第17章 压杆稳定

1、一、一、工程中的压杆工程中的压杆二、二、压杆的失效形式压杆的失效形式三、三、压杆失稳的实例压杆失稳的实例17.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念四、四、压杆稳定的概念压杆稳定的概念一、工程中的压杆：一、工程中的压杆： 网架结构中的杆网架结构中的杆 网架结构中的杆网架结构中的杆一、工程中的压杆：一、工程中的压杆： 网架结构中的杆网架结构中的杆一、工程中的压杆：一、工程中的压杆： 钢结构桥梁中的杆钢结构桥梁中的杆一、工程中的压杆：一、工程中的压杆： 铁塔中的杆铁塔中的杆一、工程中的压杆：一、工程中的压杆： 小亭的立柱小亭的立柱一、工程中的压杆：一、工程中的压杆： 桥墩桥墩一、工程中的压杆：一、工程中

2、的压杆： 吊车的顶杆吊车的顶杆一、工程中的压杆：一、工程中的压杆： 火车卧铺的撑杆火车卧铺的撑杆一、工程中的压杆：一、工程中的压杆： 压力机的压杆压力机的压杆一、工程中的压杆：一、工程中的压杆： 强度不足强度不足 失失 稳稳 粗短压杆粗短压杆细长压杆细长压杆二、压杆的失效形式二、压杆的失效形式N AF 1. .1907年加拿大圣劳伦斯河在架奎年加拿大圣劳伦斯河在架奎伯克桥时，由于悬臂桁架中的伯克桥时，由于悬臂桁架中的一根压杆一根压杆失稳失稳，造成桥梁倒塌，造成桥梁倒塌，9000吨钢材变成吨钢材变成一堆废墟。一堆废墟。三、压杆失稳的实例三、压杆失稳的实例19071907年加拿大魁年加拿大魁北克桥

3、的失稳北克桥的失稳( (跨度跨度548m,548m,重重9000T9000T。8686人施工，死人施工，死7575人人) ) 2. .1922年冬天下大雪，美国华盛顿年冬天下大雪，美国华盛顿尼克尔卜克尔剧院由于屋顶结构中的尼克尔卜克尔剧院由于屋顶结构中的一一根压杆超载失稳根压杆超载失稳，造成剧院倒塌，死，造成剧院倒塌，死98人，伤人，伤100余人。余人。 3. .2000年年10月月25日日上午上午10时时30分，分，在南京电视台演播中心演播厅屋在南京电视台演播中心演播厅屋顶的顶的浇浇筑混凝土施工中，因筑混凝土施工中，因脚手架失稳脚手架失稳，造成，造成演播厅屋演播厅屋顶顶模板倒塌，死模板倒塌，

4、死5人，伤人，伤35人人。第一节第一节 压杆稳定的概念压杆稳定的概念1.1.稳定的分类稳定的分类无穷多个无穷多个平衡点平衡点随遇平衡随遇平衡一个平衡一个平衡点点稳定稳定平衡平衡没有平衡没有平衡点点不稳不稳定平衡定平衡2.2.失稳的定义失稳的定义压杆从直轴线状态下的稳定平衡转化为微曲状态压杆从直轴线状态下的稳定平衡转化为微曲状态下的不稳定平衡成为失稳。下的不稳定平衡成为失稳。临界压力临界压力-使压杆失稳的压力称为临界压力。使压杆失稳的压力称为临界压力。四、压杆稳定的概念四、压杆稳定的概念F轴压轴压F（较小）（较小）压弯压弯F（较小）（较小）恢复恢复直线平衡直线平衡曲线平衡曲线平衡直线平衡直线平衡

