人教版高中数学必修4-2.3《平面向量的正交分解及坐标表示、运算》参考课件

1、2.3.22.3.22.3.3 2.3.3 平面平面向量的正交分解及坐向量的正交分解及坐标表示、运算标表示、运算1、平面向量的坐标表示与平面向量基本定理的、平面向量的坐标表示与平面向量基本定理的关系。关系。2、平面向量的坐标是如何定义的？、平面向量的坐标是如何定义的？3、平面向量的运算有何特点？、平面向量的运算有何特点？ 类似地，由平面向量的基本定理，对于平面上的类似地，由平面向量的基本定理，对于平面上的任意向量任意向量 ，均可以分解为不共线的两个向量，均可以分解为不共线的两个向量 和和 使得使得 11221122a =a =a +a +a aa a 1111a a 2222a a 在不共线的

2、两个向量中，垂直是一种重要是在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量叫做把向量正交分解正交分解。 我们知道，在平面直角坐标系，每一个点我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？ 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。基底时，会为我们研究问题带来方便。 我们把（我们把（x,y)x,y)叫做向

3、量叫做向量a a 的（直的（直角）坐标，记作角）坐标，记作 a=(xa=(x，y),y), 其中其中x x叫做叫做a a 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫叫做做 a a 在在y y轴上的坐标，（轴上的坐标，（x ,yx ,y）叫做）叫做向向量的坐标量的坐标ayjiO图 1xx iy ji i = =j j = =0 0 = =（1，0）（0，1）（0，0） a=x i+y jayjiO图 1x x iyjyxOyxjA（x,y）a如图，在直角坐标平面内，以原如图，在直角坐标平面内，以原点点O为起点作为起点作OA=a，则点，则点A的位的位置由置由a唯一确定。唯一确定。设设OA=xi+y

4、j，则向量，则向量OA的坐标的坐标（x,y)就是点就是点A的坐标；反过来，的坐标；反过来，点点A的坐标（的坐标（x,y)也就是向量也就是向量OA的坐标。因此，在平面直角坐标的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。一对实数唯一表示。i 例例1 如图，用基底如图，用基底i，j分别表示向量分别表示向量a、b、c、d ,并求出它们的坐标。并求出它们的坐标。jyxOiaA1AA2bcd解：由图解：由图3可知可知a=AA1+AA2=2i+3j, a=(2,3) 同理，同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i

5、-3j=(2,-3)已知已知 ， 你能得出你能得出 ， ，的坐标吗？的坐标吗？1 11 1a a= =( (x x , ,y y ) )2222b =(x ,y )b =(x ,y )a+ba+b-abab a a已知，已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j即即 a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)这就是说，两个向量和与差的坐标分别等这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。于这两个向量相应坐标的和与差。结论：结论： 一个

6、向量的坐标等于表示此向量的有向线段一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。的终点的坐标减去始点的坐标。yxOB(x2,y2)A(x1,y1)如图，已知如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2),A(x1,y1),B(x2,y2),则则 AB= OB - OAAB= OB - OA = (x = (x2 2,y,y2 2) - (x) - (x1 1,y,y1 1) ) = (x = (x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1) )yxOB(x2,y2)A(x1,y1) 你能在图中标出坐标为你能在图中标出坐标为 的的P P点吗？点吗？21212121(x -

7、x ,y -y )(x -x ,y -y )P已知已知a=(x,y)a=(x,y)和实数和实数，那么，那么 a= (x, y) a= (x, y)即即 a=(x, y)a=(x, y)例例4 4 已知已知a a（2 2，1 1），），b b（3 3，4 4），求），求a+ba+b，a ab b，3a+4b3a+4b例例5 5 已知平行四边形已知平行四边形ABCDABCD的三个定点的三个定点A A、B B、C C的的坐标分别为（坐标分别为（2 2，1 1）、（）、（1 1，3 3）、（）、（3 3，4 4），），求顶点求顶点D D的坐标的坐标 平行四边形平行四边形ABCD的对角线交于点的对角线交于点O,且且知道知道AD=（3，7），）， AB=（-2，1），求），求OB坐标。坐标。练习：下列向量组中，能作为表示它练习：下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确们