第二章一元函数微分学

1、2.1 导数的概念导数的概念2.2 导数的运算导数的运算2.3 微分微分2.4 导数的应用导数的应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学 第二章 微分学发展史2.1.1 引例引例2.1.2 导数的定义导数的定义2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义2.1.4 函数的连续性与可导性的关系函数的连续性与可导性的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.1 2.1 导数的概念导数的概念 第二章 2.1.1 引例引例1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度描述物体下落位置的函数为212( )s tgt改变量之比的极限称为导数，路程对时间的导数就是速度。路

2、程对时间的导数就是速度。0( )s t有增量00()( ),ss tts t 则物体在 内的平均速度为t00()()s tts tsvtt 2200011()( )122(2)2g ttg tgttt 即可得物体在 时刻的瞬时速度0t令0,t 0(),v t即00000000()()1()limlimlim(2)2ttts tts tsv tgttgttt 给 以增量 , ( ) ,0tt0t tt 2.1.2 导数的定义导数的定义;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(

3、lim000定义定义1 . 设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:则称函数若的某邻域内有定义 , 在点0 x处可导可导, 在点0 x的导数导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 否则，就说)(xf在点0 x处不可导或说可导或说 在点0 x的导数不存在导数不存在.由导数定义可知，导数是函数 )(xfyx对自变量的变化率.导数的等价定义：右可导与左可导： lim)(000 xxxxxf)()(0 xfxf0 xx lim)(00 xxxf)()(0 xfxf0 xx lim)(0

4、00 xxxxxf)()(0 xfxf0 xx 若函数)(xf在开区间 内处处可导,则称),(ba它在 上可导.),(ba若函数)(xf)(af)(bf与则称)(xf在开区间 内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba且都存在，对应于),(ba内的每一点 xfx,都有一个确定的导数值，于是x和其对应点的导数值之间便构成了一个新的函数，称此函数为)(xf的,y, )(xf ,ddxy.d)(dxxf记为导函数，简称导数，求导的步骤)()(xfxxfyxxfxxfxy)()(xxylim02.算比值算比值3.取极限取极限1.求增量求增量对于),(ba内的每一点x有)(xf xyx0limxxfxx

5、fx)()(lim00)()(0 xxxfxf而 xfy 在0 x处的导数即为)(xf 在0 x处的函数值，即例1.求函数2xy 在2, 1xx处的导数解：xxxxxxy222xxxxxxxy2)2( xxxxxfxx22limylim00所以， 2211xxf 4222xxf例2.求函数bkxy为常数)解：xkbkxbxxky)(kxxkxykkxxx00limylim所以，ky bkk, 0( 的导数.例3.0)(xxxf在xxxxxfxfxxx000lim0lim)0()0(lim处的导数.求函数解：1lim100 xxxx，有时，当1lim100 xxxx，有时，当不存在所以，xfxf

6、x)0()0(lim0处不可导在即，函数0)(xxxf导数的几何意义导数的几何意义xo)(xfy CNR0 xM0 xx导数是曲线上过点x0处切线的斜率0 x 当时,亦即N无限靠近M时,如果0limxyx 存在,那么割线就将趋向于曲线上过点00(,)M xy的曲线的切线,即有0 x 时,于是0()fxlimtan0limxyx tan1.有切线可导切线存在( )fx为无穷大2.切线不存在不可导注意:x曲线)(:xfyC割线 M N 的斜率00()()f xxf x tanyxtanyxtanyxtanyxtanyx例例4 求过点求过点(0，-1)且与且与相切的直线方程相切的直线方程.2xy 解

7、：由例1知xy2设切点为),(00yx则该直线的斜率为,20 x又知200 xy 从而有,0) 1(20200 xxx解得, 1, 10201xx从而知过点(0，-1)可作两条直线与可作两条直线与2xy 相切，相切，其斜率分别为, 2, 221kk二直线方程分别为.21,21xyxy处可导在点xxf)(2.1.4 函数的连续性与可导性的关系函数的连续性与可导性的关系处连续在点xxf)(注意注意: 函数在点 x 连续不一定可导连续不一定可导.反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 处连续 , 但不可导.xyxfxxfyx000lim,)(则处可导在点函数00limlim)(limlim000

8、00 xfxxyxxyyxxxx2.2.1 几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数2.2.2 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 2.2.3 复合函数和隐函数求导法则复合函数和隐函数求导法则2.2.4 对数求导法对数求导法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2 2.2 导数的运算导数的运算 第二章 2.2.5 反函数求导法反函数求导法 2.2.6 高阶导数高阶导数 2.22.2导数的运算导数的运算 2.2.12.2.1几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数 二、幂函数的导数二、幂函数的导数一、常数的导数一、常数的导数常数的导数是常数的导数是0 0三、正弦函数与余弦函数的导数

