无穷大量与无穷小量ppt课件

1、微积分rxdtdx微微 积积 分分微积分第二章第二章 极限与连续极限与连续 数列极限数列极限 函数极限函数极限 变量极限变量极限 无穷大与无穷小无穷大与无穷小 极限的运算法则极限的运算法则 两个重要的极限两个重要的极限 函数的连续性函数的连续性微积分2.4 2.4 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量一一. . 无穷小量无穷小量定义定义1 1：以：以0 0为极限的变量为极限的变量, ,称为无穷小量无穷称为无穷小量无穷小）。小）。定义定义2 2：0,0,某个时刻，在此时刻以后，某个时刻，在此时刻以后，|y| |y|0,0,00，使得当，使得当0|x-x0|0|x-x0|时时, , |f(x)|f

2、(x)|0,0,M0M0，使得当，使得当|x|M|x|M时时, |f(x)|, |f(x)|0,某个时刻，在此时刻以后，某个时刻，在此时刻以后，|y|E,恒成立恒成立.则称则称y在此变化过程为无穷大量无穷大）。在此变化过程为无穷大量无穷大）。 记为：记为：limy=同理可定义：同理可定义：正无穷大正无穷大 limy=+负无穷大负无穷大 limy=-微积分无穷大量无穷大量对于对于xx0 xx0： E0,E0,00，使得当，使得当0|x-x0|0|x-x0|E,|f(x)|E,恒成立恒成立. .对于对于xx： E0,E0,M0M0，使得当，使得当|x|M|x|M时时, |f(x)|E, |f(x)

3、|E,恒恒成立成立. .)(lim0 xfxx)(limxfx微积分特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意（1无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim20认认为为极极限限存存在在）切切勿勿将将（ xfxx微积分xxy1sin1 .,1sin1,0,但但不不是是无无穷穷大大是是一一个个无无界界变变量量时时当当例例如如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(

4、 kkxk取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充充分分大大时时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充充分分大大时时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界，微积分.11lim1 xx证证明明例例证证. 0 M,11Mx 要要使使,11Mx 只只要要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就就有有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy微积分三、无穷小与无穷大的关系定理定理 在同一过程中在同一过程中, ,

5、无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有时时使使得得当当.)(1 xf即即.)(1,0为为无无穷穷小小时时当当xfxx 微积分. 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有时时使得当使得当.)(1Mxf 从从而而.)(1,0为为无无穷穷大大时时当当xfxx , 0)( xf由由于于意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论, ,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论. .微积分

6、四四. . 无穷小量的阶无穷小量的阶四四. . 无穷小量的阶无穷小量的阶例如例如,.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 观察各极限观察各极限xxx3lim20, 0 ;32要快得多要快得多比比 xxxxxsinlim0, 1 ;sin大大致致相相同同与与xx2201sinlimxxxxxx1sinlim0 .不不存存在在不可比不可比.极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢程度不快慢程度不同同.微积分定义：定义：,是相同一过程的两个无穷小量是相同一过程的两个无穷小量.假如假如 :).(., 0lim) 1 (o记较高阶的无穷小量是比则称.,1.,

7、 0lim)2(记是等价的无穷小量与时，则称当是同阶的无穷小量与则称cc微积分).(.,lim)3(O较低阶的无穷小量是比则称., 0lim)4(阶无穷小量相比是与则称kck微积分例例1 1.tan4 ,0:3的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时当当证证明明xxxx 解解430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时故故当当xxxx 例例2 2.sintan,0的的阶阶数数关关于于求求时时当当xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为

8、xxx 微积分常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx xx2111 xnxn111 xx 1)1( 注注上述上述10个等价无穷小包括反、对、幂、个等价无穷小包括反、对、幂、指、三必须熟练掌握指、三必须熟练掌握都成立都成立换成换成将将0)(. 2 xfx微积分用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:, 1lim , 0lim ),( o即即).( o于是有于是有)( o 同同理理也也有有一般地有一般地有)( o 即即与与等价等价 与与互为主要部分互为

9、主要部分例如例如,),(sinxoxx ).(211cos22xoxx 微积分等价无穷小替换等价无穷小替换定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ).limlim,lim, 则则存存在在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 意义意义 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。换分子，也可只代换分母，或者

10、分子分母同时代换。微积分例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 注意注意不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .等价关系具有：自反性，对称性，传递性等价关系具有：自反性，对称性，传递性微积分例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 错错解解,0时时当当 x,22sinxx)cos1(tansintanxx

11、xx ,213x330)2(21limxxx 原式原式.161 微积分例例5 5.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解),(5tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原原式式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 微积分例例6 求求)1ln()cos1(1cossinlim20 xxxxxx 解一解一xxxxxxxx)1ln()cos1(1cossinlim0 原式原式1201 21 解二解二xxxxxx )cos1(1cossinlim20原原式式 )1cossin

12、(cos11lim0 xxxxxx21 微积分解三解三 xxxxxxxxIx1cos)1ln(cos11)1ln()cos1(sinlim0012121 21 例例7 求求131)1()1()1)(1(lim nnxxxxx解解1 xu令令ux 1则则得得由由uu 1)1( 微积分130)11()11)(11(lim nnuuuuuI1013121lim nuuunuu!1n 关于关于11型极限的求法型极限的求法)()(limxgxf )(lim, 1)(limxgxf)()(limxgxf)(ln)(limxfxge )(ln)(limxfxge 微积分)(1)1)(1lnlim)(ln)(

13、limxgxfxfxg )(11)(limxgxf 1)()(lim xfxg)()(limxgxf1)()(lim xfxge微积分五. 小结1、主要内容、主要内容: 两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大是变量大是变量,不能与很小大的数混不能与很小大的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷小；无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷小；（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.微积分思考题思考

14、题若若0)( xf，且，且Axfx )(lim，问：能否保证有问：能否保证有0 A的结论？试举例说明的结论？试举例说明.微积分思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx微积分一、填空题一、填空题: :1 1、 凡无穷小量皆以、 凡无穷小量皆以_为极限为极限. .)(,_2的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数直直线线条条件件下下、在在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其其中中、._,)(,4是无穷小是无穷小则则是无穷大是无穷大若若、在同一过程中、在同一过程中xf.10,21,

15、0:4 yxxxyx能能使使应应满满足足什什么么条条件件问问是是无无穷穷大大函函数数时时当当二二、根根据据定定义义证证明明练练 习习 题题微积分.,0,1,0(1sin1这这个个函函数数不不是是无无穷穷大大时时但但当当上上无无界界在在区区间间三三、证证明明函函数数 xxxy微积分一、一、1 1、0 0； 2 2、Cxfxx )(lim； 3 3、； 4 4、)(1xf. .二、二、210104 x. .练习题答案练习题答案微积分1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;