第四章 矩阵的特征值和特征向量new

1、作用作用初等变换初等变换 终止矩阵终止矩阵结结 果果阶梯阵阶梯阵r(A)=非非0行数行数阶梯阵阶梯阵主列对应原矩阵的列主列对应原矩阵的列行最简形行最简形 非主列的线性表示关系非主列的线性表示关系阶梯阵阶梯阵判别解判别解:r1r2无解无解r1=r2=n唯一解唯一解, r1=r2n无穷多解无穷多解行最简形行最简形基解基解:非主列变量为非主列变量为e1.en r特解特解:非主列变量为非主列变量为0行最简形行最简形三角形三角形某行某行(列列)有有一非一非0元素元素二二. 性质性质 求求A11. 设设P 1AP = , P = , =, A = P P 1 A11 = (P P 1)(P P 1)(P

2、P 1)(P P 1) 11 = = P 11P 1 A与与 相似相似010aA 100Ba 11,2PPE 011,210PE 11,21,2PAPEAEB 1niiitr Aa 求求可逆阵可逆阵P, 使使注注1. 几何意义几何意义A3 3 y=A = / y=A 注注2. 否则否则, = , R, A = = 但是可以但是可以 =0, 此时此时, A = 0 = 1221Aeigshow(A)3yAxx显示不同显示不同的单位向的单位向量量x及经及经变换后的变换后的向量向量y=Ax 11x yAxx 11x： 0, s.t. A = 1, 2,t对应于对应于 的的所有特征向量为所有特征向量为

3、 k1 1+k2 2+kt t , k1, kt 不全不全为为0.0.先解先解| EA|=0, 求出求出所有特征值所有特征值 ,2 1 1 0 2 04 1 3A 求求可逆阵可逆阵P, 使使 1, 2,t对应于对应于 的的所有特征向量为所有特征向量为 k1 1+k2 2+kt t , k1, kt 不全不全为为0.0.先解先解| EA|=0, 求出求出所有特征值所有特征值 ,2112121222212nnnnnaa aa aa aaa aAEa aa aa 2112112100nnaaaaaa aa a 121211120000inininaiaiaa aa acc 112,iiarrain

4、1nT 所以所以A的全部特征值为的全部特征值为 0(n 1重根重根), T 211211221222212000,000nnnnnnaa aa aaaaa aaa aAa aa aa 121100,010001n 1r A 10a 21aa 31aa 1naa 1111,nnkk 11,nkk 此时，线性无关的特征向量只有一个此时，线性无关的特征向量只有一个. T T T T T注意到注意到TTA 所以所以 即为即为A的对应特征值的对应特征值 = T 的的特征向量特征向量. 0nkk 所以只要找一个非零向量满足上述方程即可所以只要找一个非零向量满足上述方程即可. 则对应则对应 = T 的的特征

5、向量为特征向量为 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann a11 a22 ann11()nnniiia 11()+1nnnniiiaA 二二. 性质性质 11()+1nnnniiiEAaA 111()+1nnnnniiiiEA 2TTTAA 2100nTTiitrAa 所以所以A的所有可能的特征值的所有可能的特征值 满足满足0,T 20T 所以所以A的所有可能的特征值的所有可能的特征值2112121222212,nTnnnnaa aa aa aaa aAa aa aa所以所以A的全部特征值为的全部特征值为 0(n 1重根重根), T 二二. 性质性质 0,s.t

6、. A = .先解先解| EA|=0, 求求 ; 将将 代入代入( EA) =0, 求求非零通解非零通解.设设3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为2,1, 1,则则1?AA2 1120A 5,2, 221522102AA 设设3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为1,2,3, 则则trB *2BEA1 2 36A *1AA A *2BEA21211iiA的特征值为的特征值为即即 11, 5, 3 19trB 设设A是是n阶方阵阶方阵, 对于对于数数 , 存在存在n维维向量向量 , 使得使得A = , 则称则称 为为A的的一个一个。由由A = 得齐次线性方程组得齐次线性方程组( EA) = , 它

7、有它有非零非零解解 | EA|=0 EA不可逆不可逆若若A为方阵为方阵, 是是A的一个特征值的一个特征值 ( E A)不可逆不可逆.A为方阵为方阵, 不是不是A的特征值的特征值 ( E A)可逆可逆.设设3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为 2,1,4,则可逆的矩阵则可逆的矩阵: :(A) E A (B) 4E A (C) 2E A (D) 2E+A若方阵若方阵A不可逆，则不可逆，则A的一个特征值为的一个特征值为( )( )0若方阵若方阵A满足满足A2=2A, ,0不是不是A的特征值的特征值, ,则则A=A可逆可逆A = 2E求求可逆矩可逆矩P, 使使 n阶方阵阶方阵A有有n个个不同的特征值不

8、同的特征值, 则则A与对角矩阵相似与对角矩阵相似.二二. 性质性质 0,s.t. A = .先解先解| EA|=0, 求求 ; 将将 代入代入( EA) =0, 求求非零通解非零通解.n阶方阵阶方阵A有有n个个不同的特征值不同的特征值, 则则A与对角阵相似与对角阵相似.2 1 1 0 2 04 1 3A 4112000411EA 22132rEAnn 101010 ,411P 200020,001 2 1 1 0 2 04 1 3A 101010 ,411P 200020001 1113334112333201020010221kkkkkkkA 141111333333441141333333

