第二讲 地图的数学基础20100902

1、明德至诚博学远志 周小成办公室：87892306，手机mail：第二讲 地图的数学基础地质制图基础理论讲课提纲地球坐标系与大地定位地图比例尺一一二二三三四四地球的形状与大小五五地图投影地图投影的应用地图的定义及特点六六v 地图学教科书多年来定义：地图就是按照一定的数学法则，运用符号系统，概括的将地球上各种自然和社会经济现象缩小表示在平面上的图形。该定义反映了地图的基本特性，但未明确现代地图的各种功能特性；v 结合现代地图制图技术的发展，可将现代地图概念定义为： 现代地图是按照严密的数学法则，用特定的符号系统，将地球或其他星球的空间事象，以二维或多维、静态或动态可视化形

2、式，抽象概括、缩小模拟等手段表示在平面或球面上，科学地分析认知与交流传输事象的时空分布、数量质量特征及相互关系等多方面信息的一种图形或图像。一地图的定义及特点1.1 地图的定义严密的数学法则v地图投影、比例尺、和坐标系统构成了可量测地图的数学基础。科学的地图概括v地图内容科学性的核心问题就是地图概括。经过取舍，简化等抽象思维，与航空和卫星影像的主要区别。特定的符号系统v地球表面的事物，不可能按原貌缩绘到地图上，在地图上是运用特定的符号系统表示的。采用图形符号这种地图语言，传递空间事物的位置、名称、数量和质量等信息。以上三个基本特征所涉及的内容，构成了地图学的三个重要分支领域：地图投影、制图综合

3、和地图符号系统。同时也是现代计算机制图所必须依据的理论基础。1.2 地图的基本特性现代地图学与地球科学的关系v地图是地理学和地质学等区域性学科的“第二语言”。v地球科学既是地图学的应用对象又是地图学的研究对象，地图作为科学研究的有效工具，促进了地球科学的发展。v地理学和地质学等区域性学科又是地图学，特别是专题地图学的科学内容基础和主要资料来源。v地图学与地学等区域性学科相结合，形成地球学科各部门或区域的专题地图学，如地质制图学、地貌制图学、土壤制图学、资源环境制图学、农业制图学、经济地图学等。1.3现代地图学与地球科学和测绘学关系现代地图学与测绘学的关系v没有精密的测量就没有精确的地图；测制地

4、形图的过程中，各种成图要素的表示方法，地图概括及其编辑工作，都需要地图学方面的知识。v在我国，行政部门与学会组织，都把地图学与测量学结合在一起统一管理，把地图学作为测绘学的一个分支；同样地理学的相关单位也把地图学作为地理学的组成学科之一。在国家科学分类系统中，地图学作为理科，在地球科学大类中，同自然地理学、地质学、海洋学等并列为二级学科。在技术学科中，地图制图是测绘技术中的分支。现代地图学与测绘学的关系（续）v 国际上，地图学的国际组织“国际地图学协会”是与国际地理学联合会、国际遥感与测量学协会等并列的一级独立学术团体，许多国家把测绘学与地理学结合在一起。如日本的国土地理院，法国的国家地理院，

5、都包括地理与测绘两部分，其中全国地形图的测制与专题地图编制都是他们的中心任务。v 美国的地质调查局（USGS）甚至把地质学、地理学、测绘学组合在一起，除编制生产地形图、地质图、还编制生产其他专题地图。2.1地球的自然表面（自然球体）2.2地球的物理表面（大地体）2.3地球的数学表面（旋转椭球体）二地球的形状与大小一、地球的形状与大小2.1地球的自然表面（自然球体）地球的形状2.1地球的自然表面（自然球体）v由地球的自然表面所包围的形体,称为地球自然球体。v卫星观察结果：地球是一个不规则的近似“梨形的球体”。v南北半球极半径差为几十米。v自然表面、极半径和赤道半径之差都约20km。v地球的自然表

6、面是一个极复杂又不规则的球形曲面，难以用数学公式表达。2.2地球的物理表面（大地体）地球表面水准面大地水准面铅垂线地球椭球体图：地球自然表面、大地水准面和地球椭球体的关系2.2地球的物理表面（大地体）v 海洋静止时，自由水面与各点重力方向垂直正交，称为水准面。v 大地水准面：众多的水准面中，有一个与静止的海水面相重合，并假想其穿过大陆，形成一个闭合面。这就是大地水准面。v 地球内部质量分布不均匀，致使地面上各点的铅垂线方向产生不规则的变化，因此大地水准面实际是一个起伏不平的重力等位面又称为地球物理表面。v 大地体：为测量方便，大地测量学家引入了大地体的概念。即大地水准面包围的地球形体。大地水准

