，共65页。 二、两条直线的夹角及垂直、平行条件的关系： 1两直线夹角 两条直线 , 1111111:xxyyzzLmnp2222222:xxyyzzLmnp 间的夹

30、角（包括异面直线）定义为方向向量 和 间的夹角 （ 指锐角）1111,m n ps2222,m nps121212222222111222|cosm mn np pmnpmnp 2两直线垂直 3两直线平行1212120mmn np p111222mnpmnp第53页/共65页第五十三页，共65页。 例17：求 和 的夹角. 解：由叉积求12280:2210 xyzlxyz 243210:223150 xyzlxyz121,221636122ijks s sijk24139186223 ijksijk 222222|6 ( 9)3 186 6|364cos9 2121636( 9)186 4ar

31、ccos21第54页/共65页第五十四页，共65页。 若 三、直线与平面的（夹角及垂直、平行条件）位置关系： 1直线与平面的夹角 直线 与平面 的夹角是指 和它在 上的投影线间所夹的锐角 ， ll( , )2n s2或 sincos()cos()22 , , , , , m n pA B Csn222222|sin|cos|AmBnCpABCmnps ns n 2直线与平面垂直 3直线与平面平行 /ABClmnpsn/0lAmBnCpsn第55页/共65页第五十五页，共65页。 例18：求直线 和平面 夹角. 解：求3220310 xzxy 250 xyz302263 ,2,1,1310 ij

32、ksijkn 求投影平面，即 ，即 投影平面为： 即为所求投影直线方程.11,nn(1) 1(1) 1( 1) 1 010,1 2220yz10yz 100yzxyz 第56页/共65页第五十六页，共65页。 解：先作一平面过点 且与 垂直 （1） 再求 与 的交点， 的参数方程为 代入（1）例19：求过点 且与直线 垂直相交的直线方程.(2,1,3)M11321xyz(2,1,3)L3(2)2(1)(3)0 xyzLL3112xtytzt 解得 ， 交点为 即 37t 2 133,777N213:2133213777xyzL213214xyz第57页/共65页第五十七页，共65页。 又 四、

33、距离 1点到直线的距离设点 及直线 ，求 .1111( ,)M x y z000:xxyyzzLlmn01|M Mdss 例20：求两条平行直线 与 之间的距离.713:342xyzl21:342xyzl 解：由于两条平行线之间距离等于一条直线上的任意一点 到另一条直线的距离. 1P1102(7,1,3),(2, 1,0)MlMl01(5,2,3)M M (3,4,2)s01523814342M M ijksijk 22201222( 8)( 1)14|2613|29342M Md ss 第58页/共65页第五十八页，共65页。 2两直线共面的条件： 空间两直线有共面与异面之分，从 与 上各取一点和 ，则 共面 三个向量 共面 即 1L2L1M2M12,L L1212, M Ms s 1 2120M Ms s 1112222121210lmnlmnxxyyzz第59页/共65页第五十九页，共65页。 例21：证明直线 与 共面，并求 所在的平面方程.721:322xyzL:1 2 ,2 3 ,5 4L xt yt zt 12LL， 解：取 由两直线共面1122(7,2,1),(1, 2,5)MLML3222340,644 与 共面，设 的法向量