杆梁结构有限元分析(第四章)

1、Finite Element method and ANSYS程程 强强 有限元分析及有限元分析及ANSYS北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院第四章第四章 杆梁结构的有限元方法杆梁结构的有限元方法4.1 杆梁结构分析的工程概念杆梁结构分析的工程概念4.2 杆件有限元分析的标准化表征与算例杆件有限元分析的标准化表征与算例4.3 梁件有限元的标准化表征与算例梁件有限元的标准化表征与算例4.4 本章要点回顾本章要点回顾4.1 杆梁结构分析的工程概念杆梁结构分析的工程概念 在机械结构中，杆、梁、板是主要的承力构件，关于它们的在机械结构中，杆、梁、板是主要的承力构件，关于它们的计算分析对于机械结构

2、设计来说具有非常重要的作用，对杆、梁计算分析对于机械结构设计来说具有非常重要的作用，对杆、梁、板的建模将充分考虑到实际结构的几何特征及连接方式，并需、板的建模将充分考虑到实际结构的几何特征及连接方式，并需要对其进行不同层次的简化，可以就某一特定分析目的得到相应要对其进行不同层次的简化，可以就某一特定分析目的得到相应的的1D、2D、3D模型。模型。 由于在设计时并不知道结构的真实力学性能由于在设计时并不知道结构的真实力学性能(或许还没有实验或许还没有实验结果，或许还得不到精确的解析解结果，或许还得不到精确的解析解)，仅有计算分析的一些结果，仅有计算分析的一些结果，因此，一种进行计算结果校核或验证

3、的可能方法，就是对所分析因此，一种进行计算结果校核或验证的可能方法，就是对所分析对象分别建立对象分别建立1D、2D、3D模型，来进行它们之间的相互验证和核模型，来进行它们之间的相互验证和核对；图对；图4-1给出一个建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程。给出一个建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程。 4.1 杆梁结构分析的工程概念杆梁结构分析的工程概念图4-1 建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程 4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例1 基本力学原理基本力学原理 杆件是最常用的承力构件，它的特点是连接它的两端一般都是铰杆件是最常用的承力构件，它的特点是连接它的两端一般都是铰接接头，因此，它主

4、要是承受沿轴线的轴向力，因两个连接的构件在接接头，因此，它主要是承受沿轴线的轴向力，因两个连接的构件在铰接接头处可以转动，则它不传递和承受弯矩。铰接接头处可以转动，则它不传递和承受弯矩。 有一个左端固定的拉杆，其右端承受一外力有一个左端固定的拉杆，其右端承受一外力P。该拉杆的长度为。该拉杆的长度为l，横截面积为横截面积为A，弹性模量为，弹性模量为E，如图，如图4-2所示，这是一个一维问题，下所示，这是一个一维问题，下面讨论该问题的力学描述与求解。面讨论该问题的力学描述与求解。 图4-2 一端固定的拉杆 4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例基本变量：基本变量： 由于该问题是沿由于该问题是沿x

5、方向的一维问题，因此只有沿方向的一维问题，因此只有沿x方向的基本变量，方向的基本变量，即定义沿即定义沿x方向移动为位移：方向移动为位移：定义：沿定义：沿x方向移动为位移：方向移动为位移： 沿沿x方向的相对伸长方向的相对伸长(或缩短或缩短)量为应变：量为应变： 沿沿x方向的单位横截面上的受力为应力：方向的单位横截面上的受力为应力： 基本方程：基本方程： 取出杆件的任意一个截面，可得到平衡方程取出杆件的任意一个截面，可得到平衡方程(无体力无体力)为为 取出杆件取出杆件x位置处的一段长度位置处的一段长度dx，设伸长为，设伸长为du，则相对伸长量为，则相对伸长量为 由该材料的拉伸试验，可得到该材料的虎

6、克定律为由该材料的拉伸试验，可得到该材料的虎克定律为 边界条件边界条件位移边界条件位移边界条件BC(u) 力边界条件力边界条件BC(p) )(xu)(xx)(xx0)(1dxdcxxx或xdxduxxE0| )(0 xxuxlxpAFx| )(4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例杆件有限元分析的标准化标准与算例从求解思路来说，可以有两类方法来对该问题进行求解，即从求解思路来说，可以有两类方法来对该问题进行求解，即: 直接求解法：直接求解法：可以由可以由3个方程来直接求解个方程来直接求解3个变量个变量; 间接法间接法(试函数试函数)：选取变量选取变量(位移位移)作为基本的待求变量，将其它变量