5、QF（特殊值）（特殊值）压弯压弯失稳失稳曲线平衡曲线平衡曲线平衡曲线平衡F（特殊值）（特殊值）保持常态、稳定保持常态、稳定失去常态、失稳失去常态、失稳QQ Q压杆失稳的现象：压杆失稳的现象：1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线直线平衡状态；平衡状态；2. 轴向压力增大到某一特殊值时，轴向压力增大到某一特殊值时，直线直线不再是杆件唯不再是杆件唯一的平衡状态；一的平衡状态；稳定稳定： 理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）（Stable） 直线平衡状态；直线平衡状态；失稳失稳： 理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直理想中心压杆丧

6、失稳定的（唯一的）直（Unstable） 线平衡状态；线平衡状态；压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值临界力临界力（Critical force）17.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆临界力的欧拉公式思路：思路： 假设压杆在某个压力假设压杆在某个压力Fcr作用下在曲线状态作用下在曲线状态平衡，平衡，1）求得的挠曲函数）求得的挠曲函数0，2）求得不为零的挠曲函数，）求得不为零的挠曲函数，然后设法去求挠曲函数。然后设法去求挠曲函数。 若：若：平衡状态；平衡状态；说明只有直线说明只有直线确能够在曲线状态下平衡，确能够在曲线状态下平衡，说明压杆的说明压杆

7、的稳现象。稳现象。即出现失即出现失设：设：FFxylFxyyx xMwEI FwxMEIFk 202 wkwxy由由M(x)FN压杆处于微弯状态，压杆处于微弯状态，且且 p一、两端铰支细长压杆的临界压力一、两端铰支细长压杆的临界压力kxBkxAwcossin (c)0cossin01 0 BklAklBA0B0sin kl(n = 0，1，2，)lnk x=0，w=0 x=l，w=002 wkw，2 ,0 kl由由kl 有有cr lEIF22cr lEIF亦即亦即两端铰支细长中心压杆临界力公式：两端铰支细长中心压杆临界力公式：22crlEIF 讨论：讨论：失稳挠曲线失稳挠曲线半正弦波曲线半正弦

8、波曲线lxAwsinmax2wwAlx 杆在任意微弯状态下保持平衡时杆在任意微弯状态下保持平衡时 为不确定的值。为不确定的值。 这是因为推导过程中是用的这是因为推导过程中是用的挠曲挠曲线近似微分方程。线近似微分方程。临界压力的精确解临界压力的精确解精确解精确解 EIxM 1 EIxMw （近似解近似解）欧拉解欧拉解22crlEIF 精确失稳挠曲线微分方程？精确失稳挠曲线微分方程？2321ww FOymaxFcr欧拉解欧拉解精确解精确解欧拉公式适用于小变形情况欧拉公式适用于小变形情况临界压力的精确解临界压力的精确解 推导下端固定、上端自推导下端固定、上端自由的等直细长中心压杆临界由的等直细长中心

9、压杆临界力的欧拉公式。图中力的欧拉公式。图中xy平面平面为杆的弯曲刚度最小的平面。为杆的弯曲刚度最小的平面。17.3 不同杆端约束下细长压杆临界力不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式的欧拉公式压杆的长度因数压杆的长度因数 现在来推导另一些杆现在来推导另一些杆端约束条件下求细长中心端约束条件下求细长中心压杆临界力的欧拉公式。压杆临界力的欧拉公式。 wFxM crwFxMwEI cr)()1(crcr EIFwEIFw1. 建立压杆挠曲的近似微分方程建立压杆挠曲的近似微分方程解解:2. 求解挠曲线的近似微分方程，并求临界力求解挠曲线的近似微分方程，并求临界力令令 由由(1)式得式得EIFkcr2

10、 22kwkw )2(cossin kxBkxAw)2(cossin kxBkxAw一阶导数为一阶导数为)3(sincoskxBkkxAkw 根据边界条件根据边界条件x=0，w =0 得得 A0。 由边界条件由边界条件x=0，w=0 得得 B=- 。 (4) cos1kxw x = l 时时 w = ， 由由(4)式式出出0cosklklcos1得得 coskl = 0。kl的最小值为的最小值为 kl = /2，亦即亦即从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：2cr lEIF 2222cr24lEIlEIF 0coskl 试推导下端固定、上端铰试推导下端固定、上端铰

