多元复合函数的求导法则(24)

1、第四节多元复合函数的求导法则 第十一十一章 一元复合函数一元复合函数),(),(txxfy 求导法则求导法则txxytydddddd ttxfxxfyd)()(d)(d 微分法则微分法则)(tfy 第四节多元复合函数的求导法则 第十一十一章 一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、一阶全微分的形式不变性二、一阶全微分的形式不变性整理课件2一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则),(),(),(yxyxvyxu在在点点和和设设函函数数 处处在在对对应应点点),(),(vuvufz 可可微微，则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 处处可可导导，

2、且且在在点点),(yx定理定理11.5 xz ,的的偏偏导导数数及及具具有有对对yx uz xu vz xv yz uz yu vz yv zvuyxyx整理课件3若若引引入入记记号号：,),(),(21vvuffuvuff ，xyxxyx ),(),(11，xvvzxuuzxz 11 f12f 21f 22 fyvvzyuuzyz 则则整理课件4注注. 1 复合关系图复合关系图(结构图结构图) xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv uvxzy口诀口诀 : “连线相乘，分线相加连线相乘，分线相加”;“项数项数 = 通向该自变量的路径数通向该自变量的路径数”. “单单路路全全导

3、导, 叉叉路路偏偏导导”xy整理课件52 其他情形其他情形 函数关系函数关系 结构图结构图求导公式求导公式)()(),(xvxuvufz zuvx全导数全导数),(yxu )(yv ),(vufz uzvxyxuuzxz yvvzyuuzyz ddxvvzxuuzxz ddddddxy整理课件6 函数关系函数关系 关系图关系图 求导公式求导公式),()(yxuufz ,ddxuuzxz yuuzyz dduyxz),(),(yxwwyxfz zwxxyyxwwfxfxz ),(),(),(),(yxwwyxvvyxuuwvufz zwxuvyyxywwzyvvzyuuzyz ywwfyfyz

4、xwwzxvvzxuuzxz 变量变量x一身兼一身兼两职两职xy整理课件7),(wyxfz ),(yxw 即即),(wvufz , xu , yv ),(yxw zz duzwxu dxwx1zzwuwx ,xwwfxf zw xxyy, 1 xu, 0 xv,0 yu. 1 yvyzw xuv y x整理课件8若定理中若定理中 3 ),(),(vuvuf在在点点偏导数连续偏导数连续减弱为减弱为偏导数存在偏导数存在, 则定理结论则定理结论不一定成立不一定成立.整理课件9解法解法1 xz uzxu vzxv yveu sin),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv xveu sin

5、).cossin(vvxeu 1. 中间变量均为多元函数的情形中间变量均为多元函数的情形例例11cos veu1cos veu,sinyxvyxuvezu 设设.,yzxz 求求zvuyxyx整理课件10解法解法2vezusin )sin(yxexy xz )sin(yxyexy1)cos( yxexy)cos()sin(yxyxyexy 整理课件11例例2解解uwv.),(的的一一阶阶偏偏导导数数偏偏导导数数，求求函函数数有有一一阶阶连连续续其其中中设设ufzyyxfu 则则设设,zywyxv .,),(复复合合而而成成由由zywyxvwvfu xuvu vf yuvu yxvf xv ,1

6、y yv wu yw )(2yx wf z1 zy整理课件12 zuwu wf .2wfzy 21),(),(fwwvffvwvf，,11 fyxu若使用记号若使用记号:则上述结果可表示为则上述结果可表示为:zywyxvwvfu ,),(,1212 fzfyxyu.22 fzyzuzw )(2zy uwvyxzy整理课件132. 中间变量均为一元函数的情形中间变量均为一元函数的情形例例3解解.dd,0)(,)()(xyxfxfyx求求其其中中设设 令令),(),(xvxfu 则则,vuy 所所以以1 vvu.)(ln)()()()()()( xfxxfxfxxfxxvvyxuuyxy dddd

7、dd )( xf )(ln uuv )( x yxuvx整理课件143.中间变量只有一个的情形中间变量只有一个的情形例例4 yzxz,求求解解)(yxyu 令令zuxyxuduzxz dyuf )()(yxyfy yuuzyz dd)()(yxuf )()(yxyfyx 可微，可微，其中其中设设,),(fyxyfz 整理课件154.中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形例例5.,sin,2222yuxuyxzeuzyx 及及求求设设解法解法1222),(zyxezyxfu 令令uzxxyyxzzfxfxu xezyx2222 zezyx2222 yxs

8、in2 .)sin21(22sin42222yxyxeyxx yzzfyfyu yezyx2222 zezyx2222 yx cos2 .)2sin2(2sin4224yxyxeyxy 整理课件16解法解法2yxyxeu2422sin xu注注. 对具体函数，用对具体函数，用解法解法2 较简单较简单.2422sinsin2422xyxyxyxyxe）（ ）（yxxeyxyx23sinsin422422 整理课件17为简便起见 , 再引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxf 例例6 设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw 求求.,2zxwxw 解

9、解 令令,zyxvzyxu xw wvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy 则则zxw 2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy 121 fyxf 2221,ff 整理课件18例例7解解.,),(2yxzevxyuvufzx 求求设设 xz 1f xyz11 fvuzuz vz xvdd xu y 2f,xe vu21ff 1fy 2fex.21111xxeffxyf x x 1 1 )(xzyxxyxxy整理课件19例例8解解),(xyxfv 令令 xuxvxv )(xwwfxfxv )(221xyffxf .21

