贝叶斯公式的推广与应用

1、2 第三章 贝叶斯公式的推广 第一章 引 言 第二章 贝叶斯公式的详解及其不同形式 第四章 贝叶斯公式的应用 第五章 结论分析3 第一章 引 言 贝叶斯公式是概率论中最重要的公式之一，它是在事件 已发生的条件下 ，去寻找导致事件 发生的每个原因的概率。研究的依据与意义 在学习贝叶斯公式之前应有针对性地理解贝叶斯公式的客观背景以及公式内涵和公式蕴涵的数学思想，这对于有助于完成由已知的加法公式和乘法公式到建立贝叶斯公式的思维过程。同时也对于解决实际问题有重要的意义。BB4第二章 贝叶斯公式的详解及其不同形式 公式的一般定义 公式的不同形式5公式一般定义贝叶斯公式：设 个事件 是样本空间 的一个划分

2、， 是一个事件。当 ，且 ，则有n1,nAAB 0P B 0,1,iP Bin1,1,iiinjjjP A P B AP A BinP AP B A此式称为贝叶斯公式，也叫逆概率公式。6公式的不同形式 随机变量形式的贝叶斯公式于是 设 是离散型随机变量，其取值分别为,X Y, ,1,2,ijx y i j 1.针对离散型随机变量的贝叶斯公式1ijiijmjmmP XxP YyXxP Xx YyP XxP YyXx1jijjininnP YyP Xx YyP YyXxP YyP Xx Yy7公式的不同形式2.针对连续型随机变量的贝叶斯公式 设 是连续型随机变量， 为联合概率密度， 分别为 的边缘

3、密度， 分别为 时 的条件密度和 时的 的条件密度，于是,X Y,fx y ,XYfxfy,X Y,X YY Xfx yfy xYyXXxY XXY XY XX YYXY Xfy x fxfy x fxfx yfyfy x fx dx YYX YX YY XXYX Yfx y fyfx y fyfy xfxfx y fy dy8公式的不同形式3.针对混合型随机变量的贝叶斯公式 设 是离散型随机变量， 为连续型随机变量，于是可以得到混合型随机变量的贝叶斯公式为XY iYX YiY XjYX Yfx y fyfy xfx y fy dy 1iXiY XiX YjXjY Xjfy xfxfx yfy

4、 xfx9公式的不同形式公式的不同形式 设 为一完备事件组，在事 件 中的 发生的条件下，事件 发生的概率 可以写成如下12,nA AA12,mB BB1,2,iB imjAjiP A B112111222212nnmmnmP A BP A BP A Bp A Bp A BP A BP A Bp A BP A B 贝叶斯公式的矩阵形式10公式的不同形式公式的不同形式11112121222212111nnmmmnmP BP B AP B AP B AP B Ap B Ap B AP BP B AP BAp BAP B12nP AP AP A11 第三章 贝叶斯公式的推广 贝叶斯公式的一般推广 贝

5、叶斯公式的广义推广12贝叶斯公式的一般推广1.两个随机过程无关的贝叶斯公式 设 和 是先后两个试验过程中的一个划分， 为目标事件，当 ，则有贝叶斯推广公式C1, 2,jBjm1, 2,iAin0,0,0,0,ijijPCPAPBPA B1,1,injm 1111mijiijjinmijiijijPAPBAPCA BPACPAPBAPCA B 1, 2,in13贝叶斯公式的一般推广 113ijiijijnmijiijijPAPBAPCA BPA BCPAPBAPCA B 1112nijiijijnmijiijijPAPBAPCA BPBCPAPBAPCA B 1,1,injm1,jm贝叶斯公式的

6、一般推广2.两个随机过程相关的贝叶斯公式 设 为样本空间的一个划分，且 ，对每个为 都存在一个划分 且 为目标事件，则有 1, 2,iAin0,1,2,iP AiniA,1,2,ijjBjm，0ijPB，C 11111jjjmmiijijiijijjjimniijijijPAPC BPBPAPC BPBPACPCPAPC BPB112jijijiiijijiiijmniijijijPC BPBAPAPC BPBAPAPBCPCPAPC BPB15贝叶斯公式的一般推广例1 设有三个大盒子，每个大盒子中有三个小盒子，每个大盒子中的第一个小盒子中分别装有1个红球，3个白球；第二小盒中分别装有2个红球

7、，2个白球；第三个小盒中装有3个红球，1个白球。假设取第一个大盒子的概率为1/2，取第二、第三大盒子中的概率都为1/4，在取定某个大盒时，取其中第一小盒概率是1/2，取第二、第三小盒子概率均为1/4。今任取一个大盒，再从中任取一小盒，从此小盒中任取一球。问： (1)若已知取的球为红球，问此球是第一个大盒的概率。 (2)若已知取的球为红球，问此球是第一个大盒中第二小盒的概率。16321,AAACijBij3 , 2 , 1, 3 , 2 , 1ji21iAP4132APAP3 , 2 , 1,211iABPii3 , 2, 3 , 2 , 1,41jiABPiij123113,1,2,3424i