11、支的等直细长中心压杆临界力支的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式。图的欧拉公式。图(a)中的中的xy平面平面为杆的最小弯曲刚度平面。为杆的最小弯曲刚度平面。 xlFwFxMy cr crxlFwFwEIy 令令 k2=Fcr /EI，将上式改写为将上式改写为 xlEIFwkwy 2 xlFFkwkwy cr22 (a) cossincrxlFFkxBkxAwy (a) cossincrxlFFkxBkxAwy (b) sincoscrFFkxBkkxAkwy 式中共有四个未知量：式中共有四个未知量：A，B，k，Fy。 由边界条件由边界条件x=0，w =0 得得 A=Fy (kFcr)。 由边界条

12、件由边界条件x=0，w=0 得得 B=- -Fy l /Fcr。 (c) cossin1cr xlkxlkxkFFwy再利用边界条件再利用边界条件x=l，w=0，由上式得由上式得0cossin1cr kllklkFFy由于杆在微弯状态下保持平衡时，由于杆在微弯状态下保持平衡时，Fy不可能等不可能等于零，故由上式得于零，故由上式得 满足此条件的最小非零解为满足此条件的最小非零解为k l=4.49，亦亦即即 ，从而得到此压杆临界力的欧拉公，从而得到此压杆临界力的欧拉公式为式为49. 4cr lEIF 2222cr7 . 049. 4lEIlEIF 0cossin1 kllklkklkl tan亦即

13、亦即 k = 4.49/l 代入式代入式(c)即得此即得此压杆对应于上列临界力的挠压杆对应于上列临界力的挠曲线方程曲线方程： lxkxkxFlFwy1cos49. 4sincr利用此方程还可以进一步求得利用此方程还可以进一步求得该压杆在上列临界力作用下挠该压杆在上列临界力作用下挠曲线上的拐点在曲线上的拐点在 x = 0.3l 处处( (图图b) )。FMkwkw22MFwxMEIw)(EIFk2:令FMkxdkxcw/sincos0,; 0, 0wwLxwwx解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：边界条件为:例例 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界试由挠曲线近似微分方程，导出下述细

14、长压杆的临界力力公式。公式。LxM0M0M0 xFw-M0nkLnkLdFMc 2, 0,并2222)2/(4LEILEIFcr2kL为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：所以，临界力为： 2 nkL = 0.50.5l各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由两端固定但可沿横向相对移动失稳时挠曲线形状FcrABl临界力Fcr欧拉公式长度系数22lEIFcr22)7 . 0(lEIFcr22)5 . 0(lEIFcr22)2( lEIFcr22lEIFcr=10.7=0.5=2=1FcrABlFcrABl0.7lCCDC

15、 挠曲线拐点C、D 挠曲线拐点0.5lFcrFcrl2llC 挠曲线拐点 表中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等表中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。端约束越强，压杆的临界力也就越高。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式： 22cr lEIF 长度因数，它与杆端约束情况有关；长度因数，它与杆端约束情况有关； l 压杆的相当长度，它表示某种杆端约束情况压杆的相当长度，它表示某种杆端约束情况下几何长度为下几何长度为l的压

16、杆，其临界力相当于长度为的压杆，其临界力相当于长度为 l 的两的两端铰支压杆的临界力。端铰支压杆的临界力。1. .一端固定、另一端自由一端固定、另一端自由FlcrFllcrFcr 22cr2lEIF 22cr2 lEIF lFcr拐点拐点拐点拐点2l4l4lFcrF =NcrFcrFNcr4l4lFNcr2lF =NcrFcr2. .两端固定两端固定22cr32 lEIF lFcr拐点拐点32lFcr拐点拐点Fcr3. .一端固定、另一端铰支一端固定、另一端铰支 运用欧拉公式计算临界力时需要注意：运用欧拉公式计算临界力时需要注意：(1)当当杆端约束杆端约束情况在各个纵向平面内情况在各个纵向平面

