固体物理(第15课)近自由电子

1、6.2 准（近）自由电子近似准（近）自由电子近似近自由电子近似：近自由电子近似： 能带理论的简单模型，认为晶体中价电子的行为能带理论的简单模型，认为晶体中价电子的行为接近于自由电子。接近于自由电子。 周期性势场的作用可看作是很微弱的周期性起伏周期性势场的作用可看作是很微弱的周期性起伏的微扰。的微扰。以一维晶格为例进行讨论。以一维晶格为例进行讨论。6.2.1 一维非简并情况1. 周期性势场模型与零级近似(1) 周期性势场模型（示意图）(2) 零级近似一维周期性势场的傅立叶展开：VVeVVxVVdxexVaVeVxVaZnnaxVxVnnxainanxainnnnxain 0020022)()(1

2、)( )()( 为周期性势场的平均值为周期性势场的平均值：原胞长度：原胞长度，VHVdxdmHVVdxdmxVdxdmHxExHHxExHkkkkkk22)(2)()()()()(0222002222220 ，令其中.,00000kkkkkkkkEEEEHH变成由波函数变成能级由微扰的引入使得体系的就是就是就是则如果没有微扰NakkkkkikxkkkkdxZllNakmkENaLeLxxExH00022000000 , 2 2 1)()()(近自由电子近似正交归一化自由电子（晶体长度）零级近似：代表势能偏离平均值的部分，随代表势能偏离平均值的部分，随坐标变化，看作微扰势。坐标变化，看作微扰势。

3、02nnxaineVH受微扰后受微扰后0H : :000000000kk) 1 ()2() 1 (0V dxV(x) dx) V(V(x) dx H EEEEE kL *k kL *k kL *kkkkkk一级修正电子能量写成 a2-kk 0a2-kk dx 1 dx H .H H : 0)a2kk(n 00* 0kkkkk002kk)2(nnVeVLHEEEnLninkLkkkk当当称为微扰矩阵元二级微扰电子能量电子能量ZllNaknakmmkVmkEEEnakmmkeVeLxxxnnkkknnxainikxkkk 22222 22211 )()()(02222222)2(0022222*)

4、1(0的的共共厄厄复复数数为为nnVV*波函数波函数前进波前进波 散射波，因子代表其振幅，散射波，因子代表其振幅，位相之间无关，相互削弱，电子与自由电位相之间无关，相互削弱，电子与自由电子相似子相似 布洛赫波布洛赫波 为为布布洛洛赫赫波波函函数数，设设，则则令令)()(22211)()()( 22211)(22211)( )1(022222*022222*022222*xxunakmmkeVLmaxuZmxuexnakmmkeVLxunakmmkeVeLxkknmaxnainkkikxknnxainknnxainikxk 前前进进的的平平面面波波散散射射波波。xnakkkk简并微扰法计算此时散

5、射波加强，需用，无意义，则即若)(示意图示意图kkxk ikikxnxk inikxnnxainikxkeLeLeLmkmkVeLnakmmkeVeLxnkknakk11 122122211)(02 ) 1 (02222*022222*），则：（即且令6.2.2 一维简并微扰的情况一维简并微扰的情况(2) 简并微扰计算简并微扰计算示意图示意图的线性组合.和零级近似波函数将是或相反.这时,即为布拉格反射波,则是前进的平面波,如果认为微扰处理.并态.这时必须用简并两个状态，这相当于简此时一个能量对应根据量子力学,发散, 及 导致 , 由于, 时 当掺入的成分就越大.越小,而且它们的能量差,的其它零

6、级波函数与它有微扰矩阵元中将掺入在原来零级波函数根据微扰理论,0000000k0k0kkk011/EEHkkxk ikikxkkkkkeLeLEE Eankan k及布拉格反射布拉格反射大的干涉.使前进波受到很它们将互相加强,相,反射波就会有相同的位相邻原子的n,2/k正好满足2a前进平面波的波长如果位的话,的散射波成分有相同相如果由相邻原子所产生02222222nakmmkk/2)的结果.21,sinn在正入射条件下(2asin格反射条件2a/n,这就是布拉或an由上式求得k示意图示意图在波矢在波矢k k接近布拉格反射条件时，散射波已很强接近布拉格反射条件时，散射波已很强了，非简并微扰已不适

7、用。了，非简并微扰已不适用。xk iikxkkeLBeLABAannakkankank000:)1 (2,1)1 (则应将零级函数写成状态加入了和它能量接近的下在周期势场的微扰作用，则设接近如果将此波函数代入薛定鄂方程将此波函数代入薛定鄂方程0 :0)(- 0)( )(2 0*n00*n00022knkknkEEVVEEBEEAVBVAEEExVmA和B有解的条件为:程组整理后得到下列线性方并在整个晶体内积分,分别乘以方程两边,和以* 0k* 0kdxexVaVanxain2)(1. )(2m T T4)1 (T )(2m(4)1 ()(2m 4)(21 22n22n22n2222222222

8、0000状态的动能代表自由电子在由此求得ankanVanVanVEEEEEnnnkkkk下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论：dxexVaVnammkTVnakVExanLAxanLAiVTEVTEankankaanxainnnnngkknnknnk22222)(1 22.2, 2cos2sin2 0 .的绝对值的两倍的傅立叶分量波矢为式中它等于周期性势能展开禁带宽度驻波量的状态）时：变成两个不同能及（示意图示意图1 1由此可见，这里零级近似波函数代表驻波。产生驻波的由此可见，这里零级近似波函数代表驻波。产生驻波的原因是波矢为原因是波矢为k=n /a的平面波，其波长为的平面波，其波长为 =2