7、面是地球形体的一级逼近。v 大地水准面在陆地海洋高差不超过60m。虽然比地球自然表面规则的多，但还是不能用简单的数学公式表达。v 从整个形状来看，大地水准面起伏微小，极接近地球椭球体。2.3地球的数学表面（旋转椭球体）v在测量和制图中，使用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。地球椭球体是一个规则的数学表面，测量学家把其视为地球的数学表面。是地球形体的二级逼近，是用于测量计算的基准面。v基准面是利用特定椭球体对特定地区地球表面的逼近，因此每个国家或地区均有各自的基准面。v 由于推求所用资料、年代、方法不同。所得到的地球椭球体描述参数也略有不同，在大地测量过程中

8、，世界各国先后推算出许多不同的椭球体参数。2.3.1国际上主要的椭球体参数国际上主要的椭球体参数2.3.2我国与测量制图相关的几个椭球体参数v参考椭球体定位：地球的长半径、短半径和扁率测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系，即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。v参考椭球体：地球形状的三级逼近。v中国的1952年使用海福特椭球，1953-1980使用克拉索夫斯基椭球体(原点在苏联），1980年起使用国际大地测量（IAG)和地球物理联合会（IUGC）推荐的1975年基本大地数据给定的椭球体，并确定陕西泾阳县永乐镇为1980年大地坐标的

9、起算点。国家大地原点（陕西泾阳）名称定义地心亦称轴心，地球椭球中心，与地心重合（）地轴亦称极轴，地球椭球的旋转轴，与地球自转轴重合地极地轴与椭球面的交点，分北极（N）和南极（S）子午面通过地轴的任意平面子午圈子午面与椭球面的交线首子午面通过格林尼治天文台的子午面首子午线通过格林尼治天文台的子午圈法线垂直于椭球面某点切面的直线，一般不交于地心平行面亦称纬线面，垂直于地轴的平面平行圈亦称纬线，平行面与椭球面的交线赤道面垂直于地轴并过地心的平面赤道圈赤道面与椭球面的交线，亦称赤道，为最大的平行圈地理坐标系子午圈（经线）与平行圈（纬线）在椭球面上是两组正交的曲线。它在椭球面上构成的坐标系叫地理坐标系。

10、亦称大地坐标系扁率长短半轴之差与长半轴之比主要的地球椭球体元素3.1大地坐标系3.2地心坐标系3.3平面直角坐标系3.4我国大地坐标系3.5高程系三地球坐标系与大地定位v 大地坐标系(地理坐标系)：大地测量中以参考椭球面为基准建立起来的坐标系v 大地经度 ：大地子午面与起始子午面夹角。v 大地纬度：椭球面上某点的垂直线与赤道面夹角。3.1大地坐标系3.2地心坐标系v以地球的质心作为坐标原点的坐标系称之为地心坐标系，即要求椭球体的中心与地心重合。v建立精确的地心坐标系对于卫星大地测量、全球性导航和地球动态研究都有重要意义。3.3平面直角坐标系高斯直角坐标系与数学中的笛卡尔坐标系不同v 在在Arc

11、GISArcGIS中基于这三个椭球，包含了我国常用的三个基准面中基于这三个椭球，包含了我国常用的三个基准面和地理坐标系：和地理坐标系：v GCS_WGS1984(GCS_WGS1984(基于基于WGS84 WGS84 基准面基准面) )v GCS_BEIJING1954(GCS_BEIJING1954(基于北京基于北京19541954基准面基准面) )v GCS_XIAN1980(GCS_XIAN1980(基于西安基于西安19801980基准面基准面) )椭球体椭球体长半轴长半轴 a（米）（米）短半轴短半轴b（米）（米）Krassovsky（北京（北京54采用）采用）6378245635686

12、3.0188IAG 75（西安（西安80采用）采用）63781406356755.2882WGS 8463781376356752.3142我国常用的三个基准面和地理坐标系我国常用的三个基准面和地理坐标系3.4我国大地坐标系v绝对高程v相对高程v高差绝对高程与相对高程3.5高程系水准原点1985国家高程基准，72.2604米黄海海面1952-1979年平均海水面为0米4.1地图比例尺定义4.2地图比例尺形式v 数字比例尺v 文字比例尺：很少。v 图解比例尺：直线比例尺4.3比例尺的作用v 比例尺决定地图图形的大小v 比例尺决定地图的测制精度v 比例尺决定地图内容的详细程度四地图比例尺直线比例尺