17、内相同相同时时(例如球例如球形铰形铰)，欧拉公式中的，欧拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形应是杆的横截面的最小形心主惯性矩心主惯性矩 Imin。(2)当当杆端约束杆端约束在各个纵向平面内在各个纵向平面内不同不同时，欧拉公式时，欧拉公式中所取用的中所取用的I应与失稳应与失稳(或可能失稳或可能失稳)时的弯曲平面相时的弯曲平面相对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：xyz轴销轴销对应于杆在对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固平面内失稳，杆端约束接近于两端固定，定， 22cr5 . 0lEIFz 对应于杆在对应于杆在xz平面内的失稳，

18、杆端约束相当于两端平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支，铰支，22crlEIFy 而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。者。xyz轴销轴销 例例 五根直径都为五根直径都为 d d的细长圆杆铰接构成平面正方形的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系杆系ABCDABCD，如各杆材料相同，弹性模量为，如各杆材料相同，弹性模量为E E。 求图求图 (a)(a)、(b)(b)所示两种载荷作用下杆系所能承受所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。的最大载荷。解解（a a）BDBD杆受压其余杆受拉杆受压其余杆受拉BDBD杆的临界压力杆的临界压力222aIEFcr2

19、22EIa故杆系所能承受的最大载荷crBDNFPFmax,222EIa243max128adEP（b b）BDBD杆受拉其余杆受压杆受拉其余杆受压四个杆的临界压力四个杆的临界压力22aIEFcr故杆系所能承受的最大载荷：crABNFPF2max,243max642adEP 例例 图示结构，图示结构，、两杆截面和材料相同，为两杆截面和材料相同，为细长压杆（设细长压杆（设0/20/2） 。求载荷求载荷P P为最大值时的为最大值时的角。角。90：解得两杆的压力分别为解：由静力平衡条件可sincos21PFPFNN，两杆的临界压力分别为两杆的临界压力分别为PEIlPEIlcrcr12122222，最大

20、，即都达到临界压力时、PFFNN21）（）（2sin1cos222212lIEPlIEP便得除以式将式),1 ()2(2221)(tanctnll)tan(ctanarc29017.4 欧拉公式的使用范围欧拉公式的使用范围临界应力总图临界应力总图 22cr lEIF 欧拉公式欧拉公式一、欧拉临界应力公式及其使用范围一、欧拉临界应力公式及其使用范围 临界应力临界应力临界压力除以横截面面积临界压力除以横截面面积 1. .临界应力临界应力即：即： 惯性半径惯性半径 AlEI22 22 ilE 2AiI AIi il 压杆的压杆的柔度柔度或或细长比细长比反映了杆端的反映了杆端的约束情况约束情况、杆的长

21、度杆的长度、横截面的尺寸和横截面的尺寸和形状形状等因素对临界应力的等因素对临界应力的综合影响综合影响 22 E cr AFcr 是无量纲量是无量纲量 2. .适用范围适用范围 欧拉公式的适用范围：欧拉公式的适用范围：即：即：pcr p E p 记：记： pp E 满足满足 p的压杆的压杆与材料的力学性能有关与材料的力学性能有关 22 E对于对于Q235钢：钢：E=200GPa， p=200MPa100102001020069p 大柔度杆大柔度杆（细长杆细长杆）欧拉公式的应用条件：大柔度杆大柔度杆PcrE22PPE2二、中柔度杆的临界应力计算二、中柔度杆的临界应力计算1.直线型经验公式直线型经验

22、公式PS 时：scrbassba界应力用经验公式求。的杆为中柔度杆，其临 Ps bacr求。临界力不能用欧拉公式的杆为中小柔度杆，其 P2.抛物线型经验公式抛物线型经验公式211bacrScEAA56. 043. 016253，锰钢：钢和钢、对于。时，由此式求临界应力 c我国建筑业常用：PP=100（前面已求得），（前面已求得），用欧拉公式计算用欧拉公式计算BC杆的临界力。杆的临界力。22cr)( lEIF 1020632181132(1.02/cos30103 )21m 2m 30 A B C q =69 kNqFBC5 . 4NFcr =69得：得：q=15.3 kN/m9-5 压杆的稳定

