数列知识点总结和题型归纳总结

1、高三总复习-数列一、数列的概念(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作an;数列的一般形式：ai,a2,a3,，an,，简记作an。例：判断下列各组元素能否构成数列(1)a,-3,-1,1,b,5,7,9;(2)2010年各省参加高考的考生人数。(2)通项公式的定义：如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如:：1,2,3,4,5,.11111,，一2345数列的通项公式是an=数列的通项公式是

2、an=n（n1一（nn7,nN）。说明：an表示数列，an表示数列中的第n项，an=fn表示数列的通项公式;n1,n2k1同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an=(1)n=(kZ);1,n2k不是每个数列都有通项公式。例如，1,1.4,1.41,1.414,(3)数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N(或它的有限子集)的函数f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2),f(3),，f(n),.通常用an来代替fn,其图象

3、是一群孤立点。例：画出数列an2n1的图像.(4)数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1)1,2,3,4,5,6,(2)10,9,8,7,6,5,(3)1,0,1,0,1,0,(4)a,a,a,a,a,-可编辑修改-S(n1)SnSm(n>2)例：已知数列an的前n项和Sn2n23,求数列an的通项公式（5）数列an的前n项和Sn与通项an的关系：an练习：1 .根据数列前4项，写出它的通项公式：(1) 1,3,5,7；/、2

4、21321421521(2)23451111(3) ,，。1*22*33*44*5(4) 9,99,999,9999(5) 7,77,777,7777,(6)8,88,888,8888.n2n1.2 .数列an中，已知an(nN)3(1)与出a1，a2,a3,an1,an2；(2)792是否是数列中的项？若是，是第几项？33.（2003京春理14,文15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（303：40也的收宾庄水锐柱建举J1101情130J3S13。()145野热庄本担柱堂笔）7075在.蜡(一)4、由前几项猜想通项:

5、根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样,10条直线相交，交点的个数最多是(),其通项公式2条直线相交，最多有1个交点3条直线相交，最多有3个交点个交点二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为anan1d(n2)或an1and(n1)。例：等差数列an2n1,anan1题型二、等差数列的通项公式：ana1(n1)d;说明：等差数列(通常可称为AP数列)的单

6、调性：d0为递增数列，d0为常数列，d0为递减数列。例：1.已知等差数列an中，a7a916,a41,则a12等于()A.15B.30C.31D.642 .an是首项a11,公差d3的等差数列，如果an2005,则序号n等于(A)667(B)668(C)669(D)6703 .等差数列an2n1,bn2n1,则an为bn为(填“递增数列”或“递减数列”)题型三、等差中项的概念：ab定义：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A2aba,A,b成等差数列A即：2an1anan2(2ananmanm)2-可编辑修改-例：1.（14全国I）设an是公差为正数的等差数列,o若a1a

7、2a315,a1a2a380,则a11a2a13A.120B.105C.90752.设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为则它的首项是（）A.1B.2C.4D.8题型四、等差数列的性质:在等差数列中,从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项;(2)在等差数列an中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列；(3)在等差数列中,对任意m,nN,anam(nm)d,danam/(mn);(4)在等差数列an中,若m,n,p,qN且mnpanapaq；题型五、等差数列的前n和的求和公式：Snn(aan)na1n(n1)d(a1-)n。2(SnAn2Bn(A,B为常数)an是等差数列

8、递推公式：Sn(aan)n2(aman(m1)n例：1.如果等差数列中,a3a4a512,那么a1a2a7(A)14(B)21(C)28(D)352.(2015湖南卷文）Sn是等差数列an的前n项和，已知a23,a611,则S7等于（）13B.35C.493.(2015全国卷I理）设等差数列an的前n项和为Sn,若S94.(2015重庆文）（2）在等差数列an中，aa9则a5的值为（(A)(B)6(C)8(D)105.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为且所有项的和为390,则这个数列有（）A.13项B.12项C.11项D.10项6.已知等差数列an的前n项和为Sn,若S1221,贝

9、a2a5a8an-可编辑修改-S97 .（2014全国卷n理）设等差数列an的前n项和为Sn,若a55a3则二S58.（2014全国）已知数列bn是等差数列，b1=1,b+b2+b10=100.（I）求数列b"的通项bn；9.已知an数列是等差数列,a1010,其前10项的和S1070,则其公差d等于（）B.1C.-32D.310.(2015陕西卷文）设等差数列1的前n项和为Sn,若a6S312,则为11.(2013全国）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7,Si5=75,Tn为数列的前n项和，求Tn。12 .等差数列an的前n项和记为Sn,已知a1030,a20

