数学分析选讲参考答案

1、数学分析选讲参考答案CompanynumberWTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998数学分析选讲A/B模拟练习题参考答案一、选择题：(共18题，每题3分)1、下列命题中正确的是(AB)A、若F'(x)f(x),则F(x)c是f(x)的不定积分，其中c为任意常数B、若f(x)在a,b上无界，则f(x)在a,b上不可积C若f(x)在a,b上有界，则f(x)在a,b上可积D若f(x)在a,b上可积，则f(x)在a,b上可积2、设f(x)3x4x2,则当x0时，有(B)A.f(x)与x是等价无穷小B.”刈与*同阶但非是等价无穷小C. f(x)是比x高阶的无穷小D. f(x)

2、是比x低阶的无穷小3、若f为连续奇函数，则fsinx为(A)A、奇函数B、偶函数C、非负偶函数D、既不是非正的函数，也不是非负的函数.4、函数f(x)在a,b上连续是f(x)在a,b上可积的(A)条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要条件D.非充分也非必要条件.5、若f为连续奇函数，则fcosx为(B)A、奇函数B、偶函数C、非负偶函数D、既不是非正的函数，也不是非负的函数.6、设f(x)arctanx,贝Ux0是f(x)|(B)xA.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点7、设N，当nN时，包有anbn,已知limanA,limbnB.则正确的nn选项是（A）A、ABB、A

3、BC、ABDA和B的大小关系不定.8、函数f（x,y）在点（X0,y（）连续是它在该点偏导数都存在的（A）A.既非充分也非必要条件B充分条件C.必要条件D.充要条件,一.3X219、极限lim11（D）x32x31A、3B、3G3已不存在.32323210、部分和数列Sn）有界是正项级数收敛的（C）条件n1A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.非充分非必要1X211、极限lim咏（a）x0x11Ae3B、e3C、e3D、不存在.12、与limxna的定义等价的是（BD）nA0,总有MaB、0,至多只有xn的有限项落在（a,a）之外C、存在自然数N,对0,当nN,有xnaD0（01）,存在

4、自然数N,又tnN,有xnax213、曲线yJ(D)1exA没有渐近线B、仅有水平渐近线C、仅有垂直渐近线D、既有水平渐近线，也有垂直渐近线14、下列命题中，错误的是（AD）A若f（x）在点x0连续，则f（x）在比既是右连续，又是左连续B、若对0,f(x)在a,b上连续，则f(x)在(a,b)上连续G若f(x)是初等函数，其定义域为(a,b),xo(a,b),则limf(x)f(x0)xxo函数yf(x)在xo点连续的充要条件是f(x)在xo点的左、右极限存在且相等15、设an为单调数列，若存在一收敛子列anj,这时有(A)A、 limanliman.njjB、 an不一定收敛Gan不一

5、9;定有界D当且仅当预先假设了an为有界数列时，才有A成立16、设f(x)在R上为一连续函数，则有(C)A、当I为开区间时f(I)必为开区间B、当f(I)为闭区间时I必为闭区间C、当f(I)为开区间时I必为开区间D以上A,B,C都不一定成立17、下列命题中错误的是(AC)A、若lima1,级数/收敛，则Un收敛；nVnn1n1B、若UnVn(n1,2”)，级数Vn收敛，则/不一定收敛；n1n1C、若Un是正项级数，且N,nN,有u1,则Un收敛；n1unn1D若limun0,则Un发散nn118、设un为一正项级数，这时有(D)n1A、若limn0,则un收敛n1B、un收敛，则limnun1

6、1unC、un1、2、3、4、5、6、7、8、9、收敛，则limn以上A,B,C都不一定成立、填空题：（共15题，每题2分）设x2sinycosycos2y0,贝Ulim(1nlim(1nlimx02x2或-21)nnIn1一)n2.xlim-r-x12x2(j%)lim0-=2x210)2收敛，则limxn=nxysin4x设F(x)10、设yex11、幕级数n103cosx,则F(x),贝Uy(2016)sinx一一3sinxC33xn一，的收敛半径为11.n21一12、积分i3-21xsinx2x2-dx的值为01一13、曲线2x8与x轴所围成部分的面积为36lim14、xlim(x,y

