第15章逻辑代数及逻辑门电路

1、1 1第15章 逻辑代数及逻辑门电路15.1逻辑代数的基本概念逻辑代数的基本概念15.2逻辑函数的化简逻辑函数的化简15.3无关项逻辑函数及化简法无关项逻辑函数及化简法2 215.1 逻辑代数的基本概念逻辑代数的基本概念15.1.1 基本逻辑关系基本逻辑关系1. 与逻辑与逻辑 与逻辑的演示电路如图15.1所示，只有当开关A、B都闭合时，灯Y才亮，否则灯不亮。从此例中可抽象出这样的逻辑关系：当决定某事件的所有条件都具备时，该事件才发生。这种因果关系称为逻辑与关系，或称为逻辑乘。若用A、B表示开关的状态，用1表示开关闭合， 0表示开关断开；用Y表示灯的状态，用1表示灯亮， 0表示灯灭；则可列出A、

2、B和Y之间的与逻辑关系表15.1。这种表称为逻辑真值表或简称为真值表。3 3图 15.1 与逻辑演示电路4 45 5与逻辑关系的表达式为 Y=AB 6 62. 或逻辑或逻辑或逻辑的演示电路如图15.2所示，开关A、B中只要有一个闭合，灯Y就会亮。从此例中可抽象出这样的逻辑关系：在决定某事件的各个条件中，只要具备一个或一个以上的条件，该事件就会发生，这种因果关系称为或逻辑，或称为逻辑加。或逻辑的真值表如表15.2所示。或逻辑关系的表达式为 Y=A+B 7 7图 15.2 或逻辑演示电路8 89 93. 非逻辑非逻辑非逻辑的演示电路如图15.3所示，开关A闭合，灯Y就不亮；开关A断开，灯Y就亮。从

3、此例中可抽象出这样的逻辑关系: 只要某个条件具备，结果便不会发生；而条件不具备时，结果却一定发生。这种因果关系称为非逻辑，或称为逻辑求反。非逻辑的真值表如表15.3所示。非逻辑关系的表达式为 其中逻辑关系A上方加符号“”表示非的关系。AY 1010图 15.3 非逻辑演示电路1111121215.1.2 复合逻辑复合逻辑实际的逻辑问题往往比与、或、非复杂得多，不过它们可以用基本逻辑通过不同的组合来实现。最常见的复合逻辑如下：(1) 与非逻辑：逻辑表达式为Y=AB， 逻辑符号如图15.4(a)所示。(2) 或非逻辑： 逻辑表达式为Y=A+B， 逻辑符号如图15.4(b)所示。(3) 异或逻辑：逻

4、辑表达式为Y=A B, 逻辑符号如图15.4(c)所示。(4) 同或逻辑： 逻辑表达式为Y=A B， 逻辑符号如图15.4(d)所示。(5) 与或非逻辑： 逻辑表达式为Y=AB+CD， 逻辑符号如图15.4(e)所示。1313图 15.4 常见复合逻辑的逻辑符号141415.1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式1. 常量之间的关系常量之间的关系 00=0 0+0=0 01=0 0+1=1 11=1 1+1=1 0=1 1=02. 变量和常量的关系变量和常量的关系 A1=AA+1=1 A0=0A+0=A15153.各种定律各种定律(1)交换律：ABBA，ABBA；(2

5、)结合律：A(BC)(AB)C，A(BC)(AB)C；(3)分配律：ABC(AB)(AC)，A(BC)ABAC；(4)互非定律：AA0；(5)重叠定律(同一定律)：AAA，AAA；(6)反演定律(摩根定律)：ABAB，ABAB；(7)还原定律：AA。16164.常用导出公式常用导出公式(1)AABA。证证AABA(1B)A1A(2)AABAB。证证AAB(AA)(AB)AB(用分配律)(3)ABABA。证证ABABA(BB)A1A(4) A(A+B)=A。证证 A(A+B)=AA+AB=A+AB=A(1+B)=A1=A 1717(5) ABACBCABAC。证证ABACBCABACBC(AA)

