2.1几种类型函数的求导方法ppt课件

1、问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.012 yx;12 xy02 yxexy? y定义定义: :显显函函数数存存在在函函数数关关系系确定确定通过方程通过方程0),( yxF )(xyy的函数的函数隐函数。隐函数。称为称为( )yf x 的形式称为显函数。的形式称为显函数。例例1 1.,)(00 xyxyyxyyeexy的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程解解,求求导导方方程程两两边边对对 xyxy 解得解得,yxexyey ,

2、0 x由原方程知由原方程知000 yxyxxexyey. 1 的函数）的函数）是是（注意：（注意：xyxe ye y 0 , 0 y例例2 2.)(,lnarctan22xyyxxy 求求设设解解求求导导得得方方程程两两边边对对x21 xy2x22yx 222yx yyx 22yxy yxy yyx .yxyxy 22yxyxy 22yxyyx 即即例例3 3.)(,0 xyxyey 求求设设解解,求求导导方方程程两两边边对对 x的函数）的函数）是是（注意：（注意：xy0 yxyyey,xeyyy ,求求导导再再对对上上式式两两边边关关于于xyeyeyy 2)(y 0 yxy02)()(2 y

3、yeyxeyy即即xeyeyyyy 2)(2.)1()22(322 yxyyy观察函数观察函数,)4()3(1)1(23 xxxxy方法方法: : 先取对数先取对数, 然后再求导然后再求导 -对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :式式，多多个个函函数数相相乘乘相相除除的的形形.sin xxy 问题问题: : 如何求上述函数的导数如何求上述函数的导数 ? .)()(的的情情形形或或幂幂指指函函数数xvxuy 解解 先取对数，先取对数，4ln3ln21ln311lnln xxxxy求导，求导，上式两边关于上式两边关于 x的函数）的函数）是是（注意：（注意：xyy111 x)1(31x 4132

4、 xx)4()3(1)1(23 xxxxy4132)1(3111 xxxxy 例例4 4.,y 求求设设)4()3(1)1(23 xxxxy例例5 5.)0)()()(的的导导数数求求幂幂指指函函数数 xuxuyxv)(ln)(lnxuxvy 解解 两边先取对数，两边先取对数，求求导导，上上式式两两边边关关于于 x的函数）的函数）是是（注意：（注意：xyy1y )(ln)(xuxv )()(1)(xuxuxv )()()()(ln)(xuxuxvxuxvyy )()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxuyxv 即即uvuvuuuvvv 1ln)(亦亦即即),(求求导导对对看看常常数

5、数把把vu),(求求导导对对看看常常数数把把uv例例6 6解解.),0(sinyxxyx 求求设设两边取对数，两边取对数，xxylnsinln 求求导导，上上式式两两边边关关于于xyy 1的函数）的函数）是是（注意：（注意：xyxx lncos xx1sin )sinln(cosxxxxyy . )sinln(cossinxxxxxx 求求导导法法求求导导：也也可可直直接接根根据据复复合合函函数数xxysin xxesinln ,lnsinxxe )0( xxxelnsin )sinln(coslnsinxxxxexx . )sinln(cossinxxxxxx )(sin xxyx)(lns

6、in xxex)lnsin( xxx，参参数数方方程程的的一一般般形形式式是是 )()(tytx , t,0)()()( ttytx 都都可可导导，且且与与设设,)()(1xttx 存存在在反反函函数数又又则则：的的复复合合函函数数是是 xy，)(1xy 由复合函数与反函数的求导法则，有由复合函数与反函数的求导法则，有dxdtdtdy xxt )()(1 )(t .)(t dxdy例例7 7解解ttxydxdy ttcos1sin taatacossin ,12 tdxdy.方方程程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当

7、所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即,)()(二二阶阶可可导导设设 tytx ,)()(ttdxdy 则则)(22dxdydxddxyd dxdt )()()()()(2ttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即 )()(ttdxd )()(ttdtd )(1t 例例8 8解解.sincos33表表示示的的函函数数的的二二阶阶导导数数求求由由方方程程 taytax)sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos(sec32 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 tt

8、xydxdy dxdt tdtdtan )tan(tdxd 相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?.从从中中解解出出所所求求变变化化率率求法：求法：,)()(都都是是可可导导函函数数及及设设tyytxx ,)(xfyyx 之之间间存存在在某某种种关关系系与与而而变变量量,)(dtdxxfdtdy 则则.化化率率称称为为这这样样两两个个相相互互依依赖赖的的变变相相关关变变化化率率:,)(求求导导得得再再两两边边关关于于先先建建立立关关系系txfy dtdxxfdtdy)( 例例9 9解解?,500./140,500多多少少员员视视线线的的仰仰角角增增加加率率是是观观察察米米时时当当气气球球高高度度为为秒秒米米其其速速率率为为升升米米处处离离地地面面铅铅直直上上一一气气球球从从离离开开观观察察员员观观察察员员视视其其高高度度为为秒秒后后设设气气球球上上升升