7、)(0,0)15、三、计算题：（共15题，每题8分）1、求VxsinTxdx.解：xt,xsin、xdx2t2sintdt2t2dcost2t2cost4tcostdt4sintdt一2.一2.2tcost4tdsint2tcost4tsint2xcos'.x4,xsin/x4cosxC2、将f(x)J展开成x的幕级数,2x2并指出其收敛域。解：f(x)1i_1n-x12x3n0n1(2x)=-03n1(1)n12nxn1且由2xn13、求lim(jsinn!)n-n35解：原式=0（有界量乘以无穷小量）4、求率dx.xC2sin、x解：令77t,原式=2costdt2sint25ln

8、(1xx)5、求lim-x01cosx解：原式=xm025xx2x26、求极限limx0xxeln(1x)解：limx0xxeln(1-2xx)xelimx0x2elimx1xe(1x)2xx1xe2(1x)222xsin一7、设y解：当x0时,2xsin1xx2sin-011m1cos-；x(sin-x1)2xsin,xx8、设f(x)A,x02axb,x么，并求f'(0)。解：limx0f(x)f(0)limx0limxsin0,故要使其中A,a,b为何值时，f(x)在x=0处可导，为什x2sinAxxlim(xsinf'(0)存在,必须A0又limx0f(x)xf(0)l

9、imx02axbb、lim(ax-)要使有导数存在，必须b=0.综上可知，当A=b=0,a为任意常数时，f(x)在x=0处可导，且f'(0)09、计算下列第一型曲面积分:(x2Sz)ds,其中S为z1,x21.解:S由平面构成：S2:z1,1.10、x(1x)解:x(1x)x(1x)dx-)dxxInxIn111、xcos2tdt解：由洛必达（L'Hospital)法则得12、02”1-sin2xdx解:22J-sin2xdx02(sinx-cosx)2dxsinx-cosxdx13、解:14、解:15、解:4(cosxsinx)dx2(sinxcosx)dx(sinxcosx

10、)2.22(sinxcosx)|24sinxcosx2一2,cosxsinxsinxcosxcos2xsin21cosx,dxxsinx1cosx,dxxsinxlnlnxdxxlnlnx,dxx四、证明题（共dxdxxsin2x,dxcos2xsinxxsinxlnxlnlnxdlnxlnx17题，共156分）dcos2x.cos2xsinxCdxlnlnx一1，cos2x2lnxlnlnx1、（6分）设函数f（x）在a,b上连续，在（a,b）内可导，且f'（x）0。试证:如果f(a)f(b)0,则方程f(x)0在(a,b)内仅有一个实根。证明：因为f(x)在a,b上连续，在(a,b

11、)内可导，f(a)f(b)0,于是由零点存在定理知，至少存在一点a,b使得f()0,又f'(x)0,因此知fx在a,b上为严格格单调增加的，故方程f(x)0在(a,b)内仅有一个实根。x22x2、(10分)指出函数f(x)x2的不连续点,并判定不连续点的类型x|(x24)解：f(x)的不连续点为x0,x2xlir?0f(x)limx(x2)x00x(x4)而f(x)在x2点没有定义，于是知x0为f(x)的第一类不连续点;x2为f(x)的第二类不连续点；x2为f(x)的第三类不连续点。3、(10分)设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，f'(x)0,又xaf(t)dtF(

12、x),xa证明在(a,b)内有F'(x)0.证明：由于F(x)xxxaf(t)dt(xa)f(x)f(t)dta(f(x)f(t)dtaaa(xa)2(xa)2又在a,b上连续在(a,b)内可导,f'(x)0,由拉格朗日中值定理知,(t,x)使得f(x)f(t)f()(xt)0,从而在(a,b)内有F'(x)04、(12分)设22xyxy2f(x,y)xy022cxy022cxy0(1)证明f(x,y)在(0,0)(2)求fx(x,y),fy(x,y)(3)证明f(x,y)在(0,0)点可微解：(1)令xcos,ysin,则故f(x,y)在(0,0)点连续4224(2)