9、 /k=2a/n正正好满足布拉格反射条件，入射波遭到全反射而形成驻波。好满足布拉格反射条件，入射波遭到全反射而形成驻波。相应电子概率密度分布（相应电子概率密度分布（示意图示意图） + +k k波函数在靠近正离子的区域几率密度小，受到的波函数在靠近正离子的区域几率密度小，受到的吸引弱，势能较高，绝对值较小。吸引弱，势能较高，绝对值较小。 - -k k波函数在靠近正离子的区域几率较大，受到强的波函数在靠近正离子的区域几率较大，受到强的吸引，势能是较大的负值。吸引，势能是较大的负值。 Eg是禁带宽度，中间的能量状态是不允许的。是禁带宽度，中间的能量状态是不允许的。dxexVaVnamTVTkmVTE

10、VTkmVTEknanananakknanananakTVTbanxainnnnnnknnnnknnn2222222)(1 2 212212 )1( )1( 10 .：，满足，且示意图示意图2 26.2.3 能带结构及图示能带结构及图示(1) 能带和禁带能带和禁带 lNakmkEk 22220能能带带禁禁带带处断开曲线在在周期势场微扰作用下nakEk,nV2准连续能带位置及宽度禁带a.周期场中运动的电子其能量状态形成一系列被禁带周期场中运动的电子其能量状态形成一系列被禁带隔开的能带隔开的能带b.禁带出现的位置以及禁带的宽度由晶体结构和势场禁带出现的位置以及禁带的宽度由晶体结构和势场函数决定函数

11、决定c.当散射波的幅度很小时当散射波的幅度很小时,电子的状态和自由电子很相电子的状态和自由电子很相似似,但当散射波波矢和入射波波矢接近时但当散射波波矢和入射波波矢接近时,它们互相干它们互相干涉形成驻波涉形成驻波,这样能量的电子波不能进入晶体这样能量的电子波不能进入晶体,不佳在不佳在晶体中存在晶体中存在,因此在自由电子准连续的能谱中形成禁因此在自由电子准连续的能谱中形成禁带带.这就是禁带形成的原因这就是禁带形成的原因.d.一维情况下，每个能带对应的一维情况下，每个能带对应的k的取值范围为的取值范围为2 /a，即一个倒易原胞的长度。即一个倒易原胞的长度。(2) (2) 布里渊区：每个能带对应的波矢

12、布里渊区：每个能带对应的波矢k k的区域的区域(3) (3) 能带结构示意图的三种图式能带结构示意图的三种图式周期图式周期图式 简约布里渊区图式简约布里渊区图式拓展布里渊区图式拓展布里渊区图式)2()()()()()(.,2nakEkEGkEkErrkTnakkhGkkh一维情况下：的周期函数即它是征值这两个状态有相同的本因为对于平移算符等价和波矢)2()()()()()(nakEkEGkEkErrhGkkh 一一维维情情况况下下：a. 周期图式周期图式K K 限制在简约布里限制在简约布里渊区，渊区，E Ek k是是k k 的多值函的多值函数。第一布里渊区的每数。第一布里渊区的每个能带在整个个

13、能带在整个k k空间周期空间周期性重复。性重复。b. 简约布里渊区图式简约布里渊区图式c. 拓展布里渊区图式拓展布里渊区图式三种方法完全等价，三种方法完全等价，因此要标记电子状态必须因此要标记电子状态必须指明它的简约波矢及所处指明它的简约波矢及所处的能带编号。的能带编号。按能量从低到高将按能量从低到高将E Ek k取值分布限制在各布里渊取值分布限制在各布里渊区。区。 扩展布里渊区图示 简约布里渊区图示 (a) E(k)k关系 (b) 能带 (c) 第一布里渊区 图2.4 晶体中电子的E(k)k关系二维简约布里渊区图示.6.2.4 三维晶格的能带三维晶格的能带 布里渊区布里渊区*1. 三维情况下

14、近自由电子近似的计算结果三维情况下近自由电子近似的计算结果为为正正点点阵阵原原胞胞的的体体积积 )(1)()( )()()()()(2)()(332211022rderVVbnbnbnGrVVeVrVRrVrVrErrVmrErHrGinnnrGinnkkkkkknn 33322211122002 1)( bNlbNlbNlkmkEVeVrkrkik为为晶晶体体体体积积零零级级近近似似： nGkknkknGkkrGinrkiknnnEEVEEEEeVeVr002000*11)( 微微扰扰计计算算：0321不不同同时时为为、nnn nkknkkknnnVEEVEEEGkGGkk0022 021：

15、时时：，即即当当。围的区域称为布里渊区围的区域称为布里渊区发生突变。由中垂面包发生突变。由中垂面包上，上，中垂面中垂面区域边界区域边界是准连续变化的，而在是准连续变化的，而在对于对于相相量量每个区域内部电子的能每个区域内部电子的能间分割为许多区域，在间分割为许多区域，在空空格点连线的中垂面将格点连线的中垂面将空间，原点和所有倒易空间，原点和所有倒易在在E)(Ekkk周期性势场模型周期性势场模型返回返回xZexV024)(孤立原子势场孤立原子势场V Vx x散散 射射 示示 意意 图图返回返回naknanao 22sin290对三维情况同样适用，沿着波矢k的方向形成驻波。几几 率率 密密 度度 分分 布布返回返回2k2kxanLAxanLAikkcos2sin2 cos2 sin2 22xanLAexanLAiekkkkEkk 示示 意意 图图 1返回返回mkEk2220 Ekk 示示 意意 图图 2返回返回 nnnnknnnnkVTkmVTEVTkmVTE2122122222 波波 矢矢 示示 意意 图图返回返回量子围栏照片量子围栏照片4K4K温度下温度下,