数字电子技术第二章-逻辑代数

1、2 .逻辑代数逻辑代数2.1 逻辑代数逻辑代数 2.2 逻辑函数的逻辑函数的卡诺图卡诺图化简法化简法 2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式2.1 逻辑代数逻辑代数2.1.3 逻辑函数的变换及代数化简法逻辑函数的变换及代数化简法2.1.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则2.1 逻辑代数逻辑代数逻辑代数于逻辑代数于18541854年问世。年问世。逻辑变量：逻辑变量： 表示逻辑事件的变量，其对立状态分别用逻辑表示逻辑事件的变量，其对立状态分别用逻辑“1” 和和“0”表示。表示。基本逻辑运算：基本逻辑运算： 与、或、非（与非、或非、与或非、异或、同或）与、或、非（与非

2、、或非、与或非、异或、同或）1 1、基本公式基本公式交换律：交换律： A + B = B + AA B = B A结合律：结合律：A + B + C = (A + B) + C A B C = (A B) C 分配律：分配律：A + BC = ( A + B )( A + C )A ( B + C ) = AB + AC A 1 = AA 0 = 0A + 0 = AA + 1 = 10 0、1 1律：律：A A = 0A + A = 1互补律：互补律：2.2.1.11.1逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式重叠律重叠律：A + A = AA A = A反演律：反演律：AB =

3、 A + B A + B = A BAA BAB() ()ABACABCABAAAABA()吸收律吸收律 其它常用恒等式其它常用恒等式 ABACBCAB + ACABACBCDAB + AC2、基本公式的证明基本公式的证明例例 证明证明ABA BABA B，列出等式左、右边表达式的值并进行比较列出等式左、右边表达式的值并进行比较( (真值表证明法真值表证明法) )011 = 001+1=00 01 1110 = 101+0=00 11 0101 = 100+1=01 00 1100 = 110+0=11 10 0A+BA+BA B A BABA B 2.1.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本

4、规则 例如，已知等式 ，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：（1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。BAABCBABACBAC)(（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如：EDCBAY)(EDCBAYEDCBAYEDCBAY（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”

5、换成“1”，“1”换成“0”，而，则可得到的一个新的函数表达式Y，Y称为Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：EDCBAY对偶规则的意义在于对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。ACABCBA)()(CABABCAABABAABABA)()()(EDCBAYEDCBAYEDCBAY“或或-与与”表达式表达式“与非与非-与非与非”表达式表达式 “与与-或或-非非”表达式表达式“或非或非-或非

6、或非”表达式表达式“与与-或或”表达式表达式 2.1.3 逻辑函数的代数法化简逻辑函数的代数法化简 DCACL DC A C = )DC)(CA( )C+D()CA( DCCA 1 1、逻辑函数的最简与、逻辑函数的最简与- -或表达式或表达式在若干个逻辑关系相同的与在若干个逻辑关系相同的与- -或表达式中，将其中或表达式中，将其中包含的与项数包含的与项数最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与- -或表达式或表达式。2、逻辑函数的化简方法、逻辑函数的化简方法 化简的主要方法：化简的主要方法：公式法（代数法）公式法（代数法）图解法（卡诺图法）图

7、解法（卡诺图法）ABCBCABCAABC)(CBBCAA)(BCCBCBBC)(逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法1 1、并项法、并项法逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。利用公式1，将两项合并为一项，并消去一个变量。CBBCAABCY1CABAABCY2运用摩根定律运用分配律运用分配律)(CBAABC2 2、吸收法、吸收法BAFEBCDABAY)(1BABCDBADABADBCDABADCDBAY)()(2如果乘积项是如果乘积项是另外一个乘积另外一个乘积项的因子，则项的因子，则这另外一个乘这另外一个乘积项是多余的。积项是多余的。运用摩根定律（）利用

8、公式，消去多余的项。（）利用公式+，消去多余的变量。CABCABABCBAAB)(DCBADBACBADBACBADBACCBA)()(如果一个乘积如果一个乘积项的反是另一项的反是另一个乘积项的因个乘积项的因子，则这个因子，则这个因子是多余的。子是多余的。CBCAABYDCBDCACBAY3 3、消去冗余项法、消去冗余项法利用冗余律，将冗余项消去。DCADEACBAY1)(2FGDEACCBABYDCACBAADEDCACBA)(BCACABBCAABCCBAABCCABABC)()()(4 4、配项法、配项法（）利用公式（），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。BACBCBBA

9、Y（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。BCACBACABABCY)()(CCBACBAACBBACBABCACBACBACBBA)()1 ()1 (BBCAACBCBACACBBA)CC(DBADBA)DD(ABL DBADBA=AB )(DDBAAB BAAB BAAB BAAB CDBADCBAABDDBADABL 例例2.1.8 已知逻辑函数表达式为已知逻辑函数表达式为，要求：（要求：（1）最简的与）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；（2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。解：解：) B A L

10、AB BA & & & & & CBACBA CBACBA CBACBA B L CBA 1 1 1 A C CBA 1 1 1 CBACBAL 例例2.1.9 试对逻辑函数表达式试对逻辑函数表达式进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。解：解： CBACBAL 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法2.2.2 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式2.2.1 最小项的定义及性质最小项的定义及性质2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数1.逻辑代数与普通代数的公式易混

11、淆，化简过程要求对所逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所有公式熟练掌握；有公式熟练掌握；2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验和灵活性；和灵活性；3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。代数法化简在使用中遇到的困难：代数法化简在使用中遇到的困难：n个变量个变量X1, X2, , Xn的

