数列型不等式放缩技巧

1、数列型不等式放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：利用重要不等式放缩1.均值不等式法例1设Sn1T2<23.n(n1).求证S)Sn(n1)22解析此数列的通项为k.k(k1)akkk(k1),k即n(n1)SSn22n(n1)21,2(n1)21.2,nkk1,n.Sn(kk1注：应注意把握放缩的“度”2上述不

2、等式右边放缩用的是均值不等式Jk(k1)k1贝U得nSn(k1)k1一、2(n1)(n3)(n1)5就放过“度”了!题)根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里1a1其中，22a1annf(1)f(2)简析f(x)an2,3等的各式及其变式公式均可供选用。已知函数f(x)f(n)11_2n1且f(x)1上,一，一1、一的取小值为一，求证：24x例3已知简析(ab)n,1由一aC0an2)(1a,b为正数,C1_n1.nab11412：11-.(02年全国联赛山东预赛题)21令f(n)(a2f(n)=C；(an1bb)nabn12?2xn1mn(14(x0)f(n)(1ab,又C；

3、an_±)2。1，12n11，试证：对每一个(arbr(ab)nbn2nn122(88年全国联赛b)(-abn,则f(n)=C：anCnr(anrb1)2bC：bn,1br)C；anrbrC；1(ab故ab而an1babn12f(n)=(C；f(n)(2n2)例4求证CnC；2n,rbrCrnrabn1n)(ab即对每一个n2Cn简析不等式左边cnC；c2CnC；abnra,(ab)(2n2anbn2)(arbnrC1abn1b),因为cncn1,倒序相加得2n1,则br)(2n2)2n1,所以bn22n2n1n12T(n1,ncn2n1N).2222n1n.n.12.例5n12,原

4、结论成立.简析利用有用结论求证(11)(11)(1115)(1茄2n1.本题可以利用的有用结论主要有:利用假分数的一个性质462n35352n124ba76m(bm0,m0)可得2n1-2n22n1,益(2n1)n2,x(1法212k11462n）2352n1利用贝努利不等式）得2k12k12k1n(1k12n1即(1(1x)n?)11)(13)(11nx(n2k1k12k1注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：证明1(11)(14)(117)(1已知函数f（x）lg12x13n23x求证:简析的简捷证法:5)(1N,n.2n1.12n1

5、2,x),2n1.1,x“枝”加“叶”而编拟成）力而1.（可考虑用贝努利不等式n0)的一个特例(11)212k12，（此处2k11998年全国高考文科试题;3的特例）x_x(n1)an,0a1,给JEnN,n2.nf(2x)2f(x)(x0)对任意nN且n本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准;2x2xf(2x)2f(x)lgU一3-2x(n1)n进行升维2恒成立。（90年全国卷压轴题）这里给出运用柯西（Cauchy）不等式2xanxx1232lgxx(n1)anxx123(n1)x而由Cauchy不等式得（111x,n2xn?13x22x32xn(n1)2x(1212)?122x32xn?

6、122x32x例7已知41,am(1(n1)2x-2)annn(n1)2xan2x(2(ab)1n2.2aibi1i1证明an解析an1(1(n1)xn2x(x2xan20时取等号）a1),得证!J.（I）用数学归纳法证明an2(n2);(II)对ln(1x)0都成立,（无理数e2.71828,）（05年辽宁卷第22题）（II）结合第（I）问结论及所给题设条件ln（1x）的结构特征，可得放缩思路：lnan12nlnan1ln(1lnanlnan121-2nlnan12nn1(lnaii1lnai)lnanlna1lnanlna12an注：题目所Z条件ln（1x）x0）为一有用结论,可以起到提醒

7、思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论2nn（n1）（n2）来放缩:1an1(1)ann(n1)1n(n1)an1ln(an11)ln(an1)ln(1n1ln(ai11)ln(aii21n(nn11)1(1-n(n1.n(n1)-)(an1)1)1)即ln(an1)1ln3已知不等式满足:a1b(b0),an13nan3e11一ln(anI(I1)1e2.1-log2n,nN211)ln(a21)11，n,n2.log2n表示不超过log2n的最大整数。设正数数列an求证an2b,nan12.2blog2n3.（05年湖北卷第（22）题）简析当n2时annan1nan1nan1ana

8、n1n于是当n3时有1(一ak1an1)ak11an1an注：本题涉及的和式a111231log2n2an2b2blog2n1为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论nlOg2n来进行有效地放缩;引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。1n例9设an(1)n,求证:n解析引入一个结论：若数列an单调递增且an4.整理上式得,b即an单调递增。babn(n0则bn1an11)anb.(11代入（）式得n(1(n1)bn(ba）（证略）-)1(1-)n.na1b12代入()式得1(12n12n此式对一切正整数n都成立,

9、即对一切偶数有（1121)n(14,牙4.又因为数列an单调递增，所以对一切正整数n有(11)n4°n注：上述不等式可加强为2（13.简证如下:利用二项展开式进行部分放缩:an(1-)nnC：Cn2Cnn只取前两项有an1c：12.对通项作如下放缩:1k!故有ann112221k!上述数列an的极限存在，为无理数已知i,m,n是正整数，且1imn.科第20题）12k1._n111(1/2)2e；3.11/2同时是下述试题的背景:(1)证明niAmiimAn；(2)证明(1m)n(1n)m.(01年全国卷理简析对第（2）问：用1/n代替n得数列bn:bn（11n）n是递减数列；借鉴此结