9、三、正弦函数与余弦函数的导数1)(nnnxxxxxxsin)(coscos)(sin，四、对数函数的导数四、对数函数的导数),0, 1, 0(logxaaxyaxxaxy1ln,ln12.2.2 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 法则法则具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面对（3）加以证明,并同时给出相应的推论和例题 .)0)(xv机

10、动 目录 上页 下页 返回 结束 )()( lim0 xvhxvh(3)2vvuvuvu证证: 设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论1:uCCu( C为常数 )推论推论2:wvuwvuwvuwvu 例5. 已知.,lnsin2yxxxxy求解：)ln()sin()lnsin(22xxxxxxxxy)(lnln)()(sinsin)(22xxxxxxxx

11、xxxxxxx1ln2cossin2xxxxxxln2cossin例6. 已知.),0(1yxxy求解： 22111)1(xxxxxy例7. .,),(csc),2(seczykxxzkxxy求 xxxxxy2coscos1cos1)cos1(sec解：xx sectanxxxcsccot)(csc同理例8. .,),cot,tanyxxy求xxxxxxxxy2coscossincossin)cossin(tan解：xxxx2222seccossincosxx2csc)(cot同理2.2.3复合函数和隐函数求导法则复合函数和隐函数求导法则一、复合函数求导法在点 x 处也可导,且定理1.)(xu

12、)( xdxdu)(ufy )(xu)( ufdudy)(xfydxdududydxdy)( )( )( xufxf设函数 在 处有导数 ,函数 在 的对应点 处可导, , 则或或 xx复合函数上述复合函数求导法则可推广到多层复合函数上述复合函数求导法则可推广到多层复合函数)(xvx)(vgu x)(xv)(ufy v)(vgu )(xgfyxdxdvdvdududydxdy在 处可导, 在 的对应点 处可导处可导,而而 在 的对应点 处也可导,则 在 处也可导,且42)1 (xy.dxdyxy3sin.dxdy例9. 已知,求例10 .已知,求解：令)1 (4,1,2324xudxdudud

13、ydxdyxuuy3232)1 (82)1 (4xxxx解：令xudxdududydxdyxuuy3cos33cos,3,sin,2tan11xy.dxdy例11 .已知求解：令 2222tan12sec22tan12tan112tan11xxxxxdxdy2coslnxey .dxdy)(uf.),(tandxdyxfy求例12. 已知,求例13 .设为可导函数,且解：cos1sincoscos122222xxxxxeeeeey解：设注意：注意：复合函数的求导关键是搞清符合关系，从外层复合函数的求导关键是搞清符合关系，从外层到里层一层一层地求导，不要漏层到里层一层一层地求导，不要漏层 。22

14、222tan2cossin2xxxxxeexxeeexufxufdxdududydxdyxu2sec)()(tan)(,tan0),(yxF, 0, 122xyexeyxy与x的函数关系隐含在 中，这种形式的例如如果我们把y看成中间变量，则可运用复合函数求导函数称为隐函数。等等。法则求出y对x的导数。例14. y是由 1cossinxy所确定的关于x的函数，求y解：设1cos)(sin),(xxfxfy则两边同时对x求导，则0sin)(cos)(xxfxf即0,sincosxyy最后得.cossinyxy 二、隐函数求导法xyeyyxycos21cos.32xy例15 .求函数y是由 所确定的

15、函数的导数 所确定的x 的函数，例16. 已知 y是由解：等式两边同时对x求导，得解得试求解：方程两边同时对x求导，得,sin21sinyyxy从而,sin211sinyxy又由函数方程知,32时x, 0y所以.230sin21132sin32xy.0 xyy 和,yxyyey,xeyyy当0 x时，, 2y故.22002exeyyxyyx2.2.4对数求导法对数求导法 对数求导法适用于幂指数函数或连乘函数(1)(2)(1)(3)(4)xxyxx(2)(yx(3)(0,1)xyaaa(4)xyx(5)xxyx(6)(1)(2)xyxx例17 .已知下列各函数，分别求其导数y为任意实数为任意实数

16、) 解: (1)两边同时取对数，得1lnln(1)ln(2)ln(3)ln(4)2yxxxx两边同时对x求导，得11111121234yyxxxx 因而111121234yyxxxx 1(1)(2)11112(3)(4)1234xxxxxxxx (2)两边同时取对数，得lnlnyx两边同时对x求导，得11yyx 因而111yyxxxx 即对任意实数，有1()xx (3)两边同时取对数，得lnlnyxa两边同时对x求导，得1lnyay 所以lnlnxyyaaa 即lnxxaaa特别地，当xxeeae时，(4)(ln1)xyxx 2(5)(12ln )xyxx x 21111(6)(1)(2)ln