13、fx(x,y)22xy022xy0y(x4xyy)(x2y2)2limf(x,0)f(0,0)x0V(3)由于即f(x,y)在(0,0)点可微.5、(6分)设f(x)在a,b严格单调递减,f(x)存在,f(b),f(a),22一一-b2且f(x)m0,试证明cosf(x)dx.am证明：令f(x)t,则由题意有6、(10分)设yy(x)为可微函数.求y'(0),其中yyex2eysinx7x(1)解：将已知等式两边对x求导得xxyyr/y'y'eye2ey'sinx2ecosx7(2)将x=0代入(1)式解得y(0)0,再将x=0代入(2)得7、(10分)(x)

14、：ln(；t)dt在-1<x<1有意义，证明(x)(x)1(x2)1c一证明：令F(x)(x)(x)-(x2),则12_.F(x)C,即(x)(x)2(x)C(1)1将x=0代入(1)C(0)(0)-(0)1 o但(0)0.C0.(x)(x)-(x2)8、(10分)求幕级数(x?的收敛域。n1n2解：由于limn/11,则R=2,即当2x12时其绝对收敛nn22又当x+1=2,即x=1时，原级数为发散n1n当x12,即x3时，原级数为a收敛n1n故原级数的收敛域为3,1)9、(7分)证明：当x0时，(1x)ln(1x)arctanx.证明：设f(x)(1x)ln(1x)arctan

15、x(x0),则f(x)在0,)连续.x2当x0时，f(x)ln(1x)0,则“*)在0,)单调增加。1x则对任意x0有f(x)f(0)0,即(1x)ln(1x)arctanx0(x0)110、(10分)设f(x)在0,1上可微，且满足f2°2xf(x)dx0(1)求证：在(0,1)内至少存在一点，使f'()fg.1一证明：由(1)式及积分中值定理知，存在10,，使,21，0f(1)21f(1)-,f(1)1f(1)(2)2令F(x)xf(x)，则由(2)式及假设可知F(x)在曾1上满足罗尔定理的条件，故存在(J)(0,1)使f'()f11、(10分)求n2xn1的收敛

16、域，并求其和函数n1解：设ann2,则由limnan1an1)n1n2都发散,可知n2xn1的收敛域为(1,-1).n1xx再由于f(t)dt00n2,n1,ntdt1nnx4,x(1,1)1x212、(10分)设f(x)1x2e,x0试证明：f'(x)在x=0处连续.0,x0,证明：f'(x)limf(x)f(0)x0x1Jlimx0x1lim-xx01e"1x2,x0因为F01则f'(x)"7ex0,x0,因此f'(x)在x=0处连续.13、(6分)证明由积分确定的连续函数零点定理：设fx在a,b上连续，若bfxdx0,则x0a,b,使得

17、fx00.a证明：用反证法.若对xa,b,fx0,由连续函数的零点定理可知，fx在ba,b上不变号.不妨设在a,b上fx0,由定积分的性质可得fxdx0,此a与条件矛盾，于是，必x0a,b,使得fx00.a14、(10分)设fx在0,a上连续，且满足°fxdx0.试证：0,a,使得faf0.证明：取变换xat,则dxdt,已知积分等式变为a0a0fxdxfatdtfatdt.0a0注意到x0,a时，也有t0,a,因而fat在0,a上连续，于是afxfaxdx0.0由此可得0,a,使得faf0.115、(12分)设f在0,1上连续，在0,1内可导，且fxdx0,记0xFxxftdt,(1)求Fx;(2)求证：0,1，使得fxdxf;00x解：(1)Fx0ftdtxfx;ftdt0,又F在0,1上连续，在0,1内可导，由0,1，使得F0,即罗尔中值定理,fxdx016、(7分)设“10,xniJ6xn(n1,2,),试证数列xn存在极限，并求此极限。证明：由x110,x2.6x1J164知，x1x2o假设xkxk1,则xk1%6xk%；6xk1xk2,由归纳法知xn为单调下降数列，又显然有xn0,所以xn有下界。由单调有界原理知，数列xn收敛，所以可令limxna,对xn1J6