7、都作为基本的待求变量，将其它变量都用它来表达，并采用间接的近似求解方法。具体的做法如下用它来表达，并采用间接的近似求解方法。具体的做法如下： 假设满足位移边界条件的位移变量可能解假设满足位移边界条件的位移变量可能解(含待定的系数含待定的系数)，称为试，称为试函数，让该受力系统的势能取最小值来最后确定出可能解函数，让该受力系统的势能取最小值来最后确定出可能解(试函数试函数)中中的那些待定系数；也可以让该受力系统的内部变形虚功等于外部施加的那些待定系数；也可以让该受力系统的内部变形虚功等于外部施加力的虚功，来求出试函数中的那些待定系数。力的虚功，来求出试函数中的那些待定系数。 4.2 杆件有限元分

8、析的标准化标准与算例杆件有限元分析的标准化标准与算例1D问题的虚功原理求解问题的虚功原理求解 先以一个简单的结构静力平衡问题来描述虚功原理的基本思想，先以一个简单的结构静力平衡问题来描述虚功原理的基本思想，然后再具体求解一端固定的拉杆问题。然后再具体求解一端固定的拉杆问题。 如图如图4-3所示的一个平衡力系，由于该系统处于平衡状态，则有所示的一个平衡力系，由于该系统处于平衡状态，则有 假想在该平衡力系上作用有微小的扰动假想在该平衡力系上作用有微小的扰动(不影响原平衡条件不影响原平衡条件)，且外力，且外力所作用的位置产生了微小的位移变化，即所作用的位置产生了微小的位移变化，即A，B。该假想的位移

9、如果不。该假想的位移如果不影响原平衡条件，应满足以下几何关系影响原平衡条件，应满足以下几何关系 ABBAllppABABll4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例杆件有限元分析的标准化标准与算例 这就是任意扰动的位移应满足的条件，称为许可位移条件，我们把这就是任意扰动的位移应满足的条件，称为许可位移条件，我们把满足许可位移条件的、任意微小的假想位移称为虚位移满足许可位移条件的、任意微小的假想位移称为虚位移。 即：对于一个处于平衡状态的系统，作用于系统上的所有外力在满足许即：对于一个处于平衡状态的系统，作用于系统上的所有外力在满足许可位移条件的虚位移上所做的虚功总和恒为零。可位移条件的虚位移上

10、所做的虚功总和恒为零。 现在进一步讨论弹性力学中有关变形体的虚功原理，这时的虚功应现在进一步讨论弹性力学中有关变形体的虚功原理，这时的虚功应包括外力虚功包括外力虚功W和内力虚功和内力虚功 U，U叫做虚应变能。由于弹性体在变形叫做虚应变能。由于弹性体在变形过程中，内力是抵抗变形所产生的，其方向总是与变形的方向相反，所过程中，内力是抵抗变形所产生的，其方向总是与变形的方向相反，所以内力虚功取负。由于虚功总和为零，则有以内力虚功取负。由于虚功总和为零，则有 弹性力学中的虚功原理可表述为：在外力作用下处于平衡状态的变弹性力学中的虚功原理可表述为：在外力作用下处于平衡状态的变形体，当给物体以微小虚位移时

11、，外力所做的总虚功等于物体的总虚应形体，当给物体以微小虚位移时，外力所做的总虚功等于物体的总虚应变能变能(即应力在由虚位移所产生虚应变上所作的功即应力在由虚位移所产生虚应变上所作的功)。注意这里的虚位移是。注意这里的虚位移是指仅满足位移边界条件指仅满足位移边界条件BC(u)的许可位移。的许可位移。 0BFAFBA0 UW4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例杆件有限元分析的标准化标准与算例 下面应用虚功应力来具体求解如图下面应用虚功应力来具体求解如图4-2所示的一端固定的拉杆问题，所示的一端固定的拉杆问题，设有满足位移边界设有满足位移边界条件条件的位移场的位移场 可以验证：它满足位移边界条件