17、(1)ln(2)12xyxxxxxxxx )(yx0y, 00yydydx)(xfy )(0yx001yyxxdydxdxdy2.2.5 反函数求导法反函数求导法在在处可导，且处可导，且则则 在对应点在对应点 处也可导，处也可导，证略证略定理定理2 对于函数对于函数( )yf x它在某个开区间严格单它在某个开区间严格单调、连续，它的反函数调、连续，它的反函数且且.,arccos,arcsinzyxzxy及求例18 .已知 解：内严格单调、连续，且)2,2(sin在yx, 0cosydydx由定理2知在x所对应的区间(-1,1)内,有2211sin11cos11xyydydxdxdy即211)(

18、arcsinxx类似可得.11)(arccos2xx.,cot,arctanzyxarczxy及求例19 .已知 解：内严格单调、连续，且)2,2(tan在yx, 0sec2ydydx22211tan11sec11xyydydxdxdy即211)(arctanxx类似可得.11)cot(2xxarc由定理2知在x所对应的区间 内,(,) 2.2.6 高阶导数高阶导数)( xfy 函数的二阶及二阶以上的导数统称为y 的高阶导数。 如果)( xfy的导数也存在，则称其为的二阶导数，记为.)()(2222dxxfddxydxfy或或或 三阶导数或三阶以上导数可类似定义。.),0()(naxyaey求

19、例20 .已知 解：axaxaxeaaxeeyaxaxaxeaeaeay 2axnneay)(xyey例21 . y是由 所确定的x的函数，求解：两边同时对x求导，得.y ,yxyyey,xeyyy所以对上述等式两边再对x求导，得,)(2yxyyyeyeyy 整理并将 代入得y.) 1()22()()(232232 yxyyyxeyexeyyyyy2.3.1 微分的定义微分的定义2.3.2 微分的几何意义微分的几何意义 2.3.3 微分的计算微分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.3 2.3 微微 分分 第二章 2.3 微微 分分问题提出：x xx x x x 2xxx面积增量为22

20、()Sxxx 22()x xx x的高阶无穷小x正方形边长为2Sx给边长增量 ，xx，面积为2.3.1微分的定义微分的定义)(xfy )()(xfxxfy)( xxAyx)( x0 x定义定义2 . 设函数设函数 在在x 的某个临域内有定义，的某个临域内有定义， 可以表示为可以表示为其中其中 A是不依赖于是不依赖于 的的x 的函数，的函数， 是当是当 时比时比高阶的无穷小，则称函数高阶的无穷小，则称函数 在点在点 x处可微，并称处可微，并称 为函数为函数 在在x 处的微分，记作处的微分，记作如果函数的增量如果函数的增量x)(xfy xA )(xfy xAdy,dy即xxAxy)(如果如果 在点

21、在点 x处可微，在处可微，在 两端同除以两端同除以 ，得，得)(xfy )( xxAyx两边同时求极限得Axf)(即有dxxfxxfdy)()(2.3.22.3.2微分的几何意义微分的几何意义xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydxtan当 很小时,xyyd时，当xy 则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,为称 x记作xdxyxd记机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.3.2微分的计算微分的计算dvduvud )() 1 (udvvduvud )()2(2)()3(vudvvduvud一、微分的四则运算法则二、一阶微

22、分的形式不变性( )( )dyf u g x dx( )yf u( )ug x( )( ),dyf u g xdx ( )yf g xx设函数和可导，即则复合函数在点的微分为( ) ( )f ug x dx( )f u du例22 求2yx在1,2,0.1xxx 且时的微分.解：22dyxdxxx10.12 1 0.10.2;xxdy 20.12 2 0.10.4;xxdy 例23 已知tan,.xyedy求解：tantan2(tan )secxxdyedxexdx2.3.4*微分在误差估计及近似计算中的应用一、函数值的误差估计0,x, xyyy设是x的函数，x的测量值为且测量误差为计算y时将

23、产生误差00.yf xxf x 把xy与分别称为x和y的绝对误差， 而把xx与分别称为x和y的相对误差。当x很小时，有如下近似公式0yfxx 00()()fxyxyf x 利用以上两式可以计算实际应用中常遇到的两类误差估计问题。的误差(1)已知测量x所产生的误差，估计由x所引起的y的误差。(2)根据y所允许的误差，近似地确定测量x时所允许的误差。例24 设已测得一圆的半径r为21.5厘米，且测量的绝对误差不超过0.1厘米，求计算圆面积S时所产生的绝对误差。解：已知0.1r的测量值为021.5r 厘米，绝对误差厘米，因此S的绝对误差为r00( )2SS rrrr 2221.5 0.14.3 ()

