数学分析.-3ppt课件

1、xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧C上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点 BMMMMMAnni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分点点得得一一内内接接折折线线， 一、平面曲线弧长的概念一、平面曲线弧长的概念3 3、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 |,| |,|max|1n1i11iiTiiniMMSMMT 记记它们成为它们成为C的一个分割，记为的一个分割，记为T,最长弦的长度最长弦的长度折线的总长度折线的总长度定义定义1对于曲线对于曲线C,无论怎样的分割无论怎样的分割T,假如假如,lim0|sSTT 则称曲线则称曲线C是可求长的，并把是可求

2、长的，并把s定义为曲线的长度。定义为曲线的长度。定义定义2, , )()(: ttyytxxC设设平平面面曲曲线线，不不同同时时为为有有连连续续导导数数，且且，在在0)(),()(),(tytxtytx 则称则称C是一条光滑曲线。是一条光滑曲线。定理定理1, , )()(: ttyytxxC设设平平面面曲曲线线且且C是光滑曲线，是光滑曲线， 则则C是可求长的，且弧长为是可求长的，且弧长为.)()(22dttytxs 证：证：参数方程下弧长的计算公式。参数方程下弧长的计算公式。即证：即证：TTSs0|lim iniiiTtyx )()(lim1220| 的的任任意意分分割割，是是曲曲线线CT的的

3、任任意意分分割割，是是 T 对对C作任意的分割作任意的分割T=P0, P1, Pn,且且对应对应对应对应设设, , 0 tPtPn, 1, 2 , 1),(),(),( nitytxyxPiiiii的的一一个个分分割割：，对对应应地地得得到到则则与与 T.:10 ntttT的的内内接接折折线线总总长长为为：则则曲曲线线 C 122 niiiTyxS上上，由由微微分分中中值值定定理理，所所属属的的每每个个小小区区间间在在,1iiittT , ,)()()(1iiiiiiitxtxtxx , ,)()()(1iiiiiiitytytyy 故故 122 niiiTyxS. )()(122iniiit

4、yx 有有连连续续的的反反函函数数时时，光光滑滑，当当)(0)(txxtxC , 00 tx时时，有有当当时时，同同理理，当当0)( ty, 00 ty，有，有由由. 0, 0|221 iiiiityxPP必必有有故故当当. 0|01 iiiPPt，显显然然有有反反之之，当当. 0|0| TTC等价于等价于光滑时，光滑时，当当连连续续，从从而而可可积积，在在,)()(22 tytx 要证要证iniiiTtyx )()(lim1220| TTS0|lim).)()(22dttytx )()()()(2222iiiiiyxyx 记记)()()()()()()()( 22222222iiiiiiii

5、yxyxyxyx 由由三三角角不不等等式式，有有|)(| )(|iiiyy |,)()(|iiyy )(ix )(iy )(iy iniiiTtyx )()(lim1220| TTS0|lim 要证要证iiniiiTtyxs )()(122 则则，上上连连续续，从从而而一一致致连连续续在在,)( ty 有有只只要要当当,|, 0, 0iiiT ,| )(|)(| iiyy,| i从从而而| )()(| 122iniiiTtyxs 得得|1 niiit niiit1| . iniiiTtyxs )()( i122 由由iniiiTtyx )()(lim1220| TTS0|lim 即即证毕。证毕

6、。.)()(22dttytx dttytxds)()(22 ,| )()(|122 iniiiTtyxs解解星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 例例 1 1 求求星星形形线线 3/23/23/2ayx )0( a 的的全全长长. a aoyx.)()(22dttytxs 设设 曲曲 线线 弧弧 为为)( xfy )(bxa ， 其其 中中)( xf在在,ba上上 有有 一一 阶阶 连连 续续 导导 数数弧长弧长.12dxysba 二、直角坐标情形二、直角坐标情形,