10、50求通项an；若Sn=242,求n13 .在等差数列an中，（1）已知S848,&2168，求a1和d；（2）已知%10£5,求%和S8；已知a3a1540,求S17题型六对于一个等差数列:SaS偶an1（1）若项数为偶数，设共有2n项，则S偶S奇nd;包-a-;-可编辑修改-（2）若项数为奇数，设共有2n1项，则S奇S偶ana中；题型七对与一个等差数列，Sn,S2n&,S3nS2n仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602 .一个等差数列前n项的和为48,前2n项的和为6

11、0,则前3n项的和为。3 .已知等差数列an的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为4 .设Sn为等差数列an的前n项和，S414,&0S730,贝US9=S1Sc5. （2015全国II）设Sn是等差数列an的前n项和，若=-,则一6=S63S12A.B.1C.1D.-10389题型八.判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：an1and（常数）（nN）an是等差数列中项法：2an1anan2（nN）an是等差数列通项公式法：anknb（k,b为常数）an是等差数列前n项和公式法：SnAn2Bn（A,B为常数）an是等差数列例：1.已知数列an满足anan12,

12、则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断-可编辑修改-2.已知数列an的通项为an2n5,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断23 .已知一个数列an的前n项和Sn2n24,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断24 .已知一个数列an的前n项和Sn2n,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5 .已知一个数列an满足an22an1an0,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D

13、.无法判断6 .数列an满足a=8,a42,且an22an1an0（nN）求数列an的通项公式；7 .（14天津理，2）设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2,则值力是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列题型九数列最值（1） ai0,d0时，Sn有最大值；比0,d0时，Sn有最小值；2（2） Sn最值的求法：若已知Sn,Sn的最值可求二次函数Snanbn的最值;可用二次函数最值的求法（nN）；或者求出an中的正、负分界项，即:-可编辑修改-an0an0或an10an10o若已知an,则Sn最值时n的值（nN）可

14、如下确定例：1.等差数列an中，ai0,S9S12,则前项的和最大。2.设等差数列an的前n项和为Sn,已知a312,S120,S130求出公差d的范围，指出S1,S2,S12中哪一个值最大，并说明理由。3. （12上海）设an（nCN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且Ss<S6,Se=S7>S8,则下列结论A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值4.已知数列的通项n98n99N），则数列an的前30项中最大项和最小项分别是5 .已知an是等差数列，其中a131,公差d8。（1）数列an从哪一项开始小于0?（2）求数列an前n项和的最大值，

15、并求出对应n的值.-可编辑修改-0，求数列an前n项和的最大值.6 .已知an是各项不为零的等差数列，其中ai0,公差d0,若S107 .在等差数列an中，ai25,S17S9,求Sn的最大值.tSi(n1)题型十利用an求通项.SSni(n2)21 .数列an的刖n项和Snn1.（1）试写出数列的刖5项；（2）数列an是等差数列吗？（3）你能写出数列an的通项公式吗?2 .已知数列an的前n项和Snn24n1,则3 .设数列an的前n项和为Sn=2n2,求数列an的通项公式；-可编辑修改-4.已知数列an中，a13,前n和Sn1-(n1)(an1)1求证：数列an是等差数列求数列an的通项公

16、式25.（2015安徽又）设数列an的前n项和Snn,则a8的值为（）(A) 15(B) 16(C)49(D)64等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0）,即：an1：,那么这个数列就叫做等比数anq（q0）。、递推关系与通项公式递推关系:通项公式：anan1anqn1推广：anamaqnmq在等比数列an中，a14,q2,则an2.在等比数列an中，a712,q3/2，则a193.（2014重庆文）在等比数列an中，a2=8,a1=64,则公比q为（）-可编辑修改-(A)2(B)3(C

17、)4(D)84.在等比数列an中，a?5.在各项都为正数的等比数列an中，首项ai3,前三项和为21,则a3a4a§A33B72C84D189、等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为bJac,注：b2ac是成等比数列的必要而不充分条件.例：1.2J3和26的等比中项为()(A)1(B)1(C)1(D)22.(2013重庆卷文)设an是公差不为0的等差数列,a12且aa©成等比数列，则an的前n项和Sn=()2nA.47n42n5nB.332n3nC.24三、等比数列的基本性质,1.(1)若mnpq,贝Iamanapaq(其中m,n,p,qN)