6、 ABACABCABC AB(1C)AC(B1) ABAC推理推理ABACBCDABAC证证右ABACBCABACBC(D1)ABACBCDBCABACBCD左181815.1.4逻辑代数的基本运算规则逻辑代数的基本运算规则1.代入规则代入规则在任何一个逻辑等式中，若将等式两边出现的同一变量代之以另一函数，则等式仍成立。【例【例15.1】证明：ABCABC。解解根据摩根定律ABAB或ABAB，用BBC代入原式两边的B中，则有ABCABCABC成立。 1919【例【例15.2】已知YA(BC)CD，求。解解根据反演规则写出Y(ABC)(CD) ACADBCB C D ACBCAD 2020【例【

7、例15.3】若YABCDC，求Y。解解根据反演规则写出 Y(AB)CDC反演规则为求取已知逻辑式的反逻辑式提供了方便。使用反演规则时要注意以下两点： (1) 仍需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算规则。(2) 不属于单个变量上的反号应保留不变。21213.对偶规则对偶规则(1)对偶式的概念：对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“”换成“”，将“”换成“”，将0换成1，将1换成0，可得到一个新的逻辑式Y，这个Y就称为Y的对偶式，或者说Y和Y互为对偶式。【例【例15.4】若YA(BC)，则YABC；若YABC，则YABC。(2)对偶规则：若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。 2222 15.2

8、逻辑函数的化简逻辑函数的化简15.2.1 逻辑函数及表示方法逻辑函数及表示方法从上节讲过的各种逻辑关系中可以看到，如果以逻辑变量作为输入量，以运算结果作为输出量，则输出输入之间是一种函数关系。这种函数关系称为逻辑函数，写作：Y=F(A，B，C，)任何一具体事物的因果关系都可以用一个逻辑函数来表述。表示逻辑函数的方法一般有以下5种。(1) 真值表：描述逻辑函数各个变量取值的组合和函数值对应关系的表格称为函数的逻辑真值表。若逻辑函数有n个变量，则有2n个不同变量的组合。将输入变量的全部取值组合和相应的输出函数值一个一个列出来，即可得到真值表。2323(2) 函数式：用与、或、非等基本逻辑运算符号来

9、表示逻辑函数式中各个变量之间的关系。它可以从实际问题分析中直接写出，也可以由真值表、逻辑图写出。(3) 逻辑图：它将逻辑函数式的运算关系用对应的逻辑符号表示出来。(4) 卡诺图：它利用图示的方法，将各种输入逻辑变量取值组合下的输出函数一一表达出来。(5) 波形图：它利用波形图示的方法，画出输入逻辑变量和输出函数的对应关系。242415.2.2 逻辑函数的最小项标准形式逻辑函数的最小项标准形式在讲述逻辑函数的标准形式之前，先介绍最小项的概念，而后介绍逻辑函数的最小项之和的表达形式。最小项的性质如下：在n变量函数中，若m为包含n个因子的乘积项，且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则

10、称m为该组变量的一个最小项。25252626最小项具有下列性质：(1) 在输入变量的任何取值下，必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1；(2) 全体最小项之和为1；(3) 任意两个最小项的乘积为0；(4) 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项，并可消除一对因子。2727【例【例15.5】将逻辑函数YABCDACDAC展开为最小项之和的形式。解解)15,14,11,10, 9 , 7 , 3(DCBACDBADABCABCDCDBABCDADCBA)DC(DBA)DABC(DCDBABCDADCBA)D)(DBAC(B)BCD(BAKCBAACCDADCBAY10111415379mmm

11、mmmmm2828【例【例15.6】写出三变量函数的最小项之和表达式。解解)7 , 6 , 1 (CABABCCBA)CAB(CCCBCBAABCB)CA(ABCBACABCBACABCBACYmABCBACY2929【例【例15.7】已知三变量的真值表15.5，求最小项之和的表达式。解解根据真值表写出逻辑函数的表达式：)6 , 5 , 4 , 1 (CABCBACBACBAY6541mmmmm3030313115.2.3 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法1. 逻辑函数的最简形式逻辑函数的最简形式同一逻辑函数可以写成不同的逻辑式，而这些逻辑式的繁简程度又相差甚远。逻辑形式越简单，它所表

12、示的逻辑关系就越明显，同时也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑关系。因此，经常需要通过化简的手段找出逻辑函数的最简形式。3232例如：有两个逻辑函数Y=ABC+BC+ACD和Y=AC+BC,因为 Y=ABC+BC+ACD =(ABC+BC)+ACD =AC+BC+ACD =AC+BC所以两式表示的是同一逻辑函数。又如：逻辑函数Y=A+AC+AB，可化简为 Y=A+C3333这样一来，化简后使用较少的电子器件就可以完成同样的逻辑功能。上面化简的形式一般称为与或逻辑式，最简与或逻辑式的标准如下：(1) 逻辑函数式中乘积项(与项)的个数最少；(2) 每个乘积项中的变量数最少。下面主要介绍与或逻辑式的

