2.3.1平面向量的基本定理ppt课件

1、非非零零向向 向向量量 与与量量b ba a共共线线, ,当当 时，时， 0与与 同向，同向，ba且且 是是 的的 倍倍;|b|a当当 时，时， 0与与 反向，反向，ba且且 是是 的的 倍倍;|b|a|当当 时，时， 00b ，且，且 .| |0b复习复习:有有且且只只有有一一个个实实数数，使使得得b b = = a a. .向量共线等价条件向量共线等价条件ab向量的加法：OBCAabOAaBbbaba平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则共起点共起点首尾相接首尾相接1e2e OCABMN OCOMON 如图111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe

2、 a 1 12 2思思考考：一一个个平平面面内内的的两两个个不不共共线线的的向向量量e e 、 e e 与与该该平平面面 内内的的任任一一向向量量 a a之之间间的的关关系系. .1e2e OCABMNa OCOMON 如图111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe 1 122 +aee 1 11 12 22 2这这就就是是说说平平面面内内任任一一向向量量a a都都可可以以表表示示成成 e e + + e e 的的形形式式平面向量基本定理 一向量 a 有且只有一对实数 、 使21共线向量，那么对于这一平面内的任 假设 、 是同一平面内的两个不1e2e11ea =

3、 + 2e2示这一平面内所有向量的一组基底。我们把不共线的向量 、 叫做表1e2e（1一组平面向量的基底有多少对？（有无数对）思索E EF F F FA AN NB BaM MO OC CN NM MM MO OC CN NaE E基底不唯一，不基底不唯一，不共线，非零向量共线，非零向量思索 (2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？ 21（可以不同，也可以相同）O OC CF FM MN NaE E E EA AB BN NOC = 2OB + ON OC = 2OB + ON OC = 2OA + OEOC = 2OA + OEOC = OF + OE OC = OF +

4、 OE 1 、 2可用几何知识可用几何知识求解三角形、平行求解三角形、平行四边形法则等）四边形法则等）平行四边形做法唯一，所以实数平行四边形做法唯一，所以实数对对11，2 2 存在唯一存在唯一2 2、基底不唯一，关键是不共线、基底不唯一，关键是不共线. .4 4、基底给定时，分解形式唯一、基底给定时，分解形式唯一. .阐明：阐明：1、把不共线的非零向量、把不共线的非零向量 叫做表示叫做表示这一平面内所有向量的一组基底这一平面内所有向量的一组基底.12,e e 3、由定理可将任一向量、由定理可将任一向量 在给出基底在给出基底 的条件下进行分解的条件下进行分解.12,e e a.,5221121表

5、表示示平平面面上上的的所所有有向向量量则则共共线线的的向向量量，是是同同一一平平面面内内的的两两个个不不、eeee 特别的，假设特别的，假设 a = 0 ，则有且只有，则有且只有 ： 可使可使 0 =11e2e2+.21= 0？假设？假设 与与 中只有一个为中只有一个为零，情况会是零，情况会是怎样？怎样？21特别的，若特别的，若a与与 （ ）共线，则有）共线，则有 =0（ =0），使得），使得: a = + .121e22e2e11e为什么？为什么？检测检测1、给出下面三种说法：、给出下面三种说法：（1一个平面内只有一对不共线的非零向量可一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向

6、量的基底；作为表示该平面所有向量的基底；（2一个平面内有无数多对不共线非零向量可一个平面内有无数多对不共线非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；作为表示该平面所有向量的基底；（3零向量不可作为基底的向量零向量不可作为基底的向量其中正确的说法是其中正确的说法是( )A、(1)(2) B、(2)(3) C、(1)(3) D、(2)B2 2、知、知 、 是表示平面内所有向量的一组基是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是（的是（ ）A A、 B B、C C、 D D、梯度训练梯度训练1e2e1e2e1e+和2e1e2e21e2e2

7、和1e2e21e2e2和1e2e21e2e2和1e2e21e2e2和1e2e21e2e2和1e2e2和1e2e241e2e+1e2e和CFs OABFS 我们学过功的概念，即一个物体在我们学过功的概念，即一个物体在力力F的作用下产生位移的作用下产生位移s(如图如图)二、向量的夹角二、向量的夹角:两个非零向量两个非零向量 和和 ,作作 ， ,那么那么)1800(abAOB叫做向量叫做向量 和和 的夹角的夹角OAa OBb ab夹角的范围：夹角的范围：001800 180 与与 反向反向abOABab0 与与 同向同向abOABab记作记作ab90 与与 垂直，垂直，abOAB ab留意留意:两向