9、212121020212121kkkkkkkkkkkkk 1 1 04 3 0 1 0 2A 210420101EA 22321r EAnn T)(A.)(11 AA,TTAA AAAA,TTAA AAAATTTTTT()().x Axx A xAxxxxx x .)()(TTTTxxxxAxxAxx T()0.x x . 0|112T niniiiixxxxx, 0 设设 1, 2是实对称矩阵是实对称矩阵A的两个不同的两个不同 的特征值的特征值, p1, p2是对应与它们的是对应与它们的特特 征向量征向量, 则则p1与与p2正交正交.实对称矩阵实对称矩阵对应于对应于不同不同特征值特征值的的特

10、特 征向量彼此征向量彼此正交正交.设设 1 2, p1, p2 0, s.t.Ap1= 1 p1, Ap2= 2 p2 此外此外, p1TAp2 = p1TATp2 = (Ap1)Tp2 = 1 p1Tp2 , 于是于是( 1 2) p1Tp2 = 0, 从而从而 p1TAp2 = p1T( 2p2) = 2 p1Tp2. 但是但是 1 2, 故故p1Tp2 = 0.对于任意对于任意n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A, 存在存在 正交正交矩阵矩阵Q, 使得使得 Q1AQ = QTAQ = = diag( 1, 2, , n), 其中其中 1, 2, , n为为A的全部特征值的全部特征值, Q = (

11、q1, q2, , qn)的列向量组是的列向量组是A的的对应对应 于于 1, 2, , n的的标准正交标准正交特征向量组特征向量组.n阶阶实对称矩阵实对称矩阵A的的ni重重特征值都有特征值都有ni个个线性无关线性无关的特征向量，再由施密特正交化方的特征向量，再由施密特正交化方法知，必有法知，必有ni个个标准正交标准正交的特征向量的特征向量.3 1 21 3 -22 -2 0A 3233222211,2011 ;,2101 1121124112000224000EA 311 1;T ， ， 1116231111236232163,.0Qq q q 2 0 00 4 0 .0 0 4 1T.Q A

12、QQ AQ 3 1 21 3 -22 -2 0A 3 1 21 3 -22 -2 0A 3233222211,2011 ;,2101 1121124112000224000EA 一个非零解为一个非零解为, 设另一解为设另一解为, 31120011/2 , 51630121653021265300.Q 2 0 00 4 0 .0 0 4 1.Q AQ ?3 1 21 3 -22 -2 0A 3233222211,2011 ;,2101 1121124112000224000EA 一个非零解为一个非零解为, 设另一解为设另一解为, 31120011/2 , 51630121653021265300

13、.Q 2 0 00 4 0 .0 0 4 1.Q AQ 121323, ?2/ 32/ 31/ 31/ 32/ 32/ 32/ 31/ 32/ 3 1000100010 222254245 21220212 所以所以A的全部特征值为的全部特征值为 0(n 1重根重根), T TTTTAA2112121222212,nTnnnnaa aa aa aaa aAa aa aa 1Tr Ar所以实对称矩阵可以正交相似对角化。所以实对称矩阵可以正交相似对角化。即存在正交矩阵即存在正交矩阵Q和对角阵和对角阵 , 使得使得 100Q AQ 21nTiitrtrAa 1r 1Q AQ 再求再求|E A3|.

14、即存在正交阵即存在正交阵Q和对角阵和对角阵 , 使得使得 100TQ AQ 3133111TQEAQE 3331TEAE TTTTAA 所以实对称矩阵可以正交相似对角化所以实对称矩阵可以正交相似对角化, ,解：解： 是是A的特征值的特征值 f, f( )是是f(A)的特征值的特征值 A f, f(A) f( )实对称阵对应于不同特征值实对称阵对应于不同特征值的的特征向量正交特征向量正交.任意任意n阶实对称阵总可以正交相似对角化阶实对称阵总可以正交相似对角化, 存在正交阵存在正交阵Q, 使得使得Q1AQ= =diag( 1, 2, n), 1, n为为A的全部特征值的全部特征值,Q = (q1,

15、qn)是是A的的标准正交标准正交特征向量组特征向量组.Q1AQ= QTAQ = A = Q Q1 f, f(A) = Qf( )QT正交正交特特征向量征向量1. l.i.特征向量再由特征向量再由Schmidt正交化法正交正交化法正交2. 由由1个个特量及特量及正交方程组解其他正交特量正交方程组解其他正交特量实矩阵实矩阵A可正交相似对角化可正交相似对角化, 则则A必对称必对称.AT = (Q QT)T = Q TQT = Q QT = AQ1AQ=QTAQ= A=Q QT=Q Q1AT=(Q QT)T=Q QT=AP1AP= A=P P1等价等价关系关系定义定义矩阵矩阵定定 义义等价类等价类代表代表不变量不变量Rn nRm n相似相似正交正交相似相似Rn n,实对称实对称11stBPP AQQ 相抵标准形相抵标准形 rm nE ,ijP Q为初等阵为初等阵,P 可逆1BPAP , . .,Qs t 正交1TBQ AQQ AQ 1n i为特征值为特征值 秩秩 特征值特征值,