对数与对数运算(第三课时)

1、对数的运算对数的运算 探索：探索：把左右两列中一定相等的用线连起来把左右两列中一定相等的用线连起来NMaaloglogNMalognaMlog)(logMNaNMaaloglogMnalogNMaaloglog)log(NM NMaaloglog)log(NM naM)(log对数的换底公式对数的换底公式alogblogblogcca)0b), 1()1 , 0(c , a(证明：设 由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,abx即证得即证得 , xbloga,alogblogxcc, alogxblogccalogblogxccalogblogblogcca这个公式叫做换底公式这个公式叫

2、做换底公式其他重要公式其他重要公式1:algblgblogaalnblnbloga其他重要公式其他重要公式2:blogmnbloganam证明：设证明：设 ,logpNnam由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,)(pmnaN 即证得即证得 NmnNanamloglogmpnaN pnmNa logpnmaN blogbloganan其他重要公式其他重要公式3:alog1blogba), 1 () 1 , 0(,ba证明:由换底公式 取以b为底的对数得： 还可以变形,得 , 1logbbalogblogblogccaabbbbalogloglogabbalog1logzlogzlogyl

3、ogxyxzlogylogzlogylogzlogylogxxxxyx问题：已知问题：已知 2 x = 3，如何求，如何求 x 的值？的值？若已知若已知 log3x = 0.5,如何求如何求 x 的值？的值？32log9log2789103lg32lg52lg33lg227lg32lg8lg9lg9103log3533log227log32log8log9log222222公式的运用：公式的运用：利用换底公式统一对数底数，即利用换底公式统一对数底数，即“化异为同化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法；是解决有关对数问题的基本思想方法；解法解法:原式原式=解法解法:原式原式=例题例题2：计算

4、：计算37254954log31log81log2log的值的值1.分析：先利用对数运算性质法则和换底分析：先利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再求值；公式进行化简，然后再求值；2.解：原式解：原式=37lg32lg25lg23lg7lg23lg45lg2lg21, 518, a9logb1845log36已知求的值（用a，b表示）ba5log,9log1818a12log18分析：已知对数和幂的底数都是分析：已知对数和幂的底数都是18，所以先将，所以先将需求值的对数化为与已知对数同底后再求解；需求值的对数化为与已知对数同底后再求解；解：解： ，一定要求aba22log15log9l

5、og36log45log45log181818181836利用换底公式利用换底公式“化异为同化异为同”是解决有关对数问是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起了重要作用，在解题过程中应注意：了重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择好底数；）针对具体问题，选择好底数；（2）注意换底公式与对数运算法则结合使用；）注意换底公式与对数运算法则结合使用；（3）换底公式的正用与逆用；）换底公式的正用与逆用；1643tzyxyxz21111643tzyx6lglg4lglg3lglgtztytx，yttttxz21lg24lglg2lg

6、lg3lglg6lg11 例三、设 求证： 证： zyx6 ,4 ,32 比较比较的大小。的大小。 04lg3lg8164lglg4lg3lg81lg64lglg)4lg43lg3(lg43 kkkyx yx43 06lg2lg169lglg6lg2lg64lg36lglg)6lg64lg4(lg64 kkkzy zy64 zyx643 )5lg1(p32lgp33lgp33log2q3lg5lg5log3)5lg1 (33lg5lgpqqpqpq35lg)31 (pqpq3135lg 例四、若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5 解： log 8 3 = p

7、又 2loglog8log4log4843m218lglg4lg8lg3lg4lgm3lg21lgm3m 例六、若例六、若 求 m 解：由题意： 例例1、解方程、解方程： （1）2 2x 1 = 8 x解：原方程化为解：原方程化为 2 2x 1 = 2 3x2x 1 = 3xx = 1 方程的解为方程的解为 x = 1 （2）lg x lg ( x 3 ) = 1解：原方程化为解：原方程化为 lg x = lg 10 + lg ( x 3 )lg x = lg 10( x 3 )x = 10( x 3 )310 x310 x经检验，方程的解为经检验，方程的解为 例例2、解方程、解方程： （1）