12、。这是一个待定函数，也称为试函数，可以验证：它满足位移边界条件。这是一个待定函数，也称为试函数，所谓该函数是待定的，就是因为它中间有一个待定系数，这就需要通过一所谓该函数是待定的，就是因为它中间有一个待定系数，这就需要通过一个原理来确认它，下面由虚功原理来进行确认。基于式个原理来确认它，下面由虚功原理来进行确认。基于式(4-13)的试函数，的试函数，则它的应变、虚位移以及虚应变为则它的应变、虚位移以及虚应变为 其中其中c为待定系数的增量。计算如图为待定系数的增量。计算如图4-2所示算例的虚应变能以及外所示算例的虚应变能以及外力虚功为力虚功为 cxxu)(cxxcxucx)(.)()(AlcEc

13、dAdxEdUlAxxxx 0lcFlxuFW)(4-13)4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例 由虚功原理，有由虚功原理，有 消去消去c后，有解后，有解 1D问题的最小势能原理求解问题的最小势能原理求解 先介绍最小势能原理的基本表达式。设有满足位移边界条件先介绍最小势能原理的基本表达式。设有满足位移边界条件BC(u)的许的许可位移场，计算该系统的势能为可位移场，计算该系统的势能为 其中其中U为应变能，为应变能，W为外力功，对于如图为外力功，对于如图4-2所示的算例，有所示的算例，有 lcFlAccEEAFc WUu)()()()(21lxuPWdxuxuUxx4.2 杆件有限元分析的标准

14、化标准与算例 对于包含有待定系数的试函数而言，真实的位移函数应使得该系统的对于包含有待定系数的试函数而言，真实的位移函数应使得该系统的势能取极小值，即势能取极小值，即 下面应用最小势能原理来具体求解如图下面应用最小势能原理来具体求解如图4-2所示的一端固定的拉杆问题，所示的一端固定的拉杆问题，如同样取满足位移边界条件的位移场，则计算应力、应变为如同样取满足位移边界条件的位移场，则计算应力、应变为 则计算该系统的势能为则计算该系统的势能为 求极值，即求极值，即 则可以求出则可以求出与虚功原理结果相同与虚功原理结果相同)(min)()(WUuuBCxucExExcdxduxxxx)()()(lcp

15、lAcEWUu221)(0)(cuEAPc/4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例杆件有限元分析的标准化标准与算例2 局部坐标系的杆单元描述局部坐标系的杆单元描述 单元的描述包括单元的几何及节点描述、位移场、应变场、应力单元的描述包括单元的几何及节点描述、位移场、应变场、应力场、势能，也就是要充分利用描述问题的三大类变量以及三大类方程场、势能，也就是要充分利用描述问题的三大类变量以及三大类方程来计算单元的势能，然后，由最小势能原理来计算单元的势能，然后，由最小势能原理(或虚功原理或虚功原理)来得到单元来得到单元的方程。实际上，单元内位移场的描述就是它的试函数的选取。的方程。实际上，单元内位移

16、场的描述就是它的试函数的选取。 (1) 单元的几何及节点描述单元的几何及节点描述 图图4-4所示为一个在局部坐标系中的杆单元，由于有两个端节点（所示为一个在局部坐标系中的杆单元，由于有两个端节点（Node 1和和Node 2），则基本变量为节点位移），则基本变量为节点位移(向量向量)列阵列阵 将每一个描述物体位置状态的独立变量叫做一个自由度，显然，以将每一个描述物体位置状态的独立变量叫做一个自由度，显然，以上的节点位移为两个自由度。节点力上的节点位移为两个自由度。节点力(向量向量)列阵为列阵为 Teuuq214-25TePPP214-264.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例杆件有限元分析的