13、化简方法。34342. 公式化简法公式化简法公式化简的原理就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式，消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以求得函数式的最简形式。1) 并项法 利用公式AB+AB=A，将两项合并为一项，消去一个变量，其中A、B可以是复杂的逻辑函数式。【例【例15.8】 化简逻辑函数Y=ABC+ABC+AB。 解解ABAABBA)CAB(CBACABABCY3535【例【例15.9】 试用并项法化简下列逻辑函数:BCDDCBDBCDCBYCBCACBAYCDABAACDBAYCDBACDBAY43213636BCBBCBCDDCBDBCDCBYC1)(AC)BB(AC)BABA(

14、C)B(ACCBACBCACBAYCDB)ACD)(AB(CD)B(ACD)BA(ACDBAACDBAYA)BAAB,CDBBCD,BB(A CD)BCDBA(Y4321利用37372) 吸收法 利用公式A+AB=A可将AB项消去。【例【例15.10】 试用吸收法化简下列逻辑函数:BCA)DCBABC)(ABC)(AYABDCCDCABABYADADC)BADBA(YBC)DCBA(BCAAYDABCABCABDCABABYADC)ABDBA(Y321321解解38383) 消项法 利用公式AB+AC+BC=AB+AC将多余项BC消除，其中A、B、C可以是复杂的逻辑表达式。【例【例15.11】

15、 用消项法化简下列逻辑函数:EBADCBA)ED(C)EBA(D)CB(AYCBACCBBAACYEDCEBADCBAYCBBAACY2121解解39394) 消因子法 利用公式A+AB=A+B将AB中的A因子消去，其中A、B均可是任何复杂的逻辑式。【例【例15.12】 利用消因子法化简下列逻辑函数:DAC DACAC )CAD(AC DCDAACYBABABBAYACBB(AC)BYDCDAACYBABBAYABCBY321321解解40405) 配项法 利用公式A+A=A可以在逻辑函数中重复写入某项，有时可能获得更加简单的化简结果。【例【例15.13】 化简逻辑函数。解解 ABCBCACB

16、AYBCBAA)ABC(C)CB(AABCBCABCACBAY4141【例【例15.14】 化简逻辑函数 。 解解 CBBDABCDBCABDDABCYB1)DB(AC)DCB(A)DC(D)CB(AC)CDCDB(ACCBDBCBDABCCBDBC1)BD(A1)DABC(CBBDABCDBCABDDABCY424215.2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法1. 最小项的卡诺图最小项的卡诺图将n变量的全部最小项各用一个小方格表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形称为n变量最小项的卡诺图(该图是美国工程师卡诺首先提出的)。最小项逻辑变量卡诺图

17、的画法：n个逻辑变量，就有2n个最小项，需要2n个小方块。图15.5所示为两变量、三变量、四变量的卡诺图。4343图 15.5 卡诺图(a) 两变量；(b) 三变量；(c) 四变量4444卡诺图将逻辑相邻性通过几何相邻实现，给逻辑函数化简带来简便直观的方法。逻辑变量最小项用卡诺图表示的方法如下：(1) 根据逻辑函数所包含的逻辑变量数目，画出相应的最小项卡诺图(2n个方块)；(2) 根据逻辑函数中包含的最小项，在最小项卡诺图上找到对应的方块，并填上1，函数中不包含的最小项对应的方块处填0(什么都不填，空着也行)。【例【例15.15】 用卡诺图表示逻辑函数BAACDDBADCBAY4545解解89

18、1061115461DCBADCBADCBACDBAABCDDCBADBCADCBADCBADCBADCBACDBACDBAABCDDCBADBCADCBA)D(DCBA)DC(DBACDBAABCDDCBADBCADCBA)D)(DC(CBA)BACD(B)C(CDBADCBAYmmmmmmmmm卡诺图如图15.6所示。4646【例【例15.16】 逻辑函数的卡诺图如图15.7所示，试写出该逻辑函数的逻辑式。解解ABCCBACBACBAY图 15.7 例15.16卡诺图4747【例【例15.17】 已知逻辑函数的真值表如表15.6所示，试画出对应的最小项卡诺图。解解 卡诺图如图15.8所示。