18、nman2(2) q,ananmanm(nN)am(3) an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列(4) an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列例:在等比数列2an中，a1和a10是万程2x5x10的两个根，则a4a7()5.211(A)53(C)2(叼2.在等比数列an,已知a15,a9a10100,贝Ua18=an13.在等比数列an中，a1a633,a3a432,an-可编辑修改-求an若TnIgaiIga?lgan,求Tn4.等比数列an的各项为正数，且a5a6a4a718,则10g3a110g3a2L10g3a10()A.12B.10C.8D.2+10g355

19、.(2014广东卷理)已知等比数列an满足an0,n1,2,L,且a5a2n52(n3),则当n1时10g2a110g2a3L10g2a2n12A.n(2n1)B.(n1)C.n2D.(n1)22.前n项和公式na(q1)SnW(1qn)aanq(q1)1 q1q例：1.已知等比数列an的首相a15,公比q2.已知等比数列an的首相a15,公比q和Sn2,则其前n项和Sn1一,当项数n趋近与无穷大时，其前n项23.设等比数列an的前n项和为Sn,已a26,6a1a330,求an和SnN),则f(n)等于(2n4D.一(81)74.(2015年北京卷)设f(n)22427210L23n10(n.

20、2n2n12n3A.-(81)B.(81)C.一(81)7775.(2014全国文，21)设等比数列an的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q；-可编辑修改-6.设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，则q的值为3.若数列an是等匕匕数列，Sn是其前n项的和，kN,那么Sk,S2kSk,S3kS2k成等比数列S6S9aSS例：1.（2014辽宁卷理）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3=3,则6=78A.2B.3C.3D.32 .一个等比数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为（）A.83B.108C.75D.633

21、.已知数列an是等比数列，且Sm10,S2m30,则S3m4 .等比数列的判定法a（1）定义法：二q（常数）an为等比数列；an，一，2一（2）中项法：an1anan2（an0）an为等比数列；（3）通项公式法：ankqn（k,q为常数）an为等比数列；（4）前n项和法：Snk（1qn）（k,q为常数）an为等比数列。Snkkqn（k,q为常数）an为等比数列。例：1.已知数列an的通项为an2n，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2_，.2 .已知数列an满足an1anan2（an0）,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数

22、列也不是等比数列D.无法判断n13 .已知一个数列an的前n项和Sn22,则数列an为（）-可编辑修改-oA.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.利用an6(n1)求通项.SSni(n2)一1,、例：1.(2015北东卷)数列an的刖n项和为Sn,且ai=1,an1-Sn,n=i,2,3,求a2,a3,3a4的值及数列an的通项公式.一.一.一一一，*、2.(2015山东卷)已知数列an的首项a15,刖n项和为Sn,且Sn1Snn5(nN),证明数列an1是等比数列.四、求数列通项公式方法(1).公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项-可编辑修改-例

23、：1已知等差数列an满足：a37,a5a726,求an；1),求数列an的通项公式;2.已知数列an满足a12,anani1(n3.数列an满足a1=8,a42,且an22anian0(nN),求数列an的通项公式;-可编辑修改-4.已知数列an满足a12,an12,求数列an的通项公式;an5.设数列an满足ai0且一1一1an111an1,求an的通项公式6.已知数列an满足an2an八o，a1an2an的通项公式。7.等比数列an的各项均为正数，且2a13a2.2-1,a39a2a6,求数列an的通项公式-可编辑修改-8.已知数列an满足ai2,an3ani(n1),求数列aj的通项公式

24、;9.已知数列an满足a12,a24且an2anan12(nN),求数列an的通项公式;ni10.已知数列an满足a12,且ani52(小5n)(nN)，求数列a。的通项公式;-可编辑修改-11.已知数列an满足a12,且an152n123(an52n2)(nN)，求数列a0的通项公式;12.数列已知数列an满足a11,an24an11(n1).则数列an的通项公式=-可编辑修改-(2)累加法1、累加法适用于：an1anf(n)若an1anf(n)(na2a3a2f(1)f(2)Lan1anf(n)n两边分别相加得an1a1f(n)k1，一1例：1.已知数列an满足21-,1一，an1an2,