8、iiP C BP C BP C Bi 21313131111311111ijijijijjjjjjBPBCPAPBPBCPAPCPBPBCPAPCAP 72313111121211121212ijijijiBPBCPAPAPABPBCPCPAPABPBCPCBP 解解：设 分别表示从第一、二、三大盒中取球的事件， 表示取红球的事件， 表示从 第个大盒中取第 个小盒， ，则由题意得贝叶斯公式的一般推广由定理3得17贝叶斯公式的广义推广1.广义贝叶斯公式 设 为 的一个划分， 个事件 中任意事件 都只能与 中的一个同时发生，若有 且 ，则有 12,nA AA，m1,mBB1,kBkm12,nA A

9、A，11, ,1,ijiiA Ain jm ijA U1iimAU1(),1,2,(|) ()ikiikkjjjP A P B AP A BkmP BA P A18贝叶斯公式的广义推广2.二重广义贝叶斯公式 设 为 的一个划分，且 对每个 都存在一个子划分 ，且 ，若对于任意的事件组 中的一事件 只能与 中之一同时发生，则对任意事件 有12,nA AA，0,iP AiA,1,2,ijjBjm，0ijPBkC1,qCC1,kCkqiA 11111ikijijikijijjjikkikijijijP AP C BP BP AP C BP BP A CP CP AP C BP B 112kijiji

10、ikijijiiijkkikijijijP C BP B A P AP C BP B A P AP B CP CP AP C BP B19第四章 贝叶斯公式的应用贝叶斯公式在概率计算中的应用技巧贝叶斯公式在经济上应用贝叶斯公式在生活中的应用20贝叶斯公式在概率计算中的应用技巧1.贝叶斯公式的两个前提假定（1）人们可以得到先验概率以及原因与结果直接的确切关系。（2）前定事件是不会改变的，也即是在对事件 观测的前后，公式中的完备事件组是确定的、唯一的、不变的。B21贝叶斯公式在概率计算中的应用技巧2.寻找完备事件组的方法（1）从第一个试验入手，分解其样本空间，找出完备事件组。（2）从事件 发生的两

11、两互不相容的诸原因寻找完备事件组。B贝叶斯公式在经济上的应用 当今概率统计与经济息息相关，几乎任何一项经济学的研究、决策都离不开它的应用。实践证明，概率统计是对经济学问题进行量的研究的有效工具，为经济预测和决策提供了新的手段。 在本论文中我们通过举例说明贝叶斯公式在营销信誉度、产品质量监督等方面有重要作用，并且还建立了经济学中的贝叶斯模型。23贝叶斯公式在经济上的应用根据实际问题建立如下贝叶斯模型 =已知的试验结果 =原因 发生 其中 相互独立，则 出现时原因的可能性：AiBiiZiBiZA1iiijjjPBPA BPBAPBPA B其中 是原因 发生的概率， 表示在原因 发生的条件下，结果

12、出现的概率。 iPBiiPA BiA24贝叶斯公式在生活中的应用 人们在生活中的行动总是受各种各样信息的影响而产生变化，比如在2011年受日本大地震影响，中国部分地区发生“抢盐”现象，目前社会上出现的“老人倒地无人敢扶”现象等等，这些都可以通过贝叶斯公式给出合理的解释。 贝叶斯公式在生活中有非常广泛的应用，本论文就医生汇诊问题、“试行”决定等说明贝叶公式在生活中有广泛的应用。250.95,0.95P B AP B A 0.005P A 例2 用某试验普查某种疾病，比如检查是否患有肺癌，令 =被检查者患肺癌， =某人做此实验结果呈阳性， =被检查者未患肺癌， =某人做此实验结果呈阴性，资料表明，

13、 ，又已知某地区居民的肺癌发病率 ，在普查中查出一批对此试验结果呈阳性的人，求这批人中真正患肺癌的概率。AABB 解：由已知条件 由贝叶斯公式可得 10.05PB APB A0.087PAPB APA BPAPB APAPB A贝叶斯公式在生活中的应用26 0.005P A 0.087P A B 0.00026P A B 由此可见，对此实验结果呈阳性的人，其中真正患肺癌的概率还是很小的，只有0087，似乎准确性还是很低的。但是相对于先验概率 来说，后验概率 还是增大了很多倍，此时为了确诊，可以利用进一步的诊断方法进行诊断排查。同理，利用贝叶斯公式可得对此实验结果呈阴性的人患肺癌的概率是 ，按照概率中的实际推断原理，对此实验结果呈阴性的人基本可以排除患肺癌的可能性。贝叶斯公式在生活中的应用27第五章 结论分析 这篇文章主要对贝叶斯公式进行了推广与应用。本文的亮点有比较全面的归纳了贝叶斯公式的不同的表达形式，包括有随机事