第8讲 抽屉原理初步（2 个课时）

1、第8讲 抽屉原理初步（2 个课时） 一、知识要点1、抽屉原理1把n+1个东西，任意地分放到n个抽屉里，那么必有一个抽屉里至少有2个东西。2、抽屉原理2把m个东西，任意地分放到n个抽屉里，那么必有一个抽屉里至少有k个东西。其中的整数部分。上述原理称为抽屉原理。抽屉原理虽然简单、浅显，却是解决很多存在性问题的有力工具。利用抽屉原理解题的一般步骤是：(1)构造抽屉，指出东西；(2)将东西放入抽屉，或从抽屉里取出；(3)说明理由，得出结论。二、例题精讲例1、观察一个正方体，最多能同时看到几个面？解：从某一顶点看过去，能同时看到3 个面。下面我们说明最多也只能看到3个面。若不然，看到至少4个面，那么必然

2、有两个面相对（抽屉原理！），而这是不可能的。例2、用2种颜色涂3行9列共27个小方格，证明：不论如何涂色，其中必至少有两列，它们的涂色方式相同.分析：把用两种颜色涂×3的小方格的方法当作抽屉。解：用两种颜色涂×3的小方格共有8种方法(为什么？)现有9列，由抽屉原理，必有两列涂法一样评注：用抽屉原理解题的关键在于构造抽屉。例3、 已知一个圆。经过圆心任意作1003条直径，它们与圆共有2006个交点，在每个交点处分别填写从1到501中的一个整数(可重复填写)。证明：一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等。分析：直径两端的数都在1到501之间，所以它们两端的数的和在2到100

3、2之间， 则可构造1001只抽屉，而东西有1003个，因而得到证明。证明：直径两端的数都在1到501之间，所以直径两端的数的和2，且1002 所以，这种和只有1001种。 而直径有1003条，1003>1001，所以一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等。例4、夏令营组织1987名营员去游览故宫、景山公园、北海公园，规定每人最少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同？试证明你的结论。(第二届迎春杯决赛试题)分析：将游览方案当作抽屉，将人当作东西，由抽屉原理可得结论。解：去一处的可能有3种(故宫、景山公园、北海公园)，去两处的可能也有3种(故宫与景山公园、北海公园与故宫

4、、景山公园与北海公园)，由于每人最少去一处，最多去两处游览，所以游览方案共有6种。 因此，1987个人中至少有个人游览的地方完全相同。例5、 从自然数1，2，3，99，100这100个数中随意取出51个数来，求证：其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的倍数.分析：设法制造抽屉，使它们符合如下条件：（1）不超过50个；（2）每个抽屉的里的数（除仅有的一个外），其中一个数是另一个数的倍数。一个自然的想法是从数的质因数表示形式入手。解：设第一个抽屉里放进数：1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26；第二个抽屉时放进数：

5、3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25；第三个抽屉里放进数：5，5×2，5×22，5×23，5×24；第二十五个抽屉里放进数：49，49×2；第二十六个抽屉里放进数：51.第五十个抽屉里放进数：99.那么随意取出51个数中，必有两个数同属一个抽屉，其中一个数是另一个数的倍数.评注：本题构造的抽屉比较别致，它必须符合分析中的两个条件。这种构造抽屉的方法值得我们体会。例6、 在边长分别为2和4的矩形中任取9个点(任三点不共线)，证明至少存在三点，以它们为顶点的三角形的面积不大于1。分析：

6、矩形中任一三角形的面积不超过该矩形面积的一半，而已知矩形面积为8，故若将该矩形分为4个等面积的小矩形，则小矩形的面积为2，其内的任一三角形的面积不超过1，因而只须将已知矩形分为4个等积的小矩形，证明其中至少有一份含有9个点中的3个点即可。证明：将已知矩形分为4个全等的小矩形，则由抽屉原理，任取9个点中至少有3个点在一个小矩形中。由于这个小矩形的面积等于2，故以这3个点为顶点的三角形面积不超过该小矩形面积的一半1，问题得证。例7、任选6人，试证其中必有3人，他们互相认识或都不认识.解：我们用A,B,C,D,E,F六个点表示这6个人，如果两人认识就把这两点连成红线，如果不认识就连成蓝线，那么我们的

7、结论就是：一定存在一个红色三角形或蓝色三角形。从6个点中任意取一点，不妨设为A,在连接其余五点的五条线段中，至少有条同色，不妨设其中的AB,AC,AD为红色。这时，在线段BC,BD,CD中，如果有一条为红色（比如BC），那么我们就得到了红色三角形ABC，否则，BC,BD,CD都是蓝色，则三角形BCD就是一个蓝色三角形。三、巩固练习1、一副扑克有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽( )张才能保证有4张牌是同一花色。A、12 B、13 C、14 D、152、某校有1200人，则全校在同一天过生日的人至少有（ ）个A、2 B、3 C、4 D、53、11名学生到老师家借书，老师的书房中有A、B、C、D四种书可借，每个学生每次最多可以借2本书，但至少借一本，证明：一定有2个学生所借的书类型相同。4、在面积为1的平行四边形内有任意五点，则一定存在三点，以这三点为顶点的三角形面积不大于 5、设a1，a2，an是1，2，n的某种排列，且n是奇数，求证：(a1-1)( a2-2)(a n-n)必是偶数。6、在边长为1的正三角形内任取10个点，证明其中至少有两点，它们的距离不超过。7、把圆周