8、量必须两向量必须是同起点的是同起点的oAaBb如图，等边三角形中，求如图，等边三角形中，求 (1)AB与与AC的夹角；的夹角； (2)AB与与BC的夹角。的夹角。ABC60C01201212,3 .e eee 例1：已知向量（如图），求作向量-2.5作法:1e2eOA2.OACB作 BC1e-2.51.O如 图 ， 任 取 一 点23e 1,2.5OAe 作OC 则， 就是所求的向量2, 3 .OBe 练习练习: 1 12 21 12 21 12 2如如图图，已已知知向向量量e e、 e e，求求作作下下列列向向量量: : ( (1 1) ). . 3 3e e + +2 2e e; ; (

9、(2 2) ). . 4 4e e - -e e; ;1e2e 1e1e1e2e 2e 1e2e 1 1. .在在 A AB BC CD D中中，设设A AC C= =a a, ,B BD D= =b b, ,则则A AB B= = , , A AD D= = . .( (用用a a、 b b来来表表示示) )练习练习:2ab2abBACD 把一个向量分解为两个互相垂直的向把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解量，叫作把向量正交分解2.3.2 平面向量的正交分解平面向量的正交分解.22112211eeaeea ，使使和和两两个个向向量量均均可可以以分分解解为为不不共共线线的的，

10、对对平平面面上上的的任任意意向向量量由由平平面面向向量量的的基基本本定定理理 我们知道，在平面直角坐标系，每一个我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数即它的坐标表示，点都可用一对有序实数即它的坐标表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？ 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。基底时，会为我们研究问题带来方便。ABCDoxyij 如图，在直角坐标系中，如图，在直角坐标系中，已知已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设设 ，填空：，填空：,OAi

11、OBj (1)| |_,| _,|_;ijOC(2)若用若用 来表示来表示 ，那么：，那么：, i j ,OC OD _,_.OCOD1153 547(3)向量向量 能否由能否由 表示出来？表示出来？可以的话，如何表示？可以的话，如何表示？CD , i j 23CDij ji43 ji75 一、平面向量的坐标表示一、平面向量的坐标表示:yOxijai xjy我们把我们把(x,y)叫做向量叫做向量 的的(直角直角)坐标，记作坐标，记作 a( , )ax y其中，其中，x叫做叫做 在在x轴上的坐标，轴上的坐标，y叫做叫做 在在y轴上的坐标，轴上的坐标，(x,y)叫做向量的坐标表示叫做向量的坐标表示

12、.aa如图，如图， 是分别与是分别与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，那么为基底，那么, i j , i j 那么那么i =（ ， ） j =( ， )0 =（ ， ） 1 00 10 0 +aaijxyxy 对于该平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 ，可使 2.3.2 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示1以原点以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置由谁确的位置由谁确定定?aOA 概念理解概念理解3两个向量相等坐标如何表示？两个向量相等坐标如何表示？2点点A的坐标与向量的坐标与向量a 的坐标的关系？的坐标的关系？由由a 唯一确定，为什么？唯一

13、确定，为什么？设设OA=xi+yj，则向量，则向量OA的坐标的坐标x,y)就是点就是点A的坐标；的坐标；反过来，点反过来，点A的坐标的坐标x,y)也就是向量也就是向量OA的坐标。因的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。一对实数唯一表示。OxyAijaxy 当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标就是向量终点的坐标.坐标坐标(x,y)一一对应一一对应 向量向量a2121yyxxba且jyxOiaA1AA2bcd例例1: 用基底用基底i，j分别表示向量分别表示向量a、

14、b、c、d,并求出它们的坐标并求出它们的坐标.jiAAAAa3221解：解：(2,3)a)3 , 2(32jib)3, 2(32jic)3, 2(32jidBDCDCB 2aba3bab 解： 4ABDBDBD ， ， 三点共线AB与共线，故存在实数 是AB=例例2:设设 是两个不共线向量，知是两个不共线向量，知 若若A,B,D三点共线，三点共线，求实数求实数 ？ ,2bkaABkba,3baCB,2baCD0402k8kbababka442042bka化归思想化归思想BDCDCB 2aba3bab 解： 4ABDBDBD ， ， 三点共线AB与共线，故存在实数 是AB=例例2:设设 是两个不共线向量，知是两个不共线向量，知 若若A,B,D三点共线，三点共线，求实数求实数 ？ ,2bkaABkba,3baCB,2baCD42k8k构造思想构造思想bababka442化归思想化归思想构造思想构造思想00212121kk 121122结论1、设e , e 是两个不共线向量，若ee ,则有02211ee22,R 1211122122112结论 、设e , e 是两个不共线向量，若e +k ee +k e,k ,k则有22122111ek