24、厘米例25 从一批密度均匀的药丸中，把所有直径等于0.1厘米的胶丸挑出来，如果挑出来的胶丸在半径上允许有3%的相对误差，并且选择的方法以重量为依据，试问在挑选时称量重量的相对误差应不超过多少？解：设胶丸的密度为,半径为r(单位为厘米)，重量为W，则有34W=g3r由于2dW=4,grr因而23dW4=3,4W3g rrrrg r 从而11,33rdWWrWW要使3%,rr只要13%,3WW即可9%.WW因而二、函数值的近似计算当x很小时，由式(2-33)可得000()()()f xxf xfxx上式可用于计算0()f xx0 x在附近的近似值。例26 计算sin44o的近似值。解：设22( )

25、sin ,( )cos ,(),(),4242yf xx fxx ff所以22sin44()()()41804180421802offf例27 求3的近似值。解：设 yf xx则1,2yx 取03.0276,x 有0()3.02761.74,f x011(),2 1.7423.0276fx所以3(3.02760.0276)f(3.0276)(3.0276) ( 0.0276)ff 11.74( 0.0276)2 1.74 1.740.0081.7322.4.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理2.4.2 洛必达法则洛必达法则2.4.3 函数增减性和函数的极值函数增减性和函数的极值机动 目录 上

26、页 下页 返回 结束 2.4 2.4 导数的应用导数的应用 第二章 2.4.4 函数凹凸性及拐点函数凹凸性及拐点2.4.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)(xfy )( )()(fabafbf)(ba定理定理3 如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 a,b上连续，在上连续，在 使得使得 开区间开区间(a,b) 内可导，则在开区间内可导，则在开区间(a,b) 内至少存在一点内至少存在一点拉格朗日简介)(xfy 0)( xf)(xfy )(x)(x)(x)(x推论推论3 如果函数如果函数 在区间（在区间（a,b） 上每一点的上每一点的 ，则函数，则函数 （a,b）上恒等于一个常数。）上恒等于一个

27、常数。与与点点的导数都相等，则的导数都相等，则 与与上仅相差一个常数。上仅相差一个常数。导数都为零，即导数都为零，即在区间在区间推论推论4 如果两个函数如果两个函数在在 （a,b）上每一）上每一在区间在区间 （a,b）1212sinsinxxxx21,xx例例28 证明证明对一切对一切都成立。都成立。证：证： 设设xysin区间区间2121),(xxxx不妨设应用定理则应用定理则),(,)(cossinsin21121212xxxxxxxx,21时当xx 等号成立，因而对于一切等号成立，因而对于一切 命题成立命题成立21,xx.1 , 1,2arccosarcsinxxx例例28 试证试证证：

28、 设xxyarccosarcsin 则0111122xxy由推论3知y在(-1,1)内恒为常数，即cxxarccosarcsin又由于y在-1,1上连续，因而上式在-1,1内成立，令, 0 x即得,2c从而结论成立。2.4.2洛必达法则洛必达法则 洛必达是法国数学洛必达是法国数学家家.1661年生于巴黎；年生于巴黎； 1704年年2月月2日卒于巴黎日卒于巴黎. 洛必达洛必达出生于法国贵族家庭，青年出生于法国贵族家庭，青年时期一度任骑兵军官，因眼时期一度任骑兵军官，因眼睛近视而自行告退，转向从睛近视而自行告退，转向从事学术研究事学术研究. 15岁时解决了帕斯卡所提出的一个摆线岁时解决了帕斯卡所提

29、出的一个摆线难题难题.他是莱布尼茨微积分的忠实信徒，并且他是莱布尼茨微积分的忠实信徒，并且是约伯努利的高徒，法国科学院院士是约伯努利的高徒，法国科学院院士. )()(limxgxf函数之商的极限函数之商的极限导数之商的极限导数之商的极限 转化转化00( 或或 型型)()(limxgxf本节研究本节研究:2.4.2洛必达法则洛必达法则2.4.2洛必达法则洛必达法则2.4.2洛必达法则洛必达法则洛毕达法则可以多次使用直到不再是不洛毕达法则可以多次使用直到不再是不定式时为止定式时为止( )( )( )( )( )( )limlimlim.lim( )( )( )( )nnf xfxfxfxAg xg

30、 xgxgx例题例题30 求求20cos1limxxx 型00 xxx2sinlim0 211coslim210 xx解解:原试原试注意: 不是不定式不能用洛必达法则 !例题例题31求求).0(lim aaxxaaxax解解:1lnlim1 axaxxaaaaxxaaxax lim)1(ln aaa型00例题例题32求求）为自然数，0(limnexxnx型xnxexn1lim.) 1(lim22xnxexnnxnnnxexn!lim0 xnxexlim解解:其他不定式其他不定式:,0 ,00,1型0解决方法解决方法:通分通分转化转化000取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化例题例题