10、论可有如下简捷证法：数列11(1n)n递减，且1imn,故(1m)m1nnm(1n),即(1m)(1n)。当然，本题每小题的证明方法都有10多种，如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文1。部分放缩例10设an解析an12a112a3a1例11k2k(k122132设数列1，、一一,a2.求证:anan2.11_2222321),k12n满足a(12（只将其中一个111-)()2232annan1nk变成k11()n1nN,当a1进行部分放缩），1k(k1)1,k12.n3时证明对所有n1,有(i)an1厂11a2

11、11(02年全国图考题)1an2(i)用数学归纳法：时显然成立，假设k时成立即ak则当nk1时akiak(ak(ii)利k)1用ak(k2k)1部分(k2)21放缩的3,论ak12(ak1)akk1k1,2(a11)242kak11ak2ak1来放12k1.11ai(1)n211-2注：上述证明(i)用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩:ak1(k2)(k2k)1k3；证明(ii)就直接使用了部分放缩的结论ak12ak1。kIk添减项放缩上述例5之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。例12设n1,nN,求证(2)n一3(n81)(n2)2n3简析观祭(V的结构，注意到(一)3

12、2(1展开得(12)n112cncn22122C3n(n1)8(n1)(n2)65即(1(n1)(n2),得证.8例13设数列4满足a12,an1(nan1,2,).(I)证明an2n1对一切正整数bn亍(n简析1,2,),判定0与1的大小，并说明理由(04年重庆卷理科第本题有多种放缩证明方法，这里我们对(I)进行减项放缩，有用数学归纳法(只考虑第二步)2ak2k122an2ak2ak2,k(22)2(k题)1)1,2,n1.则a；a22(n1)2n2nan、2n1利用单调性放缩1.构造数列Sn丫则1Tn(n1)(n2)2n320,再如例TnT1Tn递减,有Tn人(15,令T-n1)(13(1

13、1)5.2n1(1故Sn(n1)222n1)贝U五2Tn2n22n1.2n31，即TnTn递增，有2.3得证!注：由此可得例5的加强命题1(11)(13)(15)(1人)2n1交3"五一7并可改造成为探索性问题：求对任意n1311使(11)(1-)(1-)35论，读者不妨一试！2.构造函数k,2n1恒成立的正整数k的最大值；同理可得理科姊妹题的加强命题及其探索性结例14已知函数f(x)ax1111的取大值不大于-,又当x工时f(x)-.(I)求的值；(H)设一10a1-,an1f(an),nN,证明an1-.(04年辽宁卷第21题)3o3解析(I)a=i；(n)由anif(an),得

14、anian-a2-(an22看第二步)：akif(ak)在ak(0,工)是增函数，则得ak1f(ak)k11 a例15数列Xn由下列条件确7E：x1a0,xn1-xn-,n2 Xn证明：对n2总有xnxn1(02年北京卷第(19)题)【)21且2”366f()k1k10.用数学归纳法（只2)21k-2N.(I)证明：对n2总有xnva；(II)解析构造函数f（x）1xa,易知f(x)在“a,2x）是增函数。当nk1时xk11xk在卜历，2xk）递增故xk1f(,a).a.对(II)有xnxn11xn,构造函数f(x)1xa,它在ja,2xn2x）上是增函数，故有xnxn1xnaxnf(Va)0

15、,得证。注：本题有着深厚的科学背景：是计算机开平方设计迭代程序的根据；同时有着高等数学背景一数列xn单调递减有下界因而有极限：an.a(n).f(x)1xa是递推数列xn1-xn的母函数,2x2xn重要的指导作用。五换元放缩例16求证1Jn12(nN,n2).n1简析令ann/n1hn,这里hn0(n1),则有n(1hn)nn(n"h：0hnv(n1),从而有1an12n1研究其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有hn1注：通过换元化为哥的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。例17设a1,n2,nN,求证a简析1,则b0,a1b,(b1)nC0bnCnbn1C2

16、bn22nn（a1）.4应用二项式定理进行部分放缩有CnCnbn2啦b2,注意到n22,nN,则n(n1)b22明从略），因此an22n(a1)4递推放缩递推放缩的典型例子,可参考上述例例7(II)中所得inan11Inan-nn11中利用（i）部分放缩所得结论1一二和ln（an11）ln（an1）2nak12ak1n(n1)1进行递推放缩来证明1、例8中，an22n-b-(证4(ii),同理例13(I)an1n之法2所得a21a；kIk2都是进行递推放缩的关键式。我们可以通过从特值入手进行归纳探索、七转化为加强命题放缩如上述例11第（ii）问所证不等式右边为常数，难以直接使用数学归纳法,或运

17、用逆向思维探索转化为证明其加强命题：就容易多了（略）。例18设0a1,定义a11a,an11111a11a21ana,求证：对一切正整数an解析用数学归纳法推nk1时的结论an11,仅用归纳假设akak1a是难以证出的,因为ak出现在分母上！可以逆向考虑:ak11.I一-f.再用数学归纳法证明此加强命题,22n1n有an1.1及递推式1akia1akak1T故将原问题转化为证明其加强命题:a对一切正整数n有1an例19数列xn满足x1，(证明从略)1a-,XmXn旦证明Xq1001.2n01年中国西部数学奥林匹克试题)简析将问题一般化：先证明其加强命题2XkXk1Xk-2八分项讨论Xnn.用数学归纳法，只考虑第二步：21U因此对一切XN有Xn-422例20已知数列a”的