19、CCABCBACBACBAY图15.8 例15.17卡诺图484849492. 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为卡诺图化简法，或称为图形化简法。化简时依据的基本原理是具有相邻性的最小项可以合并，以消除不同的因子。合并最小项的规律如下：(1) 若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一对因子，合并后的结果中只剩下公共因子；(2) 若四个最小项相邻，则可合并为一项并消去两对因子，合并后的结果中只包含公共因子；(3) 若八个最小项相邻，则可合并为一项并消去三对因子，合并后的结果中只包含公共因子。由此类推，可以归纳出合并最小项的一般规则：如果有2n个最小项相邻(n

20、=1，2，3，)，则它们可合并为一项，并消去n对因子，合并后的结果中仅包含这些最小项的公共因子。5050图15.9所示分别为两个最小项、四个最小项、八个最小项合并成一项时的一些情况。5151 图 15.9 卡诺图化简举例5252【例【例15.18】 用卡诺图化简下列逻辑表达式：(1) Y1(A，B，C，D)=m(1，3，5，7，8，9，10，12，14)(2) Y2(A，B，C，D)=m(0，1，4，5，9，10，11，13，15)(3) Y3(A，B，C，D)=m(0，2，5，6，7，8，9，10，11，14，15)解解 (1) 根据函数的表达式画出相对应的最小项变量卡诺图，如图15.10所

21、示。5353CBADACACBADACDCABDADBADCBADCBADCBADABCDCBADCABBCDADCBACDBADCBAY(2) 根据函数的表达式画出相对应的卡诺图，如图15.11所示。CBAADCACBADBAABDCBACBADCBACDBACDBADCBAABCD|DCABDCBADCBADCBADCBAY5454图 15.10 例15.18(1)卡诺图5555图 15.11 例15.18(2)卡诺图5656(3) 根据函数的表达式画出相对应的卡诺图，如图15.12所示。DBBDABCDCBADCBADCBADCBADCB ABCDADCBADABCABCDDBCABCD

22、ADCBADABCDBCADCB ADCBACDBADCBADCBAY5757图 15.12 例15.18(3)卡诺图585815.3 无关项逻辑函数及化简法无关项逻辑函数及化简法15.3.1 约束项、任意项和逻辑函数中的无关项约束项、任意项和逻辑函数中的无关项在分析某些逻辑函数时，经常会发现输入变量的取值不是任意的。对输入变量取值所加的限制称为约束，把这一组变量称为具有约束的一组变量。例如有三个逻辑变量A、B、C，它们分别表示一台电动机的正转、反转和停止命令，A=1 表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止。因为电机任何时候只能执行其中的一个命令，所以不允许两个或两个以上的变量同时为1。A、

23、B、C的取值可能是001、010、100当中的某一种，即不能是000、011、101、110、111中的任何一种，因此A、B、C是一组具有约束的变量。5959通常用约束条件来描述约束的内容。用文字来叙述约束条件很不方便，一般用简单、明了的逻辑语言表达约束条件。约束项：逻辑变量之间具有一定的约束关系，使得有些变量的取值组合不会出现，这些不会出现的取值组合所对应的最小项称为约束项。 任意项：在逻辑变量的取值下， 允许函数值取1或0， 且都不影响电路的功能，这些变量的取值所对应的最小项称为任意项。无关项：把约束项和任意项统称为逻辑函数无关项。无关项是指把这些最小项写入逻辑函数式时无关紧要，它们不影响逻辑函数的输出结果。6060由于每组输入变量的取值都只能是一个，仅有一个最小项的值为1，因此当限制某些输入变量的取值不能出现时，可以用它们所对应的最小项恒等于0来表示。上例中的约束条件可以表示为0ABCCABCBABCACBA0ABC0CAB0CBA0BCA0CBA或写成这些恒等于0的最小项就称为约束项。616115.3.2 无关项在化简逻辑函数中的应用无关项在化简逻辑函数中的应用化简具有无关项的逻辑函数时，如果能合理地利用这些无关项，一般都可以得到更加简单的化简结果。为达到此目的，加入尽可能多无关项应用函数式的最小项(包括原有的最小项和已写入的无关项