17、标准化标准与算例 局部坐标系的杆单元描述局部坐标系的杆单元描述图图4-4 局部坐标系中的单元局部坐标系中的单元 若该单元承受有沿轴向的分布外载，可以将其等效到节点上，即表示若该单元承受有沿轴向的分布外载，可以将其等效到节点上，即表示为如式为如式(4-26)所示的节点力。利用函数插值、几何方程、物理方程以及势所示的节点力。利用函数插值、几何方程、物理方程以及势能计算公式，可以将单元的所有力学参量能计算公式，可以将单元的所有力学参量(即场变量）用节点位移列阵及即场变量）用节点位移列阵及相关的插值函数来表示。相关的插值函数来表示。 单元位移场的表达单元位移场的表达 设该单元的位移场为设该单元的位移场

18、为由由Taylor级数，它可以表示为级数，它可以表示为 该函数将由两个端节点的位移该函数将由两个端节点的位移 来进行插值确定，可取式来进行插值确定，可取式(4-27)的前两项来作为该的前两项来作为该单元的位移插值模式单元的位移插值模式：)(xu.)(2210 xaxaaxu4-2721uu和4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例杆件有限元分析的标准化标准与算例单元节点条件为单元节点条件为 将节点条件将节点条件(4-29)代入式代入式(4-28)，可以求得，可以求得将其代入式将其代入式(4-28)有有 其中其中 N(x)叫做叫做形状函数矩阵形状函数矩阵，为，为 xaaxu10)(4-28210

19、| )(| )(uxuuxuelxx4-29eluuaua121104-30eeeeqxNulxulxxluuuxu)()()1 ()()(211214-31eelxlxxN1)(4-324.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例杆件有限元分析的标准化标准与算例叫做节点位移列阵，即叫做节点位移列阵，即 单元应变场的表达单元应变场的表达 由弹性力学中的几何方程，有由弹性力学中的几何方程，有1D问题的应变问题的应变 其中其中 其中其中几何矩阵几何矩阵 单元应力场的表达单元应力场的表达 由弹性力学中的物理方程，有由弹性力学中的物理方程，有1D问题的应力问题的应力 其中其中 Teuuq21eq4-33e

20、eeqxBuulldxxdux)()(11()()(21)11()()(eelldxxdNxB4-344-35eeeeqxSqxBExEx)()()()()()()(eeeeelElExBExS4-364-37其中其中应力矩阵应力矩阵4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例杆件有限元分析的标准化标准与算例 单元势能的表达单元势能的表达 基于式基于式(4-34)和式和式(4-36)，有单元势能的表达式，有单元势能的表达式 其中其中 叫做单元刚度矩阵，即叫做单元刚度矩阵，即 叫做节点力列阵，即叫做节点力列阵，即 eK1111eeeelAEKePeeePPp21)()()(212211uPuPdxx

21、WUeeeeee)()()(22110uPuPdxAqxBxSqeeeeTleTeeeeeeeeeeeeeeeeeeeePPuulAElAElAElAEuuqpqKqTT21212121)(214-394-404-414.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例杆件有限元分析的标准化标准与算例 4 杆单元的坐标变换杆单元的坐标变换 在工程实际中，在工程实际中，杆单元可能处于整体坐标系中的任意一个位置杆单元可能处于整体坐标系中的任意一个位置，如图，如图4-6所示，这需要将原来在局部坐标系中所得到的单元表达所示，这需要将原来在局部坐标系中所得到的单元表达等价变换等价变换到整到整体坐标系中，这样，不同位

22、置的单元才有公共的坐标基准，以便对各个单体坐标系中，这样，不同位置的单元才有公共的坐标基准，以便对各个单元进行元进行集成集成(即组装即组装)。局部坐标局部坐标的节点位移为的节点位移为 整体坐标整体坐标的节点位移为的节点位移为 等价变换等价变换关系关系 写成写成矩阵形式矩阵形式 Teuuq21Tevuvuq2211avauuavauusincossincos222111121121sincos0000sincosvuvuaaaauuqe4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例杆件有限元分析的标准化标准与算例其中其中为为坐标变换矩阵坐标变换矩阵 下面推导整体坐标系下的刚度方程；由于单元的下面推导整