31、33 求求)(),1sin1(lim0型xxx将上试通分后即可化为将上试通分后即可化为 型型xxxxxsinsinlim0 xxxxxcossincos1lim0 xxxxxsincos2sinlim0000)1sin1(lim0 xxx例例34. 求求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx例题例题35求求xxx20lim)0(0型xxxe2ln0limxxxeln20lim1ln20limxxxe2102limxxxee1)(lim20 xxexxx20lim型例题例题36求求xxx)arctan2(lim型）1 (

32、xxx)arctan2(lim)arctan2ln(limxxxe1)arctan2ln(limxxxe221limarctan1limxxxxxe2 e 注意：注意： 在应用洛毕达法则时，如果两个函数在应用洛毕达法则时，如果两个函数之比的极限不存在且不为无穷大，则之比的极限不存在且不为无穷大，则不能应用该法则不能应用该法则xxxtan01lim 求求xxxxyxyxcotlnlntanln,)1(tan 则则令令xxxxyxxx2000csc1limcotlnlimlnlim 1lim, 0sinlim0020 eyxxxx所所以以2.4.3函数增减性和函数的极值函数增减性和函数的极值一、

33、函数单调性的判定法二二、函数的极值及其判定方法一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法若若定理定理 1.设函数设函数)(xf0)( xf则则 在在 I 内单调递增内单调递增)(xf, )0)( xf(递减递减) .证证: 无妨设无妨设,0)(Ixxf任取任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf ),(21xxI0故故. )()(21xfxf这说明这说明 在在 I 内单调递增内单调递增.)(xf在开区间在开区间 I 内可导内可导,证毕证毕 注意：定理注意：定理6只是判断函数增减性的充分条件，只是判断函数增减性的充分条件，而非必要

34、条件而非必要条件例题例题38 试证当试证当xxxarctan0 时时，证：设证：设)()()(,arctan)(,)(xgxfxGxxgxxf )( )( )( xgxfxG 则则2111x 221xx 0)( ), 0( xGx时时，当当上上为为增增函函数数在在因因此此), 0()( xG例题例题38 试证当试证当xxxarctan0 时，证：证：, 0)0(,0 Gx时时当当0)0()(, GxG总总有有所所以以0arctan xx即即xxxarctan0 时时，总总有有因因此此当当证毕证毕例例39. 确定函数确定函数31292)(23xxxxf的单调区间的单调区间.解解:12186)(2

35、xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1 (12xoy12yxo说明说明: 例例40的的单单调调区区间间确确定定,32xy 332xy 不不存存在在0 xy32xy 单调区间的分界点除单调区间的分界点除 外外,也也可是导数不存在的点可是导数不存在的点. 驻点驻点驻点：使导数为零的点叫做驻点驻点：使导数为零的点叫做驻点返回返回二、二、函数的极值及其判定方法函数的极值及其判定方法定义定义3:,),()(内有定义内有定义在在设函数设

36、函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域的一个邻域若存在若存在0 x在其中当在其中当0 xx 时时, )()(0 xfxf(1) 则称则称 为为 的极大点的极大点 ,0 x)(xf称称 为函数的极大值为函数的极大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 则称则称 为为 的极小点的极小点 ,0 x)(xf称称 为函数的极小值为函数的极小值 .)(0 xf极大点与极小点统称为极值点极大点与极小点统称为极值点 .注意注意:41,xx为极大点为极大点52,xx为极小点为极小点3x不是极值点不是极值点1) 函数的极值是函数的局部性质函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如

37、例如 例例391x为极大点为极大点 , 2) 1 (f是极大值是极大值 1)2(f是极小值是极小值 2x为极小点为极小点 , 12xoy123x1x4x2x5xxaboy)(xfy 0 x0)( oxf定理定理7（必要条件）如果函数（必要条件）如果函数 在点在点 可导，且取极值，则可导，且取极值，则 使导数为零的点叫做函数的使导数为零的点叫做函数的驻点，可导函数的极值必定是它的驻点，反之可导函数的极值必定是它的驻点，反之则不一定。则不一定。 判断驻点是否为极值点要判断该点判断驻点是否为极值点要判断该点左右的倒数符号是否发生变化，此外导左右的倒数符号是否发生变化，此外导数不存在的点也可能是极值点

38、。数不存在的点也可能是极值点。证：仅就 取极大值做出证明，取极小值 时仿此证明0()( )f xf x0()( )f xf x当 时，0 xx0( )()f xf x所以0000( )() ()lim0 xxf xf xfxxx0( )()f xf x0 xx当 时0000( )() ()lim0 xxf xf xfxxx所以0()0fx因此 ，证毕定理定理 8 (极值第一判别法极值第一判别法),)(0的的某某邻邻域域内内可可导导在在设设函函数数xxf,0时时由小到大通过由小到大通过当当xx0)( 0 xf且且(1) )(xf “左正右负左正右负” ,;)(0取取极极小小值值在在则则xxf(2