25、求数列an的通项公式。4n211,求数列an的通项公式。2.已知数列an满足an1an2n1,a1-可编辑修改-3,已知数列an满足an1an23n1,a13,求数列an的通项公式。一一一_2n14,设数列an满足ai2,an1a。32,求数列an的通项公式-可编辑修改-(3)累乘法若亘f(n),则a2anai适用于：an1f(n)anf(1),也f(2),LL3f(n)a2ann两边分别相乘得，an-1af(k)aki例：1.已知数列an满足an12(n1)5n烝，a13,求数列an的通项公式。2，求an。2.已知数列an满足a1一，an13-可编辑修改-3.已知a13,3n1an1-一-a

26、n(n3n21),求an。(4)待定系数法适用于an1qanf(n)解题基本步骤:确定f(n)2、设等比数列an1f(n),公比为3、列出关系式#(n1)2a2f(n)4、比较系数求5、解得数列an1f(n)的通项公式6、解得数列an的通项公式例:1.已知数列an中，a11,an2an1(n2),求数列an的通项公式。-可编辑修改-2. (2015,重庆，文,14)在数列an中，若a11自12an3(n1),则该数列的通项an.*3. (2014.福建.理22.本小题满分14分)已知数列an满足a11,an12an1(nN).求数列an的通项公式；4. 已知数列an满足an12an35n,a1

27、6,求数列an的通项公式。解：设an1x5n12(anx5n)-可编辑修改-5.已知数列an满足an13an52n4,ai1,求数列an的通项公式。,一一n1解：设an1x2n、y3(anx2y),51,1、n16.已知数列an中，a1一，an1an(),求an6327.已知数列an满足an122an3n4n5,a11,求数列an的通项公式。.、一一2解：设an1x(n1)y(n1)z2(anxnynz)-可编辑修改-8.已知数列an满足an1一一n1.、一一2an43,&1,求数列an的通项公式。递推公式为an2paniqan(其中p,q均为常数)。先把原递推公式转化为an2san1

28、t(an1san)其中stpstq9.已知数列an满足an25an16an,S11,a22,求数列an的通项公式。(5)递推公式中既有Sn,八，一S1,n1小一分析：把已知关系通过an转化为数列an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。SnSn1,n2.1一，1.（2015北东卷）数列an的刖n项和为Sn,且a1=1,an1-Sn,n=1,2,3,求a2,a3,a4的3-可编辑修改-值及数列an的通项公式._.*.2.(2015山东卷)已知数列an的首项ai5,前n项和为Sn,且Sn1Snn5(nN),证明数列an是等比数列.一一一C13.已知数列an中，ai3,刖n和Sn-(n1)(an

29、1)12求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式-可编辑修改-1,Z一4.已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn(an1)(加2),且a2,a4,a9成等比数列，求数6列an的通项公式。(6)倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项一-2an/一、，例：1.已知数列an满足ani,ai1,求数列a的通项公式。an2-可编辑修改-(7)对无穷递推数列消项得到第n1与n项的关系例：1.(2014年全国I第15题，原题是填空题)已知数列an满足ai1,ana12a23a3L(n1闭1(n2),求an的通项公式。2n1n*2.设数列an满足a13a232a33n1anaN.求数

30、列an的通项;3五、数列求和1 .直接用等差、等比数列的求和公式求和。n(a1an)n(-1).,SnnadSn2 2na(q1)a1(1qn)/八公比含字母时一定要讨论-(q1)1 q-可编辑修改-ai（理）无穷递缩等比数列时，S1q例：1.已知等差数列an满足ai1,a23,求前n项和Sn2 .等差数列an中，ai=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n=A.9B.103.已知等比数列an满足a1C.11D.121,a23,求前n项和Sn4.设f(n)22427210L23n10(nN),则f(n)等于(2n2n1A.-(81)B.-(81)772n32n4C.-(81)D.-

31、(81)77anbn的和.2.错位相减法求和：如：an等差，bn等比，求a1bla2b22.n1例：1.求和Sn12x3x2Lnxn1-可编辑修改-2.求和：Sn-aa3.设an是等差数列,bn是各项都为正数的等比数列，且a1匕1,a3b521,asb313(I)求an,bn的通项公式；(n)求数列an的前n项和Sn.bn3.裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。1常见拆项：n(n1)(2n1)(2n1)2(2n112n1)1n(n2)1(12nn(n1)(n2)(n1)(n2)nn!(n1)!n!(n1)!n!(n1)!cn;cnC；1-可编辑修改-例：1.数列an的前n项和为Sn1，则S5等于()n(n1)A.1C.1D.302.已知数列an的通项公式为3.已知数列an的通项公式为4.已知数列an的通项