8、82 x = 923 x解：原方程化为解：原方程化为 2 x + 3 = 923 x( x + 3 ) lg 2 = ( x 2 9 ) lg 3( x + 3 ) ( xlg 3 3 lg 3 lg 2 ) = 03lg2lg3lg33 xx或或3lg2lg3lg33 xx或或故方程的解为故方程的解为（2）log ( 2x 1 ) ( 5x 2 + 3x 17 ) = 2解：原方程化为解：原方程化为 5x 2 + 3x 17 = ( 2x 1 ) 2 x 2 + 7x 18 = 0 x = 9 或或 x = 2当当 x = 9 时，时， 2x 1 0与对数定义矛盾，故舍去与对数定义矛盾，故舍

9、去经检验，方程的解为经检验，方程的解为 x = 2例例3、解方程：、解方程：（1）4)32()32( xx4)32(1)32( xx解：原方程化为解：原方程化为xt)32( 设设则有则有 t2 4t + 1 = 0 32t32)32(32)32( xx或或即即 x = 1 或或 x = 1故方程的解为故方程的解为 x = 1 或或 x = 1.（2）log 25 x 2log x 25 = 1解：原方程化为解：原方程化为 log 25 x = 1x25log2设设 t = log 25 x则有则有 t 2 t 2 = 0 t = 1 或或 t = 2即即 log 25 x =1 或或 log

10、25 x = 2 x = 或或 x = 625251 x = 或或 x = 625251经检验，方程的解为经检验，方程的解为例例4、解方程：、解方程：log 3 ( 3 x 1 )log 3 ( 3 x 1 ) = 231解：原方程化为解：原方程化为 2)31331(log)13(log33 xx2)13(31log)13(log33 xx2)13(log31log)13(log333 xx)13(log3 xt令令则则 t ( t 1 ) = 2022 tt21 tt或或2)13(log1)13(log33 xx或或即即9133113 xx或或103343 xx或或10log34log33

11、xx或或10log34log33 xx或或故方程的解为故方程的解为解法解法类型类型等价式等价式a、b 0 且且 a、b 1 ，a b， c 为常量为常量a f ( x ) = a g ( x )f ( x ) = g ( x )log a f(x) = log a g(x)a f ( x ) = b g ( x )f ( x )lg a = g ( x )lg blog f ( x ) g ( x ) = cg ( x ) = f ( x ) cpa 2x + qa x + r = 0plg 2x + qlgx + r = 0pt 2 + qt + r = 0化同底法化同底法指对互表指对互表

12、法法换元法换元法解对数方程应注意两个方面问题：解对数方程应注意两个方面问题：(1)验根；验根；(2)变形时的未知数的范围认可扩大不要缩小变形时的未知数的范围认可扩大不要缩小.学生练习：解方程学生练习：解方程1、lg x + lg ( x 3 ) = 12、3、4、lg 2 ( x + 1) 2lg ( x + 1) = 35、262132254 xxxx4)32()32( xx2)23(log)59(log121121 xx答案：答案：1、x = 5 2、x = 3、x = 2 4、x = 999 或或 x = 5、x = 22133 109 ylgxlg4lg3lg)y3x2lg()yxlg

13、(. 4已知已知例例.yx的值的值求求1、计算、计算： (1) log 5 35 2log 5 + log 5 7 log 5 1. 837解：原式解：原式 = log 5 ( 57 ) 2( log 5 7 log 5 3 ) + log 5 7 log 5 59= 1 + log 5 7 2log 5 7 + 2log 5 3 + log 5 7 ( log 5 3 2 1 )= 1 + 2log 5 3 2 log 5 3 + 1 = 2(2) lg 2 5 + lg 2 lg 5 + lg 2解：原式解：原式 = lg 2 + lg 2 lg + lg 2210210= ( 1 lg 2 ) 2 + lg 2 ( 1 lg 2 ) + lg 2= 1 2lg 2 + lg 2 2 + lg 2 lg 2 2 + lg 2= 12、已知、已知 lg x + lg y = 2lg ( x 2y )，求，求 的值。的值。yx2log4loglog2122 yx故故解：由题解：由题 2)2lg()lg(0200yxxyyxyx 22440200yxyxxyyxyx 045020022yxyxyxyx yxyxyxyx402