39、) )(xf “左负右正左负右正” ,.)(0取取极极大大值值在在则则xxf)( xf)(xf0 x(3)若若不变号，则函数不变号，则函数 在在 处无极值处无极值证：若 是 邻域内的一点，由拉格朗日中值定理，可知必在 与 之间存在一点 ，使x0 xx0 x00( )()( )()f xf xfxx对于条件(2)，当 时， 有 ；当 时， ，有 ，所以当 由负变正时， 为极小值0 xx0( )()f xf x( )0f0 xx( )0f0( )()f xf x( )fx0()f x对于条件(1)，当 时， 有 ；当 时， ，有 ，所以当 由正变负时， 为极大值0 xx0( )()f xf x(

40、)0f0 xx( )0f0( )()f xf x( )fx0()f x如果满足条件(3)，则在的某个邻域内是单调函数，所以不是极值，也不是极值点( )f x0 x0()f x0 x由定理由定理7和定理和定理8给出求函数极值的步骤如下：给出求函数极值的步骤如下：1、求导数、求导数2、找出驻点和导数不存在的点、找出驻点和导数不存在的点3、用定理、用定理8判定这些点是否为极值点判定这些点是否为极值点例题例题41 求函数求函数32) 1() 1()(xxxf 的极值的极值解：解：)2 . 0()1)(1(5)( . 12 xxxxf12 . 01, 0)( . 2、得得驻驻点点令令 xf根根据据驻驻点

41、点情情况况判判定定极极值值.3x-10.21y+0+0-0+y增增无无增增极大极大减减极小极小增增)1,( )2 . 0 , 1( )1 , 2 . 0(), 1( 由表可知极值由表可知极值图象xoy32)1()1()( xxxf返回例例42 已知直线方程已知直线方程 , 是是直线外的一点直线外的一点, 试求试求A到直线到直线 的距离的距离) 0( kbkxybkxy ),(yxB解解:设设 为直线方程为直线方程 上的任一点上的任一点,设设A到到B的距离为的距离为 z,则则bkxy 2020002)()()() 1(ybkxxxkyxkbxkz 2020)()(ybkxxxz 0 z令 得到唯

42、一驻点2001 kkbkyxxd ),(00yxA例例42 已知直线方程已知直线方程 , 是是直线外的一点直线外的一点, 试求试求A到直线到直线 的距离的距离) 0( kbkxybkxy d当当 时时, ,而当而当 时时, ,从而从而 为为bkxy Azdxx dxx 0 zdxx 0 zz0 z 的极小值点的极小值点,此时的此时的 就是就是到直线到直线 的距离的距离 ,将驻点值代入将驻点值代入 中的中的 ,x2001kbkxyd 化简得化简得3)( xexf0)( 0 xf)(0 xf3、若、若，则不能确定，则不能确定 是否为是否为0 x)(xf0)( 0 xf定理定理9 (第二充分条件第二

43、充分条件)设设 在点在点 处具有二阶导数，且处具有二阶导数，且 ，则：，则：0)( 0 xf)(0 xf)(xf1、若、若，则，则 是是 的极大值的极大值0)( 0 xf)(0 xf)(xf2、若、若，则，则 是是的极小值的极小值0 x的极值，仍需判断一阶导数在的极值，仍需判断一阶导数在左右的符号变化情况，然后再得出结论。左右的符号变化情况，然后再得出结论。)(xf例题例题43 应用第二充分条件求函数应用第二充分条件求函数 31292)(23 xxxxf的极值的极值解解:)2)(1(612186)( 2 xxxxxf)32(61812)( xxxf; 2, 1, 0)( 21 xxxf得得驻驻

44、点点令令. 06)2( , 06)( fxf处处取取得得极极大大值值在在知知由由定定理理1)(9 xxf; 2max f处取得极小值处取得极小值在在2)( xxf. 1min f 例例44 求求 的极值的极值1)1()(32 xxf解解:22)1()1(6)( xxxxf1 ,0 , 1,0)( xxf得得驻驻点点令令)15)(1)(1(6)( 2 xxxxf则则6)0(, 0)1()1( fff因此因此, ,由定理由定理9 9判定判定, ,函数在函数在x=0 x=0时有时有极小值极小值0,0,在在x=1,-1x=1,-1时由定理时由定理8 8判定判定例例45 血液由细胞和血浆构成，血细胞的比