13、5.1地图投影的概念v 5.1.1地图投影的科学内涵v 5.1.2地图投影的变形5.2地图投影的分类v 5.2.1按变形性质分类 等角投影、等积投影、任意投影v 5.2.2按承影面不同分类 圆柱投影、圆锥投影和方位投影等五地图投影5.1.1地图投影的科学内涵v 地球椭球体是一个不可展曲面，而地图是一个平面，因而把这样一个球面展开为平面，就必然发生裂缝或重叠。为了消除裂缝或重叠，需要在裂缝的地方予以伸展，在重叠的地方予以压缩。这样便使图形产生了变形（误差）。v 解决上述问题的最好办法是在球状物（例如地球仪）上制作地图，若制作的是大比例尺地图，那就需要在地球的局部按比例缩小后的球面上进行，这样发生

14、变化的只是尺寸，而相对距离、角度、面积和方位角等要素均不会发生任何变化。5.1地图投影的概念l 地球椭球体为不可展曲面l 将地球椭球面上的点映射到平面上的方法，称为地图投影l 地理坐标为球面坐标，不方便进行距离、方位、面积等参数的量算l 地图为平面，符合视觉心理，并易于进行距离、方位、面积等量算和各种空间分析5.1地图投影的概念v在平面上制作地图，必须把球面转换为平面。可以理解为将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的一些特征点，如 测量控制点、地形点、地物点等用垂直投影的方法投影到图纸（平面）上；v地图投影就是研究把地球椭球体面上的经纬网按照一定的数学法则转绘到平面上的方法及其变

15、形问题。地图投影方法一般采用解析法。v解析法：比较科学的方法，建立地球椭球面上经纬网与平面上相应经纬网之间的对应关系。v解析法的实质就是确定球面上地理坐标（，）与平面上对应直角坐标（x,y）之间的函数关系。直接建立在球体上的地理坐标，用经度和纬度表达地理对象位置建立在平面上的直角坐标系统，用（x，y）表达地理对象位置投影坐标参考系统平面系统 建立地球椭球面上经纬线网和平面上相应经纬线网的数学基础，也就是建立地球椭球面上的点的地理坐标（，）与平面上对应点的平面坐标（x，y）之间的函数关系： 当给定不同的具体条件时，将得到不同类型的投影方式。 ),(),(21fyfx投影坐标系（Projected

16、 Coordinate Systems）v 投影坐标系使用基于X,Y值的坐标系统来描述地球上某个点所处的位置。这个坐标系是从地球的近似椭球体投影得到的，它对应于某个地理坐标系。v 投影坐标系由 以下参数确定 地理坐标系（由基准面确定，比如：北京54、西安80、WGS84） 投影方法（比如高斯克吕格、Lambert投影、Mercator投影） 将不可展的地球椭球面展开成平面，并且不能有断裂，则图形必将在某些地方被拉伸，某些地方被压缩，故投影变形是不可避免的。v长度变形：长度比d与1之差。长度比d是投影面上一微小线段和椭球体面上相应微小线段长度比。v面积变形：面积比p与1之差。面积比是投影面上一微

17、小面积与椭球面上相应微小面积之比。v角度变形：投影面上任意两方向线夹角与椭球面上相应两方向线夹角之差。v形状变形：5.1.2地图投影的变形v 地图投影中变形的性质和程度，通常用变形椭圆形状和大小表示；v 变形椭圆指地球面上微小圆，投影后为椭圆（特殊情况为圆），这个椭圆可以表示投影的变形。在不同位置变形椭圆常有不同的形状和大小。5.1.2地图投影的变形v 变形分类：v 等角投影：投影前后角度不变v 等面积投影：投影前后面积不变；v 任意投影：角度、面积、长度均变形v 投影面：v 横圆柱投影：投影面为横圆柱v 圆锥投影：投影面为圆锥v 方位投影：投影面为平面v 投影面位置：v 正轴投影：投影面中心

18、轴与地轴相互重合v 斜轴投影：投影面中心轴与地轴斜向相交v 横轴投影：投影面中心轴与地轴相互垂直v v 相切投影：投影面与椭球体相切v 相割投影：投影面与椭球体相割5.2地图投影的分类5.2地图投影的分类各种几何投影 6.1 地图投影的辨认和选择6.2 我国基本比例尺地形图投影6.3 世界地图常用投影6.4 中国全图常用投影六、地图投影的应用6.1.1地图投影的辨认v 根据地图上经纬线的形状确定投影类型v 根据图上量测的经纬线长度确定其变形性质6.1.2地图投影的选择依据v 制图区域的地理位置、形状和范围v 制图比例尺v 地图的内容v 出版方式5.1 地图投影的辨认和选择地图投影：GIS中地图