10、fxyfxf yuxu ,求求vwxxy.xyw ux yuyvvu ywwvvu 221fxfx .2yxu 及及.),(的的二二阶阶偏偏导导数数存存在在设设fxyxxfu 整理课件20 yxu2)(xuy )(21fxyfxfy fwxxy1f 2f xf12xfx112 .22212fxyf xywwxfvxvu ),(xu .21fxyfxf )11-222xfxyfx （整理课件21二、一阶全微分形式不变性二、一阶全微分形式不变性有连续的偏导数，则有连续的偏导数，则设设),(vufz vvzuuzzddd 当当 u, v 是自变量时，是自变量时，有有当当 u, v 是中间变量时，是中

11、间变量时，若若),(, ),(yxvyxu 均有连续的偏导数，则均有连续的偏导数，则yyzxxzzddd xxvvzxuuzd)( yyvvzyuuzd)( 整理课件22xxvvzxuuzd)( yyvvzyuuzd)( uz vz )dd(yyuxxu )dd(yyvxxv uz udvz vddz无论无论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, 其一阶其一阶全微分表达形式都一样全微分表达形式都一样, 均有均有 一阶一阶 全微分形式不变性全微分形式不变性一阶全微分形式不变性的实质一阶全微分形式不变性的实质:.dddvvzuuzz 整理课件23已已知知 02 zxyeze，求求

12、 xz 和和 yz . . 解解, 0)2d( zxyeze, 0dd2)d( zezxyezxy)dd(d)2(xyyxezexyz yexexeyezzxyzxyd)2(d)2(d xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe例例9整理课件24内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则“连线相乘连线相乘, 分线相加分线相加, 单路全导单路全导, 叉路偏导叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfu uvyxyx xu1f 3f;1 yu2f 3f2 2. 一阶全微分形式不变性一阶全微分形式不变性, ),(vufz 对对不论不论 u , v 是自变量还是

13、因变量是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d 整理课件25思考与练习思考与练习解解 vz2)(11yx 1 vx xz yz vy )(2yx )1( y1 2)(11yx 22yxxy 22vuu 1. 设设，vuyvuxyxz ,arctan.vz 求求整理课件262. 设设 xuy1 1f ，11fy yu1f )(2yx 2f z1 zu2f )(2zy ，2121fzfyx .22fzy zyyxfu, 其中其中f 可微可微,求求u的一阶偏导数的一阶偏导数.解解整理课件273.,1),(2 xyyxf,2),(21xyxfxy 已知已知求求.),(22xyyxf

14、 解解 由由1),(2 xxf两边对两边对 x 求导求导, 得得02),(),(2221 xxxfxxfxxxf2),(21 1),(22 xxf整理课件28备用题备用题例例1-1解法解法1.,23,ln2yzyxvyxuvuz 求求而而设设代代入入，得得到到复复合合函函数数，把把vu),23ln(22yxyxz ：数数的的方方法法求求再再利利用用多多元元函函数数求求偏偏导导yz 322yx yz)23ln(yx 22yx yx232 .2312)23ln(22322yxyxyxyx 整理课件29uzv画出关系画出关系yvvzyuuzyz 写出公式写出公式vu ln2 求出各偏导数求出各偏导数

15、.)23(2)23ln(23232yxyxyxyx 将将x，y代入代入利用多元复合函数的求导法则利用多元复合函数的求导法则:解法解法2xy 2yxvu12 )2( 整理课件30例例1-2解解.,cos,sin,22yzxzyxvyxuuvvuz 和和求求设设 xzxvvzxuuz )2(2vuv yyyx2sin)cos(sin232 zvuyxyxysin)2(2uvu ycos整理课件31,cos,sin,22yxvyxuuvvuz yzyvvzyuuz )2(2vuv yx cos)2(2uvu )sin(yx .12sin23)cos(sin3 yyyxzvuyxyx整理课件32例例3

16、-1.dd),(),(22xzfxyyxxyfz求求可微，可微，设设 解解 xzdd)dd1(1xyxyf )dd22(2xyyxf 1)(fxxy .)()( 22fxxx z12yxxx整理课件33例例3-2 设设 ,sintvuz .ddtzztvutttzddtev tttetcos)sin(cos tuuzdd tvvzdd tz 求全导数求全导数,teu ,costv 解解tusin tcos 整理课件34,)(xuuf 设设, )(ufz 方程方程 )(uu xytdtp )(确定确定 u 是是 x , y 的函数的函数 ,)(, )(可可微微其其中中uuf)(),(utp 连续

17、连续, 且且,1)( u求求.)()(yzxpxzyp 解解 xzyuufyz )(xuuxu )()(xp yuuyu )()(yp xu)(1)(uxp yu)(1)(uyp )(uf yzxpxzyp)()( yuxpxuyp )()(0 例例4-2整理课件35例例6-1.),(),(),(zuxuzxhttxgyzyxfu 及及均均可可微微，求求设设解解uzxxytxzxyyfxfxu fgh)(xhtgxgyfxf xhtgyfxgyfxf zfzhtgyfzu 整理课件36例例6-3) )1 ,1(,1()1(ff 1)(dd3 xxx1)1 ,1( f1dd)(32 xxx )(132 ),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1 x 351 ,1)1 ,1( f,),(,()(xxfxfx ,2)1 , 1( xf求求.1)(dd3 xxx),(yxfz 在点在点)1 ,1(处可微处可微 , 且且设函数设函数,3)1 , 1( yf解解 由题设由题设 2 3 )32( (2001考研考研)整理课件37例例7-