23、条件压杆的稳定条件 为保证实际压杆具有足够的稳定性，在稳定计为保证实际压杆具有足够的稳定性，在稳定计算中需纳入稳定安全因数算中需纳入稳定安全因数nst，取稳定条件，取稳定条件(stability condition)为为式中，式中， st= cr/nst为压杆的稳定许用应力。为压杆的稳定许用应力。stcrnAF st AF亦即亦即一、一、安全因数法安全因数法二、稳定计算的三类问题二、稳定计算的三类问题 1. .稳定校核稳定校核 2. .选择截面选择截面 3. .确定许用载荷确定许用载荷例例 一连杆如图所示，材料为一连杆如图所示，材料为35钢，最大压力钢，最大压力F=60kN解：解： 1. .求

24、求 ，确定失稳平面确定失稳平面(1) 在在xy平面内失稳时平面内失稳时 nst=4，试校核此连杆的稳定性。试校核此连杆的稳定性。 连杆在连杆在xz平面内失稳平面内失稳(2) 在在xz平面内失稳时平面内失稳时11 5 . 02 h=45b=20l =8001xyFl1l =7702xz Fl2AIizz 32h mm 99.12 zzil11 6 .61 32biy mm 77. 5 yyil22 7 .66 zy max查表：查表：100p 为为中柔度杆中柔度杆60spmax0 y2. .校核稳定性校核稳定性连杆连杆安全安全查表：查表：h=45b=20l =8001xyFl1l =7702xz

25、 Fl27 .66 y MPa 461 aMPa 568. 2 byba crMPa 7 .289 AFcrcr kN 261 FFncr 35. 4 stn 例例 托架托架ABAB杆是圆管，外径杆是圆管，外径D=50mmD=50mm，两端为球铰，材料为，两端为球铰，材料为Q235Q235钢，钢，E=206GPa,E=206GPa, p p=100=100。若规定。若规定n nstst=3,=3,试确定许可荷载试确定许可荷载F。（1 1）分析受）分析受力力解：解：BAC1500FD50030o取取CBDCBD横梁研究横梁研究FABFCB02000150030sin:00FFMABcFFAB38

26、(2)(2)计算计算 并求临界荷载并求临界荷载4/)(64/)(2244dDdDAIimmdDi164221173030cos15000mmlAB1081617301ilQ235Q235钢，钢，p=100,p=100,pp，用欧拉公式，用欧拉公式kN54.121N1054.121322AEFcrAB(3)(3)根据稳定条件求许可荷载根据稳定条件求许可荷载kN5 .40354.121stABcrABnFFkN2 .155 .408383ABFF1. 1. 影响实际压杆稳定性的因素影响实际压杆稳定性的因素初曲率初曲率压力偏心压力偏心残余应力残余应力2. 2. 稳定许用应力稳定许用应力 称为稳定因数

27、，称为稳定因数，与柔度与柔度有关。有关。 对于对于Q235，可查表获得；，可查表获得；为了应用方便为了应用方便 stcrstcrstnn三、三、稳定因数法稳定因数法 我国钢结构设计规范我国钢结构设计规范, ,根据对常用截面形式、尺根据对常用截面形式、尺寸和加工工艺的寸和加工工艺的96根钢压杆，考虑初曲率和加工产根钢压杆，考虑初曲率和加工产生的残余应力所作数值计算结果，选取适当的安全生的残余应力所作数值计算结果，选取适当的安全因数后，给出了钢压杆稳定因数因数后，给出了钢压杆稳定因数 与柔度与柔度 的一系列的一系列关系值。关系值。 该规范按钢压杆中残余应力对临界应力的影响该规范按钢压杆中残余应力对