19、投影v GIS以地图方式显示地理信息，而地图是平面，地理信息则在地球椭球上，因此地图投影在GIS中不可缺少。v GIS数据库中地理数据以地理坐标存储时，则以地图为数据源的空间数据必须通过投影变换转换成地理坐标；而输出或显示时，则要将地理坐标表示的空间数据通过投影变换变换成指定投影的平面坐标。v GIS中，地理数据的显示可根据用户的需要而指定投影方式，但当所显示的地图与国家基本地图系列的比例尺一致时，一般采用国家基本系列地图所用的投影。1:100万地形图投影v采用正轴等角割圆锥投影，又叫兰勃特投影(Lambert Conformal Conic)；大部分分省图、大多数同级比例尺也采用这种投影1:

20、50万1:5000地形图投影 高斯克吕格投影的概念 分带规定 坐标网的规定v地理坐标网（经纬网）v直角坐标网（方里网）v邻带补充坐标网6.2 我国基本比例尺地形图投影高斯克吕格投影(Gauss-Kruger)示意 由于这个投影是由德国数学家、物理学家、天文学家高斯于19世纪20年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格于1912年对投影公式加以补充，故称为高斯克吕格投影(Gauss-Kruger) 。高斯克吕格投影在英美国家称为横轴墨卡托投影， (Transverse Mercator) 。美国编制世界各地军用地图和地球资源卫星象片所采用的全球横轴墨卡托投影（UTM）是横轴墨卡托投影的一种变型。高斯

21、克吕格投影的中央经线长度比等于1，UTM投影规定中央经线长度比为0.9996。在6度带内最大长度变形不超过0.04%。 高斯克吕格投影v高斯克吕格投影的中央经线和赤道为互相垂直的直线，其他经线均为凹向并对称于中央经线的曲线，其他纬线均为以赤道为对称轴的向两极弯曲的曲线，经纬线成直角相交。v在这个投影上，角度没有变形。中央经线长度比等于1，没有长度变形，其余经线长度比均大于1，长度变形为正，距中央经线愈远变形愈大；面积变形也是距中央经线愈远，变形愈大。高斯投影带为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影

22、。分带规定v 我国规定1：1万、1：2.5万、1：5万、1：10万、1：25万、1：50万比例尺地形图，均采用高斯克吕格投影(Gauss-Kruger) ；v 1：2.5至1：50万比例尺地形图采用经差6度分带，1：1万比例尺地形图采用经差3度分带。v 6度带是从0度子午线起，自西向东每隔经差6为一投影带，全球分为60带，各带的带号用自然序数1，2，3，60表示。即以东经0-6为第1带，其中央经线为3E，东经6-12为第2带，其中央经线为9E，其余类推。v 3度带，是从东经1度30分的经线开始，每隔3度为一带，全球划分为120个投影带。v 在高斯克吕格投影上，规定以中央经线为X轴，赤道为Y轴，

23、两轴的交点为坐标原点。坐标网的规定v X坐标值在赤道以北为正，以南为负；Y坐标值在中央经线以东为正，以西为负。我国在北半球，X坐标皆为正值。Y坐标在中央经线以西为负值，运用起来很不方便。为了避免Y坐标出现负值，将各带的坐标纵轴西移500公里，即将所有Y值都加500公里。v 由于采用了分带方法，各带的投影完全相同，某一坐标值（x，y），在每一投影带中均有一个，在全球则有60个同样的坐标值，不能确切表示该点的位置。因此，在Y值前，需冠以带号，这样的坐标称为通用坐标。v 高斯克吕格投影各带是按相同经差划分的，只要计算出一带各点的坐标，其余各带都是适用的。这个投影的坐标值由国家测绘部门根据地形图比例尺系列，事先计算制成坐标表，供作业单位使用。 坐标网的规定v 世界地图的投影主要考虑要保证全球整体变形不大，根据不同的要求，需要具有等角或等积性质 等差分纬线多圆锥投影v 赤道和中央纬线是互相垂直的直线，其他纬线是对称于赤道的同轴圆弧，其圆心均在中央经线上，其他经线为对称于中央经线的曲线，每一条纬线上各经线间的间隔，随离中