23、体坐标系下的刚度方程；由于单元的势能是一个标量势能是一个标量(能能量量)，不会因坐标系的不同而改变，因此，不会因坐标系的不同而改变，因此其中其中 刚度方程刚度方程aaaaTesincos0000sincoseeTeeeTeeTeTeeeeTeTeeTeeeTeqpqKqqpTqTKTqqpqKq)()(21)()(2121eeeTeTKTK eeTepTp eeepqK得整体坐标系中的得整体坐标系中的刚度矩阵刚度矩阵节点力阵节点力阵4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例杆件有限元分析的标准化标准与算例空间杆单元的坐标变换空间杆单元的坐标变换 该杆单元在局部坐标系下该杆单元在局部坐标系下(的节

24、点位移的节点位移还是还是 整体坐标系中的节点位移列阵为整体坐标系中的节点位移列阵为 杆在整体坐标中的方向余弦杆在整体坐标中的方向余弦 Teuuq21Tewvuwvuq222111lzzzzlyyyylxxxx121212),cos(,),cos(,),cos(22211121),cos(0),cos(),cos(000),cos(00),cos(),cos(wvuwvuzzyyxxzzyyxxuuqe4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例杆件有限元分析的标准化标准与算例其中其中坐标变换矩阵坐标变换矩阵刚度矩阵和节点力的变换与平面情形相同，即为刚度矩阵和节点力的变换与平面情形相同，即为 ),c

25、os(0),cos(),cos(000),cos(00),cos(),cos(zzyyxxzzyyxxTe得整体坐标系中的得整体坐标系中的刚度矩阵刚度矩阵eeeTeTKTK 节点力阵节点力阵eeTepTp 4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例 设有一个受分布载荷作用的简支梁如图设有一个受分布载荷作用的简支梁如图4-9所示，由于简支梁的所示，由于简支梁的宽度较宽度较小，外载沿宽度方向无变化小，外载沿宽度方向无变化，该问题可以认为是一个，该问题可以认为是一个xoy平面内的问题，可平面内的问题，可以有以下两种方法来建立基本方程。以有以下两种方法来建立基本方程。

26、 方法方法1：是采用一般的建模及分析方法，即从对象取出是采用一般的建模及分析方法，即从对象取出dxdy微元体进行分微元体进行分析，所用的变量较多，方程复杂，未考虑到这一具体问题的特征。析，所用的变量较多，方程复杂，未考虑到这一具体问题的特征。 方法方法2：是针对细长梁用是针对细长梁用“特征建模特征建模” 的简化方法来推导三大方程，其基的简化方法来推导三大方程，其基本思想是采用工程宏观特征量来进行问题的描述；本思想是采用工程宏观特征量来进行问题的描述； 图图4-9所示问题的特征为：所示问题的特征为：1梁为细长梁，因此可梁为细长梁，因此可只用只用x坐标来刻画坐标来刻画; 2主要变形为垂直于主要变形

27、为垂直于x的挠度，可的挠度，可只用挠度来描述位移场只用挠度来描述位移场； 针对这两个特征，可以对梁沿高度方向的变形做出以下设定：针对这两个特征，可以对梁沿高度方向的变形做出以下设定：(1)变变形后的直线假定；形后的直线假定；(2)小变形假定。这两个假定对于细长梁的实际情况也小变形假定。这两个假定对于细长梁的实际情况也是符合的。是符合的。 1.1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线挠度：横截面形心沿垂直于轴线 方向的线位移，用方向的线位移，用v v表示。规定：表示。规定： v （），（），v (v (）。）。 2.2.转角：横截面绕其中性轴转动的转角：横截面绕其中性轴转动的角度，用角度，用 表示。规定

28、：表示。规定： （），（）， ( (）。）。 一、挠曲线：弯曲变形后，梁轴线变为一、挠曲线：弯曲变形后，梁轴线变为xyxy平面内的光滑曲线，该平面内的光滑曲线，该三、转角与挠度的关系：三、转角与挠度的关系：二、梁变形的两个基本位移量二、梁变形的两个基本位移量 (1) dd ddtgxvxv小变形小变形Pxv yx曲线称为挠曲线，曲线称为挠曲线， v =f (x) 挠曲线方程。挠曲线方程。 4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例平面梁的基本变量平面梁的基本变量 平衡方程平衡方程 由由