7、)(baxxfyxx 看作参数方程：看作参数方程：则则C是光滑曲线，且是光滑曲线，且直角坐标下弧长的计算公式。直角坐标下弧长的计算公式。例例 2 2 计计算算曲曲线线2332xy 上上相相应应于于x从从a到到 b的的一一段段弧弧的的长长度度. 解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab.12dxysba 曲线曲线C为为)( )( rr 其其中中)( r在在, 上上具具有有连连续续导导数数.且且)( r和和)( r 不不同同为为 0。 sin)(cos)(ryrx)( 22)()( yx ,)()(22 drr 弧

8、长弧长.)()(22 drrs 三、极坐标情形三、极坐标情形则则C是光滑曲线，且是光滑曲线，且极坐标下弧长的计算公式。极坐标下弧长的计算公式。例例 4 4 求求阿阿基基米米德德螺螺线线 ar )0( a上上相相应应于于 从从0到到 2的的弧弧长长. 解解, ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 .)()(22 drrs 四、弧微分四、弧微分.)()(22dttytxs .)()()(22 dyxtst 曲线由端点曲线由端点p0到动点到动点P(x(t),y(x) 的弧长的弧长，,)()(22dtdydtdxdtds 22dydxds

9、弧微分。弧微分。NMTRxdxx xyodxdydsdxMR dyTR dsMT 22dydxds 以切线的长度近似代替局部曲线的长以切线的长度近似代替局部曲线的长度，其误差是关于度，其误差是关于dx 的高阶无穷小量。的高阶无穷小量。,dss 五、曲率及其计算公式五、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质弯曲程度的量曲率是描述曲线局部性质弯曲程度的量1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大越大,转角越大转角越大转角相同转角相同,弧段越弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1、曲率的定义、曲率的定义1 ) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的平均

10、曲率为的平均曲率为弧段弧段（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，.0是是基基点点M, sMM （. 切切线线转转角角为为MM定义定义sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率,lim0存存在在的的条条件件下下在在dsdss .dsdK 2、曲率的计算公式、曲率的计算公式注意注意: (1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的圆上各点处的曲率等于半径的倒数倒数,半径越小曲率越大半径越小曲率越大.,)(二二阶阶可可导导设设xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctan y 有有.12dxyds )）)0( RRs1 ,),()

11、,(二阶可导二阶可导设设 tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 例例5 椭圆椭圆 上哪些点处上哪些点处曲率最大？曲率最大？,cos2tx tysin3 解解232)(1|yyk 2322)cos9sin4(6tt 232)cos54(6t 要使要使 最大，最大，k232)cos54(t 必有必有 最小，最小，23,2 t此时此时 最大，最大，k六、曲率圆与曲率半径六、曲率圆与曲率半径定义定义D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(处的曲率圆（密切圆）处的曲率圆（密切圆）称此圆为曲线在点

12、称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy ,曲率中心曲率中心 D.曲率半径曲率半径 xyo1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.1,1 kk即即注意注意: :2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲率越大率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一

13、点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).（相同的切线、相同的曲率、相同的凸性）（相同的切线、相同的曲率、相同的凸性）4.运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的研究曲线和曲面的性质的数学分支数学分支微分几何学微分几何学.点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停).(1),(,的半径的半径为圆弧轨道为圆弧轨道到到率连续地由零过渡率连续地由零过渡使曲使曲如图如图缓冲段缓冲段弯道之间接入一段弯道之间接入一段稳，往往在直道和稳，往往在直道和驶平驶平容易发生事故，为了行容易发生事

14、故，为了行的曲率突然改变的曲率突然改变道时，若接头处道时，若接头处铁轨由直道转入圆弧弯铁轨由直道转入圆弧弯RR例例2 2.1)1(, 06103RARlRlOOAOAlOAxxxRly的曲率近似为的曲率近似为时，在终端时，在终端很小很小并且当并且当为零为零的曲率的曲率在始端在始端的长度，验证缓冲段的长度，验证缓冲段为为，其中，其中缓冲段缓冲段作为作为，通常用三次抛物线通常用三次抛物线 xyoR),(00yxA)0 ,(0 xClxyoR),(00yxA)0 ,(0 xC证证如图如图的的负负半半轴轴表表示示直直道道，x.,是是圆圆弧弧轨轨道道是是缓缓冲冲段段 ABOA（在缓冲段上在缓冲段上,212xRly .1xRly