45、重高于血液由细胞和血浆构成，血细胞的比重高于血浆构成，血液在血管中迅速流动时，血细胞有集血浆构成，血液在血管中迅速流动时，血细胞有集中于血管中轴附近的倾向，而在靠近血管内膜的边中于血管中轴附近的倾向，而在靠近血管内膜的边缘部位则主要是一层血浆。边缘部位由于血管壁的缘部位则主要是一层血浆。边缘部位由于血管壁的摩擦力而流速较慢，愈近中轴，流动越快，此现象摩擦力而流速较慢，愈近中轴，流动越快，此现象在流速相当高的洗血管中最为显著，称为轴流问题。在流速相当高的洗血管中最为显著，称为轴流问题。轴流理论认为：血细胞速度与血浆速度的相对值轴流理论认为：血细胞速度与血浆速度的相对值 依赖于血细胞的直径与它通过

46、小血管直径依赖于血细胞的直径与它通过小血管直径 之比，其关系式为之比，其关系式为2 13 . 3 3 ( 1)0 . 6 7rrv DrDrv其中其中2 23.33 2(1)rrrrdvDdDD（血细胞直径（血细胞直径/小血管直径）小血管直径）1,0rD （血细胞速度（血细胞速度/血浆速度）血浆速度）rD2 13 . 3 3 ( 1)0 . 6 7rrv D试求试求 关于关于 的一阶导数的极值的一阶导数的极值解：解：22 21 36.66(1)rrrDvD 0rv令 ，得 因为rrd vd D22 4(13 ) 1 26 .6 60(1)rrrrDDvD rrdvdD所以 时 取极小值。由于

47、，22 4(13 ) 1 26 .6 60(1)rrrrDDvD 0rrdvdDrrVhSVr2223有最小值，且时，当所以他的绝对值 在 处达到极大值3 3rD 22 4(13 ) 1 26 .6 60(1)rrrrDDvD 例例46 求求 当当 时得最大值与最小值时得最大值与最小值 5 , 5 x 35,53 ,)(33xexexfxx解解:该函数是一个分段函数该函数是一个分段函数,可写成如下形式可写成如下形式13lim, 13lim033033 xeexeexxxx该函数在该函数在-5,5内连续内连续,但在但在x=3处不可导处不可导 因为因为3 x当当 时函数可导时函数可导 35,53

48、,)( 33xexexfxx例例46 求求 当当 时得最大值与最小值时得最大值与最小值 5 , 5 x 35,53 ,)(33xexexfxx的导数为的导数为)( xf)(xf5 x在讨论的区间内无驻点在讨论的区间内无驻点,因此最大值和最小值因此最大值和最小值只可能在只可能在 及导数不存在的点及导数不存在的点x=3处取得处取得,在这些点处的函数值分别为在这些点处的函数值分别为:1) 3 ( ,) 5 ( ,) 5 (28 f ef ef由此知函数由此知函数 在在-5,5的最大值为的最大值为8)5(ef 5 , 5 x最小值为最小值为 .1)3( frv最大值与最小值最大值与最小值)(xf)(a

49、f)(bf)(xf定义定义4 设设 在闭区间在闭区间 a,b上连续，上连续，与与 比较，其数值最大与最比较，其数值最大与最在闭区间在闭区间 a,b上的最大与最小值。上的最大与最小值。将区间内所有极值和端点处的函数值将区间内所有极值和端点处的函数值小者分别称为函数小者分别称为函数例例47 47 在给定容积在给定容积V V的条件下，做一个有盖的条件下，做一个有盖圆柱形罐头，问当高和底半径取多少时用圆柱形罐头，问当高和底半径取多少时用料最省料最省解解: 设底面半径为设底面半径为r,r,高高h,h,表面积为表面积为S,S,则则rhrS 222 22,rVhhrV 则则且且), 0(,22)(S2 rr

50、Vrr 带带入入得得所以所以S S的最小值的最小值NoImage322, 0)( ,24)( VrrSrVrrS 得得令令将将S对对r求导得求导得044)( ,3 rVrS 又又因因为为2.4.4函数的凹凸性及拐点函数的凹凸性及拐点一、函数曲线的凹凸性一、函数曲线的凹凸性二、曲线的拐点二、曲线的拐点三、曲线的渐近线三、曲线的渐近线定义定义5 5 如果一段曲线位于它上面任如果一段曲线位于它上面任意一点的切线上方，我们就称这段意一点的切线上方，我们就称这段曲线是向上凹的，如果一段曲线位曲线是向上凹的，如果一段曲线位于其上任意一点的切线的下方，则于其上任意一点的切线的下方，则称这段曲线是向上凸的称这