29、x方向的合力等效，有方向的合力等效，有 其中其中 是以梁的中性层为起点的是以梁的中性层为起点的y坐标，坐标，M为截面为截面上的弯矩。上的弯矩。 然后由然后由y方向的合力平衡方向的合力平衡其中其中Q为截面上的剪力，再由弯矩平衡为截面上的剪力，再由弯矩平衡则则位移位移: (中性层的挠度中性层的挠度)应力：应力： (采用采用 ，其它应力分量很小，不考虑，其它应力分量很小，不考虑)，该变量对，该变量对 应于梁截面上的弯矩应于梁截面上的弯矩M应变：应变： (采用采用 ，沿高度方向满足直法线假定，沿高度方向满足直法线假定)0,(yxvxx0 xdAyMAxy0)(, 0dxxpdQy有0, 00QdxdM

30、M有dxdMQ 4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例几何方程几何方程 考虑梁的纯弯变形，如图考虑梁的纯弯变形，如图4-11所示。由变形后的所示。由变形后的几何关系，可得到位于几何关系，可得到位于 处纤维层的应变处纤维层的应变(即相对伸即相对伸长量长量)为为 其中其中R为曲率半径，而曲率为曲率半径，而曲率k与曲率半径与曲率半径R的关系为的关系为 曲率曲率k的计算公式为的计算公式为 这里就图这里就图4-11所示的情形，应取为所示的情形，应取为 则则yRydRdRdyRyx)()(RRdddsdk1)()(1 ()(232xvxvxvk 22dxvdk 22)

31、,(dxvdyyxx4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例物理方程物理方程 利用虎克定律利用虎克定律 并对以上方程进行整理并对以上方程进行整理, 有描述平面梁弯曲问题的基本方程有描述平面梁弯曲问题的基本方程 其中I为梁截面的惯性矩xxE)(0)(44方向平衡yxpdxvdEI)()(22方向平衡xdxvdEIdAyyvEdAyxMAAx)()(22物理方程dxvdyExx)()(22几何方程dxvdyxx4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例边界条件边界条件 图图4-9所示简支梁的边界为梁的两端，由于在建立平衡方程时已

32、考虑所示简支梁的边界为梁的两端，由于在建立平衡方程时已考虑了分布外载了分布外载P(x)，因此不能再作为力的边界条件。，因此不能再作为力的边界条件。 两端的位移边界：两端的位移边界： 两端的力两端的力(弯矩弯矩)边界：边界： 弯矩以挠度的二阶导数来表示弯矩以挠度的二阶导数来表示:简支梁的微分方程解简支梁的微分方程解 若用基于若用基于dxdy微体所建立的原始方程（即原平面应力问题中的三大类微体所建立的原始方程（即原平面应力问题中的三大类方程）进行方程）进行直接求解，不仅过于繁琐，而且不易求解直接求解，不仅过于繁琐，而且不易求解，若用，若用基于以上基于以上“特征建模特征建模” 简化方法所得到的基本方

33、程进行直接求解则比较简单简化方法所得到的基本方程进行直接求解则比较简单，对，对如图如图4-9所示的均匀分布外载的情况，其方程为：所示的均匀分布外载的情况，其方程为： 0|, 0|: )(0lxxvvuBC0|, 0|: )(0lxxMMpBC0|, 0|: )(0lxxvvuBC 4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例这是一个常微分方程，其解的形式为这是一个常微分方程，其解的形式为 其中其中 为待定系数，可由四个边界条件求出，最后有结果为待定系数，可由四个边界条件求出，最后有结果 则位于中点处的挠度为则位于中点处的挠度为 0044pdxvdEI0|, 0|

34、: )(0lxxvvuBC0|, 0|: )(0lxxvvuBC 01223340)24(1)(cxcxcxcxpEIxv30.cc)2)(24(1)(3340 xllxxpEIxv40)24(1013020833. 0)21(lpEIlxv4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例计算平面梁弯曲问题有关能量方面的物理量如下计算平面梁弯曲问题有关能量方面的物理量如下: 应变能应变能 外力功外力功 势能势能 简支梁的虚功原理解简支梁的虚功原理解 同样以如图同样以如图4-9所示的简支梁为例，假设有一个只满足位移边界条件所示的简支梁为例，假设有一个只满足位移边界条件

