第七节多元隐函数求偏导

1、1第七节一、一、 一元隐函数求导一元隐函数求导多元隐函数求偏导多元隐函数求偏导 第七章第七章 二、二、 二元隐函数求偏导二元隐函数求偏导三、隐函数的求导公式三、隐函数的求导公式2定义定义.)(0),(（一一元元）隐隐函函数数称称为为确确定定的的函函数数由由方方程程所所xyyyxF .)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化回忆回忆:一元隐函数不易显化或不能显化如何求导一元隐函数不易显化或不能显化如何求导? ?方程两边直接关于方程两边直接关于x求导求导. .一、一、 一元隐函数求导一元隐函数求导直接求导法！直接求导法！ 3例例1 1设设0esi

2、n2 xyyx, ,求求xydd. . 解解方程两边关于方程两边关于x求导求导, ,得得 ，0)2(ecos2 yyxyyyx解得解得.2cose2xyyyyx 4定义定义.),(0),(称为二元隐函数称为二元隐函数确定的函数确定的函数由方程所由方程所yxfzzyxF .),(形式称为显函数形式称为显函数yxfz 0),( zyxF),(yxfz 隐函数的显化隐函数的显化如果二元隐函数不易显化或不能显化时，方程如果二元隐函数不易显化或不能显化时，方程两边也可以直接求导，求导的过程中把两边也可以直接求导，求导的过程中把z视为视为x、y的二元函数的二元函数z=f(x,y). .二、二、 二元隐函数

3、求偏导二元隐函数求偏导5例例2 2解解由由方方程程1543 zxzyz确确定定隐隐函函数数),(yxzz ， 求求)0 , 0(xz , ,)0 , 0(yz . . 视视z为为yx,的的二二元元函函数数),(yxzz , , 方程两边关于方程两边关于x 求求偏导数偏导数, ,得得 y23z344(zxz )xz xz ，054 xzz解得解得，22543zxzyzxz 51)0 , 0( xz当当0 yx时时, ,1 z， 6，2543zxzyzyz 例例2 2由由方方程程1543 zxzyz确确定定隐隐函函数数),(yxzz ， 求求)0 , 0(xz , ,)0 , 0(yz . . 解

4、解方程两边关于方程两边关于y求求偏导数偏导数, ,得得 yz323z34zx yz yz ，054 yzz解得解得.51)0,0( yz7设设04222 zzyx，求求 22xz . 例例3 3视视z为为yx,的的二二元元函函数数),(yxzz , ,方方程程两两边边关关于于x求求偏偏导导, ,得得 解解0422 xzxzzx上式两边再次关于上式两边再次关于x求偏导求偏导, , ,02)(122222 xzxzzxzzxzxz 2)(1222 解得解得.)2()2(322zxz 02 xzxzzx zxxz 2, 两边关于两边关于x求导也可以求导也可以8三、隐函数的求导公式三、隐函数的求导公式

5、：，则则若若确确定定隐隐函函数数设设方方程程0)(0),(. 1 yFxyyyxF.ddyxFFxy 一元隐函数的求导公式一元隐函数的求导公式：，则则若若确确定定隐隐函函数数设设方方程程0),(0),(. 2 zFyxzzzyxFzyzxFFyzFFxz ,二元隐函数的求导公式二元隐函数的求导公式9证：证：方程两边对方程两边对 x 求导求导,由链式法则由链式法则得得0dd xyFFyx.ddyxFFxy ：，则则若若确确定定隐隐函函数数设设方方程程0)(0),(. 1 yFxyyyxF.ddyxFFxy Fyxx10：，则则若若确确定定隐隐函函数数设设方方程程0),(0),(. 2 zFyxz

6、zzyxFzyzxFFyzFFxz ,证：证：方程两边对方程两边对 x 求导求导,由链式法则得由链式法则得xF zF xz 0 ，解解得得zxFFxz .zyFFyz 同样可得同样可得Fzyxyx11：，则则若若确确定定隐隐函函数数设设方方程程0)(0),(. 1 yFxyyyxF.ddyxFFxy ：，则则若若确确定定隐隐函函数数设设方方程程0),(0),(. 2 zFyxzzzyxFzyzxFFyzFFxz ,注：注：.,. 1看成常量，其他类似看成常量，其他类似时暂时将时暂时将故求故求，都是在对中间变量求导都是在对中间变量求导利用公式时，求利用公式时，求zyFFFFxzyx 负负号号！利

7、利用用公公式式时时，不不要要忘忘记记. 2采采用用直直接接求求导导法法！求求高高阶阶导导数数时时应应阶阶导导数数利利用用公公式式求求导导只只能能求求一一, 3.12，确确定定隐隐函函数数方方程程)(0),(xyyyxF .ddyxFFxy 例例 4设设,222xyx 求求.ddxy解解,2),( 22xyxyxF 令令则则,22 xFx,2yFy 由公式得由公式得, xydd.1222yxyx 13,yxF x yxy11lnlnyxxyxyFyxyyyFxxxy 例例5 5yxxy，求隐函数的导数，求隐函数的导数 dydx解解 设设 则则 所以所以 1lnyxxFyxyy1lnyxyFxxx

