新教材高中数学向量的数量积与三角恒等变换章末复习课学案新人教B版第三册

1、FlH向盘一iG模化和产相力化枳1用倒等费换第8章向量的数量积与三角恒等变换章未复习课两个问号的夹曲、数m枳聃定义A数扯相投书及数晶帆JL何意义交检伸、结介律，分配律.取要公式.一二二运尊律数昼枳的驷林公式、向量的模、夹渤两坐标运算点间的距离公式/口题型探究匚1平面向量的数量积平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量,根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零.平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度.【例1】非零向

2、量a,b满足(a+b)，(2ab),(a2b)，(2a+b),求a,b的夹角的余弦值.思路探究由a+b，2ab,a-2b±2a+b列出方程组求出|a|2,|b|2,ab的关系利用夹角公式可求解由(a+b)，(2ab),(a-2b)±(2a+b),得2|a|2|b|2+ab=0,2|a|22|b|23ab=0,斛得.25,|a|=-2a-b,2|b|=-4a-b,所以|a|b|=-q70a-b,所以cos0=|a|b|1010.Hl踪训嘘1 .如果等腰三角形ABCW周长是底边长BC的5倍，BC=1,则ABBC=()A.1B-4C.D.C设D是BC的中点，等月三角形ABCW周长

3、是底边长BC的5倍，BC=1,111在RtAABD,cosZABOABBO|AB|BC|cos(冗一/ABC=2X1X-=-.故选C.1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示.引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一.2 .向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现.3 .通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题.一,，一，一，【例2】已知向量AB=(4,3),AD=(-3,1),点A(1,2).(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点R2,y)满足PB=入BD入

4、CF),求y与入的值.思路探究(1)先求B,D点的坐标，再求M点坐标；(2)由向量相等转化为y与人的方程求解.解(1)设点B的坐标为(xi,y1).AB-(4,3),A(-1,2),.(Xi+1,y1+2)=(4,3),Xi+1=4,Xi=3,y1+2=3,y1=1,.B(3,1).同理可得D(-4,3).设线段BD的中点M的坐标为(X2,y»,23-4113.1,则X2=-2-=_2,y2=-2-=1','m2,1(2)由已知得P氏(3,1)(2,y)=(1,1y),BD=(-4,3)(3,1)=(-7,4).又PB=入BD(1,1-y)=X(-7,4)=(7入，4

5、入)，、11 =7入，7'则.一2 -y=-4入，3.蹑踪训练3 .已知AB8,A(2,1),B(3,2),C(-3,1),BC边上的高为AQ求AD解设D(x,y),则AD=(x-2,y+1),BD=(x-3,y-2),BC=(-6,3),-ADLBCAD-BO0,则有一6(x-2)-3(y+1)=0,.BD/BC则有一3(x-3)+6(y-2)=0,x=1,解由构成的方程组得y=1,则D点坐标为(1,1),所以AD=(-1,2).UV3平面向量的应用1 .向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间

6、联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题.2 .向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程.3 .在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题.【例3】已知正方形ABCDE、F分别是CDAD的中点，BECF交于点P.求证：(1)BELCF(2) AP=AB.证明如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C2,2),E(1,2),F(0,1)(1) BE=OE-OB=(1,2)-(2,0)=(1,2),CF=OF-OG=(0,1)-(2,2)=(-2,1).BE-CF=1X(2)+2X(-1)=0,.BELCF,即BE

7、LCF(2)设Rx,y),则FP=(x,y-1),CF=(-2,1),.FP/CF,.x=-2(y-1),即x=2y-2.同理，由BP/BE彳导y=2x+4,代入x=2y-2.一6解得x=5V=于即P5,5.工26282j.JAP=5+5=4=|AB,.IAP=|AB,即AP=AB.领跟瑞训练!3.已知三个点A(2,1),B(3,2),R1,4).(1)求证：AB±AD(2)要使四边形ABCD;矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD勺两对角线所夹的锐角的余弦值.解(1)证明:A(2,1),B(3,2),D(1,4),A5(1,1),A>(3,3),AB-AD=1X(-3)+1X3

8、=0,/.ABIA即AUAD(2) .四边形ABC四矩形，.ABLADA5DC设C点的坐标为(x,y),则A5(1,1),DC=(x+1,y-4),x=0,解得y=5,.C点的坐标为(0,5).从而AC=(-2,4),BD=(-4,2),.|AC=2或，|BD=2乖，AC-BD8+8=16.设ACfBM夹角为e,wAC-BD164则cose=一一205|ACIbd4'矩形ABCD勺两条对角线所夹的锐角的余弦值为亨给值求值问题给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”.使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：将待求式用已知三角函数表示.将已知解题时首先是