51、段曲线是向上凸的一、函数曲线的凹凸性一、函数曲线的凹凸性)(xf)( xf0)( xf0)( xf如果函数如果函数定理定理1010在区间在区间(a,b) (a,b) 内具有二阶导数内具有二阶导数则在该区间上，当则在该区间上，当时，曲线向上凸，称时，曲线向上凸，称 为凸函数为凸函数时，曲线向上凹，并称时，曲线向上凹，并称 为凹函数；为凹函数；)(xf)(xf当当二、函数的拐点二、函数的拐点如果函数如果函数 )(xf 在某点的凹凸性发生了在某点的凹凸性发生了变化，那么该点就称为曲线的拐点。变化，那么该点就称为曲线的拐点。需要注意的是：拐点可能是二阶导数为需要注意的是：拐点可能是二阶导数为0的点，也

52、可能是二阶导数不存在的点；的点，也可能是二阶导数不存在的点；反之二阶导数为反之二阶导数为0或者二阶导数不存在的或者二阶导数不存在的点却不一定是拐点。点却不一定是拐点。返回返回判断函数曲线的凹凸性及拐点的步骤如下：判断函数曲线的凹凸性及拐点的步骤如下：0)( xf2、令令)(xf求出其在定义域的根，同时找到在函数求出其在定义域的根，同时找到在函数定义域内部存在的二阶导数定义域内部存在的二阶导数；)( xf1 1、求、求0 x)( xf0 x0 x0)( xf0)( xf3、对每个实根（或二阶导数不存在的点），如、对每个实根（或二阶导数不存在的点），如判断判断在在 左右的符号，如果变号，则左右的符

53、号，如果变号，则是拐点，否则不是拐点；使是拐点，否则不是拐点；使的那段区间为上凹区间，使的那段区间为上凹区间，使的那段区间为上凸区间。的那段区间为上凸区间。例例48 48 讨论曲线讨论曲线35)1( xy的凹凸性及拐点的凹凸性及拐点解解: :)1()1(910 ,)1(353132 xxyxy在定义域内无零点在定义域内无零点x1y-不存在不存在+y上凸上凸拐点拐点上凹上凹)1 ,(), 1( 例例49 讨论函数讨论函数 的单调性极值及拐点的单调性极值及拐点212xxy 22222)1()1)(1(2)1()1(2xxxxxy x-11y-0+0-y减函数减函数极小极小值值增函数增函数极大极大值

54、值减函数减函数解解:令令y=0,得得x=-1,1,列表如下列表如下) 1,( ), 1( )1, 1( 例例49 讨论函数讨论函数 的单调性极值及拐点的单调性极值及拐点212xxy 322)1()3(4 xxxy 解解:列列表表得得令令,3, 0 ,3, 0 xyx0y”-0+0-0+y上凸上凸拐拐点点上凹上凹拐拐点点上凸上凸拐拐点点上凹上凹)3,0(),3()3,( )0 , 3( 3 3三、曲线的渐近线三、曲线的渐近线bxfx )(lim)(xfy by )(lim0 xfxx)(xfy 0 xx 定义定义6 如果动点沿某一条曲线无限远离原点时，如果动点沿某一条曲线无限远离原点时，动点到一

55、定直线的距离趋于零，这条直线就动点到一定直线的距离趋于零，这条直线就称为该曲线的渐近线称为该曲线的渐近线 则曲线则曲线 有水平渐近线有水平渐近线如果如果 ，则曲线，则曲线有垂直渐近线有垂直渐近线如果如果返回返回例例50 50 讨论讨论 的渐近线的渐近线xexy1)2( xxex/10)2(lim由由1)2(lim/1 xexxx解解: :知知x=0 x=0是垂直渐近线是垂直渐近线3)2(lim)(lim/1 xexxyxxx所以所以,y=x+3,y=x+3是一条斜渐近线是一条斜渐近线习题习题确定函数确定函数 的单调性的单调性7123223 xxxy) 1,( 解解:)1)(2(612662 x

56、xxxy令令y=0得得x=-1或或x=2x-1(-1,2)2y+0-0+y增函数增函数减函数减函数增函数增函数),2( 习题习题 求函数求函数 的极值的极值xxyln 解解:xxy22ln 令令y=0,解得解得2 exxy-0+y极小值极小值), 0(2 e2 e),(2 e习题习题 求函数求函数 的最大和最小值的最大和最小值 5 , 5,2)(2 xxfx解解: 2,22,2)()2()2(xxxfxx. 1)2(2 f为为分分段段点点，无无驻驻点点 2, 2ln22, 2ln2)( )2()2(xxxfxx1,128,2)5(,2)5(minmax37 ffff比比较较得得第二章微积分学的

57、创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)一元函数微分学一元函数微分学导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton2.4.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日，法国数学家、物理学家。拉格朗日，法国数学家、物理学家。1736年年1月月25日日生于意大利西北部的都灵，生于意大利西北部的都灵，1813年年4月月10日卒于巴黎。日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等周问题等周问题”的过程中，他用纯分析的方法发展了欧的过程中，他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的论著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。论著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧欧洲最大的王洲最大的王”的宫廷中应