12、最小项是的最小项是n个因子的乘积，个因子的乘积，每个变量每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次现一次。一般。一般n个变量的最小项应有个变量的最小项应有2n个。个。 BAACBA、 、A(B+C)等则不是最小项。等则不是最小项。例如，例如，A、B、C三个逻辑变量的最小项有（三个逻辑变量的最小项有（23）8个，即个，即 CBACBACBABCACBACBACABABC、1. 最小项的意义最小项的意义2.2 .1 最小项的定义及其性质最小项的定义及其性质对于变量的任一组取值，全体最小项之和为对于变量的任一组取值，全体最小项之

13、和为1 1。对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1 1； 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0 0；CBABCACBACBACBACABABCCBAABC0 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 01 10 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 01 11 10 00 00 01 10 00 00 00 01

14、 10 01 10 00 00 00 00 01 10 00 01 11 10 00 00 00 00 00 00 01 10 01 11 11 10 00 00 00 00 00 00 01 1三个变量的所有最小项的真值表三个变量的所有最小项的真值表 2、最小项的性质最小项的性质 3、最小项的编号最小项的编号 三个变量的所有最小项的真值表三个变量的所有最小项的真值表 m0m1m2m3m4m5m6m7最小项的表示：通常用最小项的表示：通常用mi表示最小项，表示最小项，m 表示最小项表示最小项, ,下标下标i为为最小项号。最小项号。 ABC0 00 00 01 10 00 00 00 00 00

15、 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 01 10 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 01 11 10 00 00 01 10 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 00 01 10 00 01 11 10 00 00 00 00 00 00 01 10 01 11 11 10 00 00 00 00 00 00 01 1CBABCACBACBACBACABABCCBA 2.2.2 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 ( , ,)()()

16、L A B CAB CCA BB Cl为为“与或与或”逻辑表达式；逻辑表达式； l 在在“与或与或”式中的每个乘积项都是式中的每个乘积项都是最小项最小项。例例1 1 将将( , ,)L A B CABAC化成最小项表达式化成最小项表达式ABCABCABCABC= m7m6m3m5 (7, 6 3 5)m, ,()L ABCABCABCABCABC逻辑函数的最小项表达式：逻辑函数的最小项表达式：( , ,)()L A B CABABC AB 例例2 将将 化成最小项表达式化成最小项表达式 a.去掉非号去掉非号()()L A,B,CABABCAB()AB AB CAB()()AB AB CABb.

17、去括号去括号ABCABCAB()ABCABCAB CCABCABCABCABC3576(3,5,6,7)mmmmm2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数1、卡诺图的引出卡诺图的引出卡诺图：将卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样, ,所得到的图形叫所得到的图形叫n变量的卡诺图。变量的卡诺图。逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相

18、邻。量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。如最小项如最小项m6=ABC、与与m7 =ABC 在逻辑上相在逻辑上相邻邻m7m6AB10100100011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m110001111000011110ABCD三变量卡诺图三变量卡诺图四变量卡诺图四变量卡诺图BABABAAB两变量卡诺图两变量卡诺图m0m1m2m3ACCCBABCACBABCACBACBACBAABCCAB m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7ADBB2、卡诺图的特点卡诺图的特点:各小方格对应于各变量不同的组合，而且各小方格

19、对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。 3. 已知逻辑函数画卡诺图已知逻辑函数画卡诺图当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时也可用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。例例1：画出逻辑函数：画出逻辑函数L(A, B, C, D)= m(0, 1, 2, 3, 4, 8, 10, 11, 14, 15)的

20、卡诺图的卡诺图 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 10 11 01 00 CD 00 01 11 10 AB L ( ,)()()()L A B C DABCD ABCD ABCD()()ABCDABCDLABCDABCDABCDABCDABCD例例2 画出下式的卡诺图画出下式的卡诺图 10 11 01 00 CD 00 01 11 10 AB L 0 00 00 00 00 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解解1. 1. 将逻辑函数化为最小项表达式将逻辑函数化为最小项表达式2. 2. 填写卡诺图填写卡诺图 ),(m15131060 2.2.4 用

21、卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 1、化简的依据、化简的依据 逻辑相邻几何相邻逻辑相邻几何相邻, 逻辑相邻项可化逻辑相邻项可化简简DABDADBA DBACDBADCBA BDABCDADCBA m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 ADABDDBADADDA 2、化简的步骤、化简的步骤用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：(4) 将所有包围圈对应的乘积项相加。将所有包围圈对应的乘积项相加。(1) 将逻辑函数写成最小项表达式将逻辑函数

22、写成最小项表达式(2) 按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填其对应方格填1，其余方格填，其余方格填0。(3) 合并最小项，即将相邻的合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组方格圈成一组(包围圈包围圈)，每一组含每一组含2n个方格个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积，对应每个包围圈写成一个新的乘积项。项。画包围圈时应遵循的原则：画包围圈时应遵循的原则： （1 1）包围圈内的方格数一定是）包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形。个，且包围圈必须呈矩形。（2）循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。循环相邻特性包括

23、上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。（3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。（4） 一个包围圈的方格数要尽可能多一个包围圈的方格数要尽可能多, ,包围圈数目要包围圈数目要尽尽可能少。可能少。 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 DBBDL BD 例例 :用卡诺图法化简下列逻辑函数用卡诺图法化简下列逻辑函数（2）画包围圈合并最小项，得最简与）画包围圈合并最小项，得最简与-或表达式或表达式 解：解：(1) 由由L 画出卡诺图画出卡诺图 m)D,C,B,A(L(0，2，5，7，8，10，13，15) L C 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1