9、分条件转化而推出可用的结论.其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧.析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的的将已知式、待求式的一方或两方10于加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值.【例4】已知<a<兀，tana+-4'tana求tana的值;5sin2-2+8sin-ycosUcos2'-8(2)求的值.q2sina-2思路探究(1)结合a的取值范围，求解tana的值;(2)利用降哥公式和诱导公式先统一角,通过三角变换转化成关于tana的式子代入求值即可.,1斛由tan氤1010,得33tan2a+10tana+3=0,即tana=3或3兀L

10、i、，又"4<a<7t,所以tan+4sina+11x1+c2s"8一镜cosa5一5cosa+8sina+11+11cosa-16-22cosa4sina+3cosa4tana+3-256cos45/6.7t3,求cos(a+(3)兀解.OCa<-<3<等V?+aV兀,一全高一3<0.5方cos7t41213.45.兀sin-4=sin兀cos(OC+3)=sin+a7t=sin-4-+ccos37t一cos-4-+ssin53124=xX一二1351353365.UTS三角恒等变形的综合应用与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类

11、型:(1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y=Asin(cox+(1)+ky=Acos(cox+g+k等形式，然后再根据化简后的三角函数,讨论其图像和性质.(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形.这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题;有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查.【例5】已知向量a=(1,*)，b=(sinx,cosx),f(x)=a-b.2cos2-

12、2sin81若f(e)=0,求的值;欣sin0+y(2)当xC0,兀时，求函数f(x)的值域.2cos2-2-sin01思路探究(1)可先由f(e)=0求tane,再化简小sin01后，由tan0+7值代入求值;(2)先化简成f(x)=Asin(3x+()的形式，再据x范围求cox+6范围，进而求得f(x)的值域.解(1)=a=(1,悯,b=(sinx,cosx), .f(x)=a-b=sinx一木cosx, .f(0)=0,即sin0娟cos9=0, .tan0=a/3,2cos2-2-sin81V-兀2sin9+cos0sin0sin0+cos01 -tan0tan8+1=1-23+17t

13、3，=-2+13.2 2)f(x)=sinx>3cosx=2sinx一一一兀一兀.xC0,.x-,33兀兀广当x了=一万，即x=0时，取最小值一寸3,当x=f，即x=当时，取最大值2,，当xC0,兀时，函数f(x)的值域为镉，2.跟盼训练IA为锐角.5 .已知向量m=(sinA,cosA),n=(<3,1),且m,n=1,求角A的大小；(2)求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx(xCR)的值域.解(1)由题意得mn=MsinAcosA=1,兀兀12sinA-=1,sinA-=2.兀兀兀由A为锐角得A-=,A=.663,1(2)由(1)知cosA=2所以f(x)=cos2x

14、+2sinx=12sin2x+2sinx一.123=-2sinx-2+2.因为xeR,所以sinxe1,1,因此,-13当sinx=2时，f(x)有取大值2，当sinx=1时，f(x)有最小值一3,3所以所求函数f(x)的值域为一3,2.j即/|转化与化归的思想三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础,所谓三角式的恒等变换,就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式.转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用.【例6】已知sina2=g,cos53=一13，且a一"2"和

15、23分别为第二、第三象限角，求tan7的值.思路探究先根据a-2-,-y-3的范围求得其正、余弦再求正切值，最后由弓-=a-2-2-3求解.解sina=。且a5为第二象限角,252cos又costana-2-=-4,tan-2-(3=-52,33N12a+3tan2=tan3atanoc2tan251263_L1+tanatan1-X-16,312跟路训埴6.已知sinacosa35'(1)求sina和COSa的值；兀(2)求COSaB+彳的值.21解(1)由题息得(Sina-COSa)=-,51即1sin2a工)5'''sin2.又2aC0,52，cos2a=

16、71sin22a=f,51+COs2a42:5sina=*.一一一兀兀(2) Bey,八兀4cosS.=45COsaB+/=COsaeJL.。工=COsaCOsP4+sinasinP42,54,5311'5x5+tx5=T.i|数形结合思想平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想.向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形紧密地结合在一起.运用数形结合思想可解决三点共线，两条线段（或射线、直线）平行、垂直，夹角、距离、面积等问题.【例7】已知向量OB=(2,0),OG=(0,2),CA=(J3cosa,J3sina),则ONTO映角的范围是()A.7tC.7t7t6，万D.思路探究计算向量CA勺模长，彳#到点A在以C(0,2)为圆心，、/3为半径的圆上，用数形结合，由图来分析其夹角的最大值、最小值点，结合解三角形的有关知识进而得到答案.DOB=(2,0),OCC=(0,2),CA=(mcosa,gsina),ICA=3cos2a+3sin2a=t3,A的轨迹是以Q0,2)为圆心，以、/3为半径的圆，在4CO珅，OC=2,CD=3,ZCDO=-,所以/COD=，23一一.f.f.一.兀兀兀所以当A在D处时，则OAfO映角最小为,236兀55兀当A在E处时O