28、临界应力的影响从小到大分为从小到大分为a、b、c三类截面。大多数钢压杆可取三类截面。大多数钢压杆可取作作b类截面压杆。表类截面压杆。表9- -3为为Q235钢钢b类截面中心压杆类截面中心压杆随柔度随柔度 变化的稳定因数变化的稳定因数 。表表9- -3 Q235钢钢b类截面中心受压直杆的稳定因数类截面中心受压直杆的稳定因数 例：由例：由Q235Q235钢加工成的工字型截面杆件，钢加工成的工字型截面杆件，xy面内失稳时，杆端约束接近于两端铰面内失稳时，杆端约束接近于两端铰支，支，z=1.0；xz平面内失稳时，杆端平面内失稳时，杆端约束接近于两端固定，约束接近于两端固定，y=0.6。已知已知连杆在工

29、作时承受的最大压力为连杆在工作时承受的最大压力为F=35kN，材料的，材料的强强度许用应力度许用应力=206MPa,并符合钢结构设计规范中并符合钢结构设计规范中a类中心受压杆的要求。类中心受压杆的要求。试校核其稳定性。试校核其稳定性。 O l =580 l =750 12 22 6 6 24 x x y y z 1 2 O Iz=7.40104mm4Iy=1.41104mm4A=522mm2解：解：O l =580 l =750 12 22 6 6 24 x x y y z 1 2 O Iz=7.40104mm4Iy=1.41104mm4A=522mm2AIiyy41041. 1522mm05

30、. 5AIizz41040. 7522mm58.111)1)计算惯性半径计算惯性半径2)2)计算柔度计算柔度 yyl2iy 6 . 05805.05= 68.9 zzl1iz 0 . 175011.58= 64.83)3)求稳定因数求稳定因数取取y和和z中较大的中较大的y来查表和计算：来查表和计算：= 0.849+ (0.844-0.849) 109=0.8454)4)求稳定许用应力求稳定许用应力st= =0.845206=174MPaAF52210353=64.3MPa 91，稳定，稳定因数为因数为109. 01602800280022 扒杆的扒杆的许用压力为许用压力为 kN77m3 . 0

31、4Pa1010109. 0262 AF 4. 确定扒杆所能承受的许用压力确定扒杆所能承受的许用压力F因为因为 F2F1所以所以 F=77kN 厂房的钢柱由两根槽钢组成，厂房的钢柱由两根槽钢组成，并由缀板和缀条联结成整体，承并由缀板和缀条联结成整体，承受轴向压力受轴向压力F=270 kN。根据杆。根据杆端约束情况，该钢柱的长度因数端约束情况，该钢柱的长度因数取为取为 1.3。钢柱长钢柱长7 m，材料材料为为Q235钢，强度许用应力钢，强度许用应力 =170 MPa。该柱属于。该柱属于b类类截面中心压杆。由于杆端连接的需要，其同一横截截面中心压杆。由于杆端连接的需要，其同一横截面上有面上有4个直径

32、为个直径为d0=30 mm的钉孔。试为该钢柱选的钉孔。试为该钢柱选择槽钢号码。择槽钢号码。例题例题 L1. 按稳定条件选择槽钢号码按稳定条件选择槽钢号码假设假设 0.50，得到压杆的稳定许用应力为，得到压杆的稳定许用应力为 MPa85MPa17050. 0st 按稳定条件选择槽钢的号码，就是先由稳定条件按稳定条件选择槽钢的号码，就是先由稳定条件 ，得，得 ，然后由，然后由A的值查型钢表的值查型钢表选择槽钢号码。现在的问题是槽钢的号码未定，惯选择槽钢号码。现在的问题是槽钢的号码未定，惯性半径性半径i未知，不能由未知，不能由 算出算出 值，也无法确定值，也无法确定 。通常用试算法选择槽钢号码。通常用试算法选择槽钢号码。 AF FA il 解：解： 2463m109 .15Pa10852N102702stFA每根槽钢所需横截面面