8、y，确确定定隐隐函函数数方方程程)(0),(xyyyxF .ddyxFFxy 再再求求导导！以以前前的的做做法法：先先取取对对数数 14设设04222 zzyx，求求 22xz . 例例3 3法法2.2.上式两边再次关于上式两边再次关于x求偏导求偏导, , 22 xz得得.)2()2(322zxz 设设zzyxzyxF4),(222 ),(0),(yxzzzyxF 确确定定隐隐函函数数方方程程zyzxFFyzFFxz ,则则,2xFx zxFFxz zx 242 zFz2)2()2(zxzxz 15利用隐函数的求导公式得利用隐函数的求导公式得 xzFzxF 2yzzxy 2yzzxy yzFz

9、yF 2xzzxy 2xzzxy 解解:令令 ,则则33( , , )3F xyzzxyza 23,3,33xyzFyz Fxz Fzxy 例例6 6 设设 , 求求333zxyza 2zx y 分析分析：如果令：如果令 , 则由方程则由方程 33( , , )3F xyzzxyza ( , , )0F x y z 确定了确定了 是是 的函数的函数,求求 用隐函数求导法。但在求二阶混用隐函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。合偏导时，应采用直接求导法。 zxy，zx 1622()zyzx yy zxy 222()()(2)()zzzyzxyyzzxyyzxy 422223(2)(

10、)z zxyzx yzxy 计算计算 时，我们采用在方程两边同时对时，我们采用在方程两边同时对 求偏导的方法求偏导的方法, 2zx y y并视并视 为为 的二元函数的二元函数 , 得得z,x y( , )z x yxzFzxF 2yzzxy 17例例 7, zxyz 设设求求.dz解解因为因为,lnzzFxx ,1 zyyzF,ln1yyxzFzxz 所以所以,lnln1yyzxzzxzzxx 令令.),(zxyzzyxF ,ln11yyzxzyyzzxz xxzyyzzzxzxdlnlnd1 .dlnd11yyyzxyyzzxz 18练习练习1 1. 求由方程01esinyxyx确定的隐函数

11、( )yf x的导数.练习练习2设设,432222 zyx求求.,2yxzxz 19练习练习1. 求由方程01esinyxyx确定的隐函数( )yf x解解: 令, 1esin),(yxyyxFx,eyFxx则xyFy cos的导数.ddyxxyFF xy cosyxe20练习练习2设设,432222 zyx求求.,2yxzxz 解解 令令.432),(222 zyxzyxF,2xFx ,4yFy .6zFz 所以所以 xz zx62,3zx yz,3264zyzy 21再求二阶导数，再求二阶导数，有有 xzyyxz2 zyx13yzzx 213 zyzx3232.923zxy 22小结：小结

12、：1.1.隐函数求导的两种方法隐函数求导的两种方法 直接求导法直接求导法公式法公式法2.2.注意两种方法的区别注意两种方法的区别. .3.3.两种方法至少要掌握一种两种方法至少要掌握一种. .23作业：作业：P88 习题习题7.72. 3. 5. 6.24一一、 填填空空题题: :1 1、 设设xyyxarctanln22 , ,则则 dxdy_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 2 2、设设zxyz , ,则则 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

13、 _ _ _, , yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 设设,32)32sin(2zyxzyx 证证明明：. 1 yzxz练练 习习 题题25三三、 如如 果果 函函 数数),(zyxf对对 任任 何何t恒恒 满满 足足 关关 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk , ,则则称称函函数数),(zyxf为为 k次次齐齐次次函函数数, ,试试证证: :k次次齐齐次次函函数数满满足足方方程程 ),(zyxkfzfzyfyxfx . .四四、设设.,3233yxzaxyzz 求求五五、求求由由下下列

14、列方方程程组组所所确确定定的的函函数数的的导导数数或或偏偏导导数数: :1 1、 设设 203222222zyxyxz , ,求求.,dxdzdxdy2 2、 设设 ),(),(2yvxugvyvuxfu，求求.,xvxu （其其中中gf ,具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数）26六、六、 设函数设函数)(xu由方程组由方程组 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所确定所确定, , 且且., 0, 0dxduzhyg求求 ( (hgf,均可微均可微) )七、七、 设设),(txfy 而而t是由方程是由方程0),( tyxF所确定的所确定的yx,的函数的函数, ,求求.dxdy八、八、 设设),(yxzz 由方程由方程),(xzyyxxF =0=0 所确定所确定, , 证明证明: :xyzyzyxzx . .27一、一、1 1、yxyx ； 2 2、yyxzzzzxxlnln1 ； 3 3、yyxzzyzxzln11 . .四、四、3222242