35、BC(u)的位移场的位移场 ：虚位移场为虚位移场为 该简支梁的虚应变能为该简支梁的虚应变能为 其中其中A为梁的横截面，对于梁的弯曲问题，几何方程为为梁的横截面，对于梁的弯曲问题，几何方程为dxdxvdEIdAdxdxvdyEdxvdyEdUlxx2222222)(21)(2121dxxvxpWl)().(llzdxxvxpdxdxvdEIWU)()()(21222lxcxvsin)(1lxcxvsin)(1dAdxEdUxxlAxx022)(dxvdyxx4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例该简支梁的外力虚功为该简支梁的外力虚功为 由虚功原理由虚功原理(

36、4-12)，即，即W=U，则，则 化简化简 11412120222202)(2sin)(sin)()( )(cclEIldxclxllxclEIdxdxvddxvddAyEUllA/ )2()(210114cplcclEIl/ )2(sin1001000cpldxlxcpdxvpWll05414pEIlclxpEIlxvsin4)(0544.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例简支梁的最小势能原理解简支梁的最小势能原理解 仍以如图仍以如图4-9所示的平面简支梁的弯曲问题为例，为提高计算精度，可所示的平面简支梁的弯曲问题为例，为提高计算精度，可以选取多项函数的

37、组合，这里取满足位移边界条件以选取多项函数的组合，这里取满足位移边界条件BC(u)的许可位移场：的许可位移场：计算应变能计算应变能U为为 lxclxcxv3sinsin)(212)3(2)(2)3sin()sin()3(2)3(sin)3()(sin)(21)(2121422421042124222421222llcllcEIdxlxlxlcclxlclxlcEIdxdxvdEIdUllxx4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例相应的外力功相应的外力功W为为 则总势能为则总势能为=U-W，为使取极小值，则有，为使取极小值，则有 则则 3223sinsin2

38、100210lclcpdxlxclxcpWl022)(220411lpllcEIc0322)3(220422lpllcEIclxpEIllxpEIlxv3sin2434sin4)(054054解出解出的具体表达后，有和)(21xvcc4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例 可以看出，该方法得到的可以看出，该方法得到的第一项与前面虚功原理求解出来的结果相第一项与前面虚功原理求解出来的结果相同同，与精确解相比，与精确解相比，该结果比前面由虚功原理得到的结果更为精确该结果比前面由虚功原理得到的结果更为精确，这，这时因为选取两项函数作为试函数，这也是提高计算精度的

39、重要途径。以时因为选取两项函数作为试函数，这也是提高计算精度的重要途径。以上求解过程所用的上求解过程所用的试函数为许可基底函数的线性组合试函数为许可基底函数的线性组合，因此，上述求解，因此，上述求解方法也是方法也是瑞利瑞利-里兹方法里兹方法。 以上的求解，都是基于试函数的能量方法以上的求解，都是基于试函数的能量方法(泛函极值法泛函极值法)，基本要点，基本要点是不需求解原微分方程，但需要假设一个满足位移边界条件是不需求解原微分方程，但需要假设一个满足位移边界条件BC(u)的许的许可位移场。因此，如何寻找或构建满足所需要求的许可位移场是一个关可位移场。因此，如何寻找或构建满足所需要求的许可位移场是

40、一个关键，并且，还期望这种构建许可位移场的方法还应具有标准化和规范性。键，并且，还期望这种构建许可位移场的方法还应具有标准化和规范性。下面的重点将讨论通过基于下面的重点将讨论通过基于“单元单元”的位移函数的构建就可以满足这些的位移函数的构建就可以满足这些要求要求。 4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例局部坐标系中的平面梁单元局部坐标系中的平面梁单元 图图4-12所示为一局部坐标系中的纯弯梁单元，其长度为所示为一局部坐标系中的纯弯梁单元，其长度为l，弹性模量为，弹性模量为E，横截面的惯性矩为，横截面的惯性矩为Iz。 单元的几何及节点描述单元的几何及节点描述

