高等数学-第七版-课件-12-8 一般周期函数的傅里叶级数

1、第八讲 一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数一、以2l为周期的函数的傅里叶展开二、傅里叶级数的复数形式一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数一、以2l为周期的函数的傅里叶展开二、傅里叶级数的复数形式周期为周期为 2l 函数函数 f (x)周期为周期为 2 函数函数 F(z)变量代换变量代换将将F(z) 作傅氏展开作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式的傅氏展开式研究思路研究思路具体作法具体作法( ):f xlxl 11xl xl 令令xzl lzx ( )( )lzf xfF z z 01( )cossin2nnnaF zanz bnz d1( )c

2、os(0,1,2)naF znz z n d1( )sin(1,2)nbF znz z n xzl lzx ( )( )lzf xfF z d1( )cos(0,1,2)naF znz z n d1( )sin(1,2)nbF znz z n d1( )cos(0,1,2)naF znz z n ( )f xddzxl cosn xlzxl zxl 1lnlal dx(0,1,2)n 同理可得同理可得d1( )sin(1,2)lnln xbf xx nll 设周期为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f (x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为则它的傅里叶展开式为 10si

3、ncos2)(nnnlxnblxnaaxf(在在 f (x) 的连续点处的连续点处)naxlxnxflbllndsin)(1 其中其中l1xlxnxflldcos)( ),2, 1,0(n),2, 1(n定理定理1)(nnbxflxnsin2)(0axf1nnalxncos).()(21xfxf在在 f (x) 的间断点的间断点 x 处处, 傅里叶级数收敛于傅里叶级数收敛于:如果如果 f (x) 为奇函数为奇函数, 则在则在f(x)的连续点处的连续点处: l注注d02( )sin(1,2, )lnn xbf xx nll 如果如果 f (x) 为偶函数为偶函数, 则在则在f(x)的连续点处的连

4、续点处: d02( )cos(0,1,2)lnn xaf xx nll u例例1设设 f (x) 是周期为是周期为4的周期函数的周期函数,它在它在2,-2)上的表达式为上的表达式为:将将 f (x)展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数.u例例2, 022( )(),22pxlxM xp lxlxl 将将M (x)分别展开成正弦级数和余弦级数分别展开成正弦级数和余弦级数. 2002, 0)(xhxxf(常数常数)0 h一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数一、以2l为周期的函数的傅里叶展开二、傅里叶级数的复数形式一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数一、以2l为周期的函数的傅里叶

5、展开二、傅里叶级数的复数形式周期为周期为2l的傅里叶级数的傅里叶级数 10sincos2nnnlxnblxnaaittitititit2eesin,2eecos 欧拉公式欧拉公式: 10)ee (2)ee (22nlxnilxninlxnilxninibaa 10e2e22nlxninnlxninnibaibaa0cncnc nlxnince 10sincos2nnnlxnblxnaa nlxnince2nnnibac llllxlxnxflixlxnxfldsin)(dcos)(121 llxlxnilxnxfldsincos)(21lxnie 2nnnibac ), 3 , 2 , 1( n lllxnixxflde )(21), 3 , 2 , 1( n)3 , 2 , 1(de )(21 nxxflclllxninxOy 10sincos2nnnlxnblxnaa nlxnince)3 , 2 , 1(de )(21 nxxflclllxnin傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式u例例3T把宽为把宽为, 高为高为, h周期为周期为的矩形波展开成复数形式的矩形波