41、 设有两个端节点，节点位移列阵：设有两个端节点，节点位移列阵：节点力列阵：节点力列阵：其其 中分别为各节点的挠度和转角中分别为各节点的挠度和转角单元位移场的表达单元位移场的表达 由于有由于有4个位移节点条件，可假设纯弯梁单元的位移场挠度为具有四个位移节点条件，可假设纯弯梁单元的位移场挠度为具有四个待定系数的函数模式，即个待定系数的函数模式，即 ：Tevvq2211TvveMPMPP22112211vv332210)(xaxaxaaxv4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例由该单元的节点位移条件由该单元的节点位移条件 可求出式可求出式4个待定系数，即个待定系

42、数，即 重写位移函数，有重写位移函数，有 其中其中 叫做单元的叫做单元的形状函数矩阵形状函数矩阵，即，即 单元应变场的表达单元应变场的表达 由纯弯梁的几何方程，有梁的应变表达式由纯弯梁的几何方程，有梁的应变表达式 2211)(,)()0(,)0(lxvvlxvxvvxv)22(1),323(1,2211342211231110lvlvlalvlvlaavaeqNlvlvxv)()()23()2()231 ()(223232132132)(,Nlx)()23()2()231 ()(23323232llN4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例其中其中 是以中性

43、层为起点的是以中性层为起点的y方向的坐标，方向的坐标， 叫做单元的几何矩阵：叫做单元的几何矩阵： 其中其中 单元应力场的表达单元应力场的表达 由梁的物理方程由梁的物理方程 其中其中E为弹性模量，为弹性模量，S(x)叫做单元的应力矩阵。叫做单元的应力矩阵。 eexxqyxSqyxBEyxEyx),(),(),(),(y)(4321BBBByB)(B)26(1)612(1)46(1),612(1423221lBlBlBlBeexqBqllllydxvdyyx)()26(1)612(1)46(1)612(1(),(22224.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例单

44、元势能的表达单元势能的表达 该单元的势能为该单元的势能为 其中应变能其中应变能 刚度矩阵，具体地有刚度矩阵，具体地有 4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例外力功为外力功为 其中其中 单元的刚度方程单元的刚度方程 4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例一般平面梁单元的描述一般平面梁单元的描述 为推导局部坐标系中的一般平面梁单元，在图为推导局部坐标系中的一般平面梁单元，在图4-13所示的纯弯梁的基础所示的纯弯梁的基础上叠加进轴向位移上叠加进轴向位移(由于为线弹性问题，满足叠加原理由于为线弹性问题，满足叠加原理)，这时的节

45、点位移自，这时的节点位移自由度由度(DOF)共有共有6个，见图个，见图4-13。 图图4-13所示平面梁单元的节点位移列阵所示平面梁单元的节点位移列阵和节点力列阵和节点力列阵 ：相应的刚度方程：相应的刚度方程： 将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组合，可得到刚度矩阵：将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组合，可得到刚度矩阵：4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例受均布载荷平面梁单元的等效节点载荷受均布载荷平面梁单元的等效节点载荷 (a) 几种受均布载荷作用的梁构件几种受均布载荷作用的梁构件 (b) 节点等效载荷节点等效载荷 4.3 梁单元有限元分

46、析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例图图4-15 受均布载荷作用的直接静力等效的受均布载荷作用的直接静力等效的节点载荷节点载荷(每个节点分一半每个节点分一半) 对于对于(a)所示的几种受均布载荷的情况，若需要采用几个或一个梁单元，所示的几种受均布载荷的情况，若需要采用几个或一个梁单元，均可以建立如图均可以建立如图(b)所示的单元。所示的单元。其节点位移列阵为其节点位移列阵为节点力列阵为节点力列阵为单元的挠度位移单元的挠度位移场场其中其中计算该单元的外力功为计算该单元的外力功为W为为 4.3 梁单元有限元分析的标准化标准与算例梁单元有限元分析的标准化标准与算例将形状函数矩阵代入上式，可计算出节点力将形状函数矩阵代入上式，可计算出节点力讨论讨论1：若凭一种直觉，直接按照静力等效的方式来进行计算，即，每个：若凭一种直觉，直接按照静力等效的方式来进行计算，即，每个节点各分一半进行静力等效，见图节点各分一半